Бесекерский (950612), страница 138
Текст из файла (страница 138)
Вид этих граничных условий определяется в соответствии с физическим смыслом задачи, решаемой системой автомат ичсского управления. В одних случаях оии залаются полностью: х(гс) = йв х(г») = х». (24.9) 1огда имеем задачу с фиксированными или закрепленными концами. В других случа- ях граничные условия (или одно иэ них) задаются лишь частично; (24.10) х ( ге ) е Р в х ( г» ) в Р» где Ро и Р» — нскоторыемножсства в пространстве состояний. Момент окончания процесса г» может быть фиксировапным (заданным) или свободным, Из всего множества возможных допустимых управлений исобхолимо выбрать такое, которое не только осуществляет ааданнуто цель управления, но и обеспечивает наилучшее значение выбранного показателя качества (быстролей стеня, расхода ввергнии и т.
п ). Это можно сделать, если сам показатель качества или критерий оптимальности выражен в той или иной математической форме. Чаше всего он представляется в виде интеграла 1= ~А(х,й)»1г, (24.11) где те — некоторая скалярная функция, Выражение (24.11) называется функционалом, так как 1 зависит от выбора функции й(г) иполучающейсяпрнэтомфункции х(г). Функционал (24.11) обычно конструируется так, чтобы ири оптимальном управлении его значение было минимальным. Это всегда может быть сделано и в случае максимума требуемого показателя качества. В качестве иллюстрации рассмотрим два конкретных примера.
Пусть система должна иметь максимальное быстродействие. Тогда, положив 1в(х й) = 1, получим: 1 = г» -»в . Следовательно, необходи мо найти такое управление й (г), при котором г» -ге = 7 ы . Значение г„не фиксируется. Минимальная длительность переходного процесса таь, даже лля одного и того же объекта зависит как о'т граничных условий (24.9) или (24.10), так и от ограничений (24.5)-(24.8). 706 Оптимальные и адаптивные системы автоматического управления Пустьтепсрьуправляемымобъсктом(24< 3) является электрический двн гаге.<ь, и — ток в его обмоткс управления.
К вЂ” сопротивление обмотки. Тогда прн 7о(х,и) = Ки~ функционал (24.11) характеризует расход энергии на управление за промежуток временить — го. При заданных граничных значениях (напрнмер, значениях угла и угловой скорости в люменты времени го и гь) и ограничениях па величину тока требуется найти такой закон изменения тока, при котором расход энергии окажется минимальны и.
До пол интел ьнос ограничение может быть наложено, например, па вслйчину угловой скорости, Момент времени г» обязательно должен быль о< рапичен (залап), так как в противном случае «оптиз<альныл<» будет управление и =- О, прн котором 㫠—— В общем случае функционал (24,11) моз<ет представлять я<обую желасмуто комбинацию оценок различных качеств сиптезирусмой системы. Однако следует учитывать, что чем сложнее этот функционал, тем труднее решается задача оптимизации даже для линейных одномерных объектов (24 3), Допол интел ьныс трудности воз никактт при повышении порялка уравнений (24,1)-(24.3) и при наличии внешних воздействий. С учетом изложенного задачу синтеза оптимального алгоритма уцравлсция можно сформулировать следующим образом.
Пусть при п = 3 в трехмерном пространстве (рис. 24.1) начальному состоянию объекта соответствует точка Мо с коорли ната ми х(го ), а конечному состоянию — точка М„с коорди ната ми х(г„) . Суще<твует множество допустимых управлений й(г), переводящих обьект из начального состояния в конечное. Для каждого из них, решив дифферснпиальное уравнение объекта (24.1), можно найти траекторию х (г), а затем определить величину функционала (24.11). Из получсшюго множества управлений елслует выбрать такое, при котором функционал принимает ь<инимальное значение.
Это управление и будет оптимальным управлением, а соответствующая ему траектория — оптимальной траекторией. Очевидно, что таким способом решить задачу синтеза практически невозможно. Однако существуют другие способы оптим ива ции или, иначе говоря, методы синтеза оптимальных систем, как аналитические, так и машинные. Все эти способы в своей основе являются варпационными, но в отличие от предыдущего г<озволякгг избежать перебора множсствадопустимыхуправлений. Каждь<й из нихдаетвозможпостьдовсстн решение задачи до конца в числовом виде. Для некоторых простейших задач удается получить аналитическое решение. Примером может служить рассмотренный в 9 11.9 метод синтеза линейной системы при случайных воздействиях по минимуму орели еквадратичцой ошибки (залача Винера).
В следую<них параграфах будут в простейшем виде изложены основы некоторых других методов синтеза, Кроме них следует отметить метод последовательной оптимизации на базе нелинейного пр<н рамм нровання, разработанный В, М. Г1опомаревь<л< ~ 771. Важные направления развиты также в работах 126, 60, 67, 771 и других. Глава 24.
Оптимальные системы 707 5 24.2. Использование классических вариационных методов Методы классического вариаццонцого исчисления были разработаны егц~ в ХЧП! веке и це предназначались для синтеза оптимального управления объектом, Рассмотрим одну из классических залач. Пусть задан функционал 7 = 1/е(л, ...,л„;хи...,т„)й, (24Л2) тле х; — некоторые дважлы дифференцируемые фун к ни и, среди которых необ ходи мо найти такие функции х;(Г) или экстрелгали, которые удовлетворяют заданным граничным условиям я)(ге), х;(г,) и минимизируют функционал (24.12).
Экстремали отыскиваются среди решений уравнений Эйлера — — — ~ — ~=0, 1=1,2,...,н. аУ„(7'а), "! а~, )гадал, ~ (24.13) Для установления факта минимизации функционала необходимо удостовериться„что вдоль акстрсмалей выполнял>тся условия Лагранжа — >О, 1=1,2.,л, агд т7 (24.14) аналогичные требованию положительности второй производной в точке минимума функции. Получением оптимального алгоритма управления завершается лишь первый атац синтеза оптимальной структуры управлякицсго устройства.
! 1а втором этапе требуется осуществить тсхническую реализацию алгоритма. Сложность решения этой задачи связана с тем, что цри использовании больши!к тва методов синтеза оптимальный алгоритм получается в внлс функции времени; й= й(г), При управлении но временной программе система автоматического управления оказывается разомкнутой, так как оца це контролирует фактическое состояние объекта. Такой систсме будут присущи все типичные для разомкнутых систем недостатки, о которых говорилось в главе 1.
Для построения замкнутой оптимальной системы управления й = й(г) необходимо каким-либо способом привести к виду (24А), т. е. сформировать его как функцин~ цсрсменных состояния хе В ряЛе случаен решение этой залач и оказывает не менее сложным, чем синтез самого оптимального алгоритма. Но лажс сели оптимальное уцравлсние й= й(х) найдено, его люжно реализовать лнгцьтогЛа, когда входящие в него переменные могут быть измерены сущсствуюгцими техническими средствами (цацример, датчиками). Поэтому часто прибегают к созда щцо цс строго оптимальных, а близких к оптимальным систем.
Некоторые конкретны с рекомендации по таким системам цацы ь работе!44~. 708 Оптимальные и адаптивные системы автоматического управления Используем решение классической париапиоцной задачи для синтеза оцтимальногоуравнения. Положилт, что дифференциальное уравнение объекта имеет вид (24,3) Введем в фУэткэтээю тээ дополпитсльныс псРсмсппые и и и, т. с, сфоРмиРУем фУпкциопал (24,12) в виде 7 = 1т А(хэ,„.х„; хэ „..х„; и,и) й, (24.15) и l О =.то + Х) э(т)('о (24.16) где )э(с) — произвольныс множители Лагранжа, в общем случае зависящие от временна Рассмотрим простейший пример. Пусть объект описывается уравцстэием (24.17) аох + аэх = ьн или (24.18) (ао р + а, )х = и, т( где х = у — управляемая величина, р = —.
й Цель управления закл копается в переводе объекта из состояния х(0) - 0 при то = 0 в состояние х(г„) = хо, гдсхо — задающее воздействие. Функционал (24.15) представим в виде 7 = ~~(х-х )з+)э~и~1 пэт, о (24.19) где р — некоторый весовой коэффициент. 2(ттнамическнс свойства объекта (24.17) учтем в виде ограничсния (243); (24.20) С„= по х ь а эх - и = О. 11ругие ограничения пахи и отсутствуют. Формируем функцию (24.18): П=(х -то) +ттгио ч-) (аох+аэх — и). (24.21) При этом граничные условия зальпотся только лля хо но требование лважды лиффсрепцпрусмости распространяется па все переменные. Уравнения (24.13) тоже составляются лля всех переменных, т. е.
т = 1, 2... и, 1. Дттнахтичссттие свойства обьскта учтем в вилс ограничения типа нсголономцых связей (24.8), где функция С„оээрслслястся из дифференциального уравнения (24.3). Тогда в уравнениях(24.13) вместофункцттиДолозэжтта использоваться функция Глава24. Оптимальные системы 709 Для нолучения уравнений Эйлера (24,13) находим: Таким образом, уравнения (24.13) имеют вид 2(х- хо)+Ли! — — (Лао) = О, г)г 2рои -Л =О. (24.2"; Из уравнений (24.22) определяем оптимальное управление Л и= о' 2ро (2423 ~ где 2(х-хо) (24.24) аор-а, Подставив (24 23) и (24 24) в уравнение (24,18) получаем дифференциальное ура вне нне объекта при оптимальном управлении: (и ао р — р а~ -1) х = —.то. (24.23) Для его решения находим корни характеристического уравнения: 2 2 Р,2=~- —,Ч1+р а, =~ .
— оао Ч (24.26) Тогда (см. табл, 7.1) (24.27) х(г)=хо+С1е +Сое где ври заданных граничных условиях х (0) = О, х (г,) = хо -Ш„ хое Сз =— Ш„-О1„ е "-с лое С1=- Ю н е- к Выражение(24 27) оиределяетоптимальнуютраекториюдвижения объекта. 0 тимальное управление находим из (24.18) с учетом (24.27): (242". ) и (г ) = а, хо + С, (а, — оао ) е ~ + Со (а, + аа„) е дН вЂ” =2(х-хо)+Ла,, дл дН вЂ” =2р и — Л, ди дН вЂ” = Лао, дх дН вЂ” =О. дд 710 Оптимальные иадаптивныесиотемыавтоматического управления где О ~г<г» Если г, =, то С, = -х„, Ст -— О. Тогда и(г)=хо (а, +(аао -а~)е "1.
(24.29) Возможность реализации оптимальных алгоритьгов управления (24.28) в замкнутой системе здесь не рассматривается, Из зтого примера следует, что даже для простейшего объекта решен ис задачи с интеза оптимального управления методами классичсского вариациопного исчисления оказывается не <шснь простым. Олнако основные трудности возникают при наличии ограничений в виде неравенств (245) и (24 6), а также (что является главным) в связи стем, что допустимые управления могут быть петельке непрерывными, но и разрывными. Поэтому для решения ьиеклассических» задач обычно примспяютдругие методы. К ним относятся, например, разработанные в середине ХХ вска динамическое программирование и принцип максимума, крап<ое изложение которых дастся в следующих параграфах.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
