Бесекерский (950612), страница 130
Текст из файла (страница 130)
В атом случае нужно записать уравнение динамики только оставшейся части системыы (рис. 21.13, а); Я,(р)х-' )(,(р) Г(х,рх)-5ы(р)~; (с) «-5,, (р) Гз(с), (21.51) которое будет, конечно, проще общего уравнения (х1.2Л). Отсюда цо аналогии с (2135) получим уравпеииелля определения амплитуды вибраций па входе нелинейного звена в виде Х>,. (со„) е У>>.
(о>„) Х>(а„,со„,х~) > *>',>(а„,со„,х~) 666 Нелинейные системы автоматического управления глс через Хо„, Ув, и Х,, У, обозначены всществспнь>е и мни мыс части соответстве~ио для 5~,. (у>о„) и лля выражения Я, (Уго„) ч- Ю„(Уо>„) 1гУ (ам оэ„х ) ч. У>У'(ам о>м х ) 1. Н аписа>шов уравнение позволяет определить зависимость амплитуды вибраций а„от величины полезного сигналах ца входе нели ней ного звена для каждой заданной о внепп>ей вибрациоппой помехи (т. е.
лля заданных В, го„) графическим приемом, опи- санным в в21.2 (рис. 21.7). Полученная зависимость а„(х ) подставляется затем в первук> из формул (21,29) О для получения >1>упкции слтещспия В = Ф (к ), которая в данном случае и будстяво .о ляться характеристикой нелинейного звена по полезному сигналу. Вил ее будет зави- ссть отвала>>пь>х амцлитулы В и частоты ю„внешних вибраций и от параметров систе- мы, входящих в выделсппук> часть контура(рис. 21.13, а). В обоих рассмотренных случаях, проведя линсарпзаци>о В = Ут ~с характеристио о, ки нелинейного звена го (х ) или Го = Ф (хо) по полезному сигналу можно обычными методами теории автоматичес>п>го управления, используя линейные уравнения (21.44), выявить зависимость всех с'гатических и динамических качеств данной нелинейной системы автоматического управления (и ее устойчивости) от амплитуды В и частоты о>„вибрационных помех.
Л и ней ная система вь! ходила бы из строя при наличии помех тогда, когда полез ныл сигнал практически перестал оы различаться па фоне помех. Но пока оп нормально различается, все статические и динамические свойства системы по полезному сигналу, сели система линсйца, остаются неизменными. Вибрациоппая помеха при этом накла- дывается как дополнительная опшбка. Совсем иначе дело обстоит в пел пцсйпой систе- ме. Коэффипиент усиления ут„полезного сигнала в пел ив! ином звене, а вместе с ним и все качества и даже устойчивость систем ь! могут настолько существенно зависеть от помехи (от В и юо), что система может выйти из строя по этой причине раньше, чем перестанет различаться полезный сигнал ца уровне помех. Это очень важно учитывать на практике. С точки зрения упрощения решения задачи нужно всегда иметь в виду упрощен- ную формулу липеаризацпи (21А5), которая позволяет и во втором из рассмотренных случаев обходиться без определения функции смещения.
В этом случае нужно подста- вить в (21А5) значение амплитуды вибраций па входе нелинейного звена оп найден- ное при отсутствии полезного сигнала (х - 0) любым из двух методов, изложенных в о 9 21.1, по лля более простого уравнения системы (2!.51). Зависимость а„(В) будет щш этом, в отличие от первого случая, криволинейной (рис. 21.13, б). В закл>очецие заметим, что тем же методом, что и в в 18.5, легко вычислять высшие гармоники вьшужлспцых колебаний (см.
В 9А книги !721). Глава 22. Случайные процессы в нелинейных системах 887 Глава 22 СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ В НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМАХ 9 22.1. Статистическая линеаризация нелинейностей Предварительно заметим, что по уравнениям, выведенш >и в 9 19.2 и в 9 21.2, можно исследовать также медленно мсияк>шисся спучайн»>е процессы в автоматической системе, сопровождающиеся соответственно автоколебаниями и выиужлсним ми колебаниями. При атом целесообразно фуикцшо смещения Ф (х") подпер> путь обычной лцнсаризации (19 70) и затем целиком применить линейную теори>о случайных процессов к уравнению (19 73) или (21.44). Нелинейная же колебательная часть решения определяется с помощью гармонической лицсаризапии также, как и в 9 192 и в 9 21.2.
Г! ри эт»»> находятся сглаженная характеристика (функция смещения) и зависимости аицлитудь> и частоты колебательной составля>ошей от величины медленно меняв>- >лейся составляюц>ей. В этом случае предполагается, что внешние возлейгтвия7 (г) в (19 73) и 7> (г) в (21А4) являются меллсино меняющимися случайными процес сами с нормальным законом распределения (см.
подробнее Я! 0.1 в книге (721). Для решения других задач при случайных воздействиях улобно бывает применять так называемую статистичсску>о линеаризацию целицейностсй, разработаниук> П. Е. Казаковым 1381 Сущность се заклк>чается в слелуюшем. Для оценки динамической точности антоматичсских систем при случайных возлействиях будем опрслелять два первых вероятностных момента случайных процессов: математическое ожидание (среднсе зпачсцис) и дисперсию (или срс>ц>еквадратичи ос отклонение). Последнее эквивалентно определен шо спектральной плот»ости или корреляционной функции. Если нслипейцал система описывается дифференциальным уравнением (22.1) (4(р) х е 71(р) р(х, рт) = 5(р) 7(г), то схематически можно себе представить прохождение сигналов, как показано па рис.
22.1. Проходя через линейную часть, случайиь>й процесс Г(г), заданный двумя первыми вероятностными моментами, преобразуется в персмениуюх, которую тоже можно оп рслелить двумя первыми моментами. Однако определение дальней щего и реобразования случайного процессах (г) в нелинейном звенс г" (х, рх) существенно связано с выс>ними вероятностными моментами (подобно тому как в главе 18 приходилось иметь дело с выс>ними гармониками). Ввиду замкнутости контура системы это обстоятельство накладывает отпечаток и на все процессы в данной системе.
Г!оэтому точное решение залачи в большииствеслучасвоказывается недоступным. Достаточно хорошее лля целей инженерных расчетов первое приближенно применительно к рассматриваемым классам систем, облала>о>цих свойством фильтра (см. 9 18 2), ласт пренебрежение выс- 668 Нелинейные системы автоматического управления шими момснтамн, т. с. замена нелинейного звена зквнвалснтным линейным, которос одинаково с ланцым нелинейным преобразует лва первых вероятностных момента: математическое ожидание(среднее значение) и дисперсию (илн срсцнекваяратичнос отклонение). Это и называется статистической лннсаризацисй нелинейности.
Эта операция по общей илес (но нс по конкретному солсржаншо) аналогична тому, как в главе 19 нелинейное звено ври помощи гармонической ли неа риза цн и заменялось :эквивалентным линейным, кспорое одинаково с Лани ым нелинейным нрсооразует ностоян и у>о (или мслленно мспяющук>ся) составляющую и первук> гармонику колебательной составляк>щей.т.е. нри>тнмалит ь во внимание лва первых пена ряда Фурье и отбрасывались все высшие гармоники.
Итак, предо>авим переменную х ш>д знаком нелинейности Г(х, рх) в виде х= х-х', (22.2) где х — математическое ожиланис (среднес значение), которое является обычной (регулярной) функцией времеви, их"" — случайная составляющая с нулсвь>м математическим ожила»исм (цецтрированная случайная функция времени).
Это нрелставленис аналогичнотому, которое употреблялось в главе 19 нрн гармонической линеаризации, но оно имеет совсем Лру>х>й, всроятногтный смысл. Далсе, неремсшту>о Г(х, рх) также представим в виде г (х,рх) = г" + г)ьлх'", (22.3) где Р— математическое ожидание (среднее значение) нелинейной функции >>, которое является регулярной составля>ощсй; гГл — зквнвалентный козффицнснт усиления случайной составляющей ( центри рован ной). Это выражение но форме тоже аналогично тому, которое применялось в главе 19. по имеетиносконкрсгноссодсржанис. Величина регулярной составлякнцсй Р опрелслястся, следовательно, но известной формуле лля математического ожидания.
В случае однозначной нелинейной функциин >' (х) зта формула даст Г = М1г (т э. х"' ) = ) Р(т + х'" ) и (>. ) Ых, (22.4) гле М вЂ” обоз паче нне операции взятия математического ожидания, те (х) — дифференциальный закон расо рсяеления случайной составля>г>щей, панример нормальный закон (рис. 11.10): (22.5) Лля нелинейности общсго вида Г(х, рх) будет более сложное выражение: Р= 1> 1> Г(х хьх"'", рх+ рх"") ы(х, рх) Ыхо>»х.
(22.6) >"лава 22. Сл>чайные процессы в нелинейных системах 669 которое для нетлсвых нсл иней ногтей р(х) нри симметричном законе раси рслслсния (в том числе н нормальном) упрощается. Например, лля нел>н>ейности, показанной на рис. 22.2, будет > ь> О 1 Г 1 р(х+ 1 ) (х) з + 1 %(Х+х )+Гз(9+х )> (х)> т+ 2 -! > (22.7) -«) р(хжх") гв(х)>>х.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
