Бесекерский (950612), страница 140
Текст из файла (страница 140)
(24А5) о е Задача управления заключается в переводе системы из начального состояния х; =а; (1=1..., и) при е= 0 в конечное прих,.-0 при г-+ . Из формулировки задачи следует, что система должна быть при этом асимптотически устойчива. Подставим (24АО) в (24.36). Функция 9(е,х) пс зависит от управления й(е) в моменз Е.! 1оэтому се мгикпо вынести за знак минимума. Деля полученное равенство на Аги переходя к пределу при дŠ— » О, имеем 714 Оптимальные иадаптивныесистемыаатоматическогоуправяения Б рассматриваемом случае уравнение Беллмана (24Л1) имеет вид пшел' — е~ — ~~> и»х +б;и)я~с х.
еииг =О, ~дг,,дх,~,, " ' (24А6) где а — элемент матрицы Я, Ц Оказывается, что функция вг, входящая в (24АО), является функцией Ляпунова, а функция»' в функпиопале (24.45) — ес полной производной, т. с. 17 1г чем решается вопрос об устойчивости сиптсзирусмой системы (см. 9 17.2). Так как па управление и ограничении нс накладываются и а > О, то минимум в (24А6) достигается в точке, где обращается в нуль производная по и, т.
е, при 1»'-' дГу и= — г Ь,—. 2и,, 'дх; (24.47) Подставим это значение в (24.46). В результате имеем др - др - - , 1 ( " ду ~ г (24А8) Это — нелинейное уравнение в частных производных от.носительно функции Гу . Будем искать рещение этого уравнения в виде кваг1ратичной формы от фазовых коорд!и итг »» Гв = ч~Г ~~~"Уых„х„=х~Гх. (24.49) гп ~ю Здесь Г = ~у~„~„„„— квадратная матрипа коэффициентов, удовлетворяющая критерию Сильвестра уы -.уы у„>О, "' >О,, уп уш уг| угг >О, (24,50) у» щ.у»» др — дŠ—.=О, — =2) у»х,.
дг ' дх. причем матрица может быть принята симметричной, г. с. у~,„— - уы. Функция (24.49) удовлетворяет граничному условию, так как при х, = О (1 = 1, ..., л) имеем Гу = О . Л~ ~ффе реп пируя (24,49), ~ смеем Глава24, Оптимальные системы 71! Подставляя полученные выражения в (24А8), приходим к уравнению вида и ю и Р! 1 и Я з ,'г ~> ~> ?ми; хгх!+~! с,х!У вЂ” — (~ ~ЬДмхь =О. ы! ь-! 1-! (24.51' В левой части (24.51) нахолится квадратичная форма переменных х!, ..., х„. Он; будет тождественно равна нулю при равенстве нулю всех ее коэффициентов: П П П ~(уди;. +т;;ам — — ЯЬу„~! Ь,у;; =О (?~Ь); ~=! с! . !=! те 1!' " !=! !х~.. !-! / (!, Iг= 1,..., п), (24.52,' 1 л дЧ/ 1 п п =- — ~Ь,— =- — ~д„,, У„=~Ь,?и, (24.53) 2!х, ! ' дх; !х „,! Аналогичный результат может бь!ть получен цри использовании классических методов вариацнонного исчисления (ч 24.2). В большинстве случаев результаты, полученные цри помон!и данного метола, нс могут быть реализованы точно вследствие необходимости использовать для управления все фазовые координаты.
Поэтому приходится говорить лищь о приближенной реализации получсцныхусловийонтимальности. Кроыето!о, цеучнтыааются реальнг всегда существующие о! ран ичепия, Другие подходы к решению задачи аналитического конструирования содержатся в работах 135, 43, 551. 9 24.5. Использование принципа максимума Принцип максимума как метод оптимизации процессов управления разработан школой Л. С. Понтрягина 168]. Допустим, что дифференциальные уравнения объекта вместе с неизменяемой частью управляющего устройства заданы в общей форме (24.1): х =?'(У,и). (2454) На управление и.
могут накладываться ограничения, например, в виде неравенств ?' (24 5), Пель управления состоит и переводе объекта из начального состояния х(ге ) а В результате получена система из 05 и (и + 1) алгебраических уравнений, солержа!цих такое же количество неизвестных ун (при учете равенства коэффициентов ув = уь) После нахождения неизвестных коэффициентов уз из (244?) можно определит! оптимальноеуправлсцис 716 Оптимальные и адаптивные системы автоматического управления конечное состояние х(г„).
Моментокончж~ия нроцсссаг„можетбытьфиксированным или свободным. Критерием оптимальности пусть булат минимум функционала (24 11) 7= ~Д(х,й)Й. (24.55) Введем всномогатсльныс неремснныс угоните,..., у„и образуем функцию л Н(Чгх,й) =-Ях,й)+ ~~ чгЯхй) = =-Д(х,й)ч-чт 7'(х,й). (24.56) Принцип максимума гласит, что для оптимальности системы, т. е. лля получения минимума функционала (24.55), необходимо суьцествованне таких ненулсвых непрерывных функций Чт, (Г), удовлетворяющих уравнению дНЯ,х,й) дх (24.57) что при любом г, находящемся в заданном диапазоне го ~ г с г,, величинаЛ, как функция лопустимого управления й, достигает максимума.
Максимум функции Нопределястся, как обычно, из условий дН дН вЂ” =О, — т<О, дй ' дй'- (24.58) НЩх,и) = -Д(х,и) е х" А вг ч-Ь ~фи; (24.59) — дул(х,и) -гЧт= ' -А вг. дх (24.60) Применение принципа максимума нроилгнострируем примерами. П р и м с р 1, Используем принцип максимума для решения задачи, рассмотренной в ~ 24 2. если й нс достигает границ области Й, и как точная верхняя грань функции Н но и в противном случае.
Принцип максимума согласно приведенным формулировкам дает только нсобходимыс условия оптимальности. Установить их достаточность очснь трудно, Позтому в практических приложениях за раисе интуитивно предполагают достаточность по физическому смыслу исследуемой системы, Для линейного одномерного объекта (243) выражения (24 56) и (24 57) ирин имают вид Глава24.
Опгимальныесистемы 717 Уравнение ооьскта(248) приводится к виду(24 3) при А = —, Ь = —. С учетом а, 1 аю сс„ функционала (24.19) составляем фуп кпик> (24 59): Н=-(х — хю)2+рси еАх777+7777си. (24.61) — = -2р и + Ьюс = О. дП ди (24.62) Таким образом, оптимальное управление Ьч и= —,. 2)с (24.63) Уравнение (24.60) имеет вид чс= — ~(х-хю) +р и ~-Асс=2(х хю) Алу. дг 2 2 27 дх~ (24.64) Отсюда паходилп 2(х - хю ) 2ссю( т - тю ) 77+ " аю17-а~ (24,65) При цс = аю) сзыражессия (24.63) и (24.65) совпадасот с (24.23) и (24.24). Поэтому далее задача решается точно так жс, как в ч 24.2. П р и и с р 2.
Пусть объект задан уравнением (24.3), На управление наложено ограничение ~ и ~ ~(7 . Трсбуется найти управление, которос переводит объект из состояния х(0) в состояние х(с,) за минимально возможнос время т, - 7;„„,. Ы ~ 24.1, отмечалось, что при оптимальном по быстродействисо управлении в фупкпионале (2455) )ю = 1. Тогда функция (24.59) Н(ц,х,и)= — 1ех Л 717-лЬ 7Тси. (24.66) Ы (24.66) от управления зависит только слагаемое Ь7 Чси. Поэтому Н принимает максилсальпое значение по и только тогда, когда максимальной является величина Ь 7Тси. Очевидно,чтозтоилсеетмсспонрии.=+Кесли Ь 777>0,ни= — Кесли Ь 717<0. т- т- , гТаким образом оптимальное упранление и=(7зсдпЬ 7Тс. (24.67) Следовательно, оптимальная но быстродействию система всепса будет релейной, но не обычной релейной, а с особым закспн>лс переключения реле по знаку вс помогательпой функции Ь 717.
Так как на управление и ограничение пс наклалывалось, максимум Н определяем в соответствии с (24.58): 718 Оптимальные и адаптивные системы автоматического управления Уравнение (24.60) цриДо - 1 (24.68) Бго решение (см. гл. 5) чг(г)=е ~ 'ту(0), М у=с, е= —, 7 (24.69) где у — угол крена, М вЂ” управляюгций момент,/ — момент инерций. На величину уггравляюпгсго момента иачожспо ограничение [М[с Мо. Поэтол~у огРаничивастсЯ и УскоРение: !е! < со.
ТРсбУетсЯ пеРсвести аппаРат из произвольного начального состояния в конечное состояние у(гк ) = О, у(г„) = 0 за ми ни малы ~ос время гч 7чшг Обозначим х, =у; хз =у, и =М, Уравнение(24.69) приведем к виду (24.3), где (24.70) Получаем уравнение (24.68): (24.71) Изпсгопаходихс чг! =С,, г!гз=бв — СА б тв=тую Определяем оптимальное управление (24.67): (24.72) М = Мозв(п (Сз - С,г).
Поскольку функция Сз — С,г может изьгспять свой анак не более одного раза, то в оптимальном процессе будет пе более одного перс ил юч ения с М = +М„па М = — Мо или наоборот. Пусть например в начал! пои ссктоянии у(0)=ус >О у(0)=ус >0 Топка очевидно, на пеРвом ин геРвалс необходимо иметь М- -Мо (Рис. 24.2, а). В некотоРый момент ВРемени 1 = Г, лолжно произойтн пеРеклк>пение па М - +Мо, а пРи Г > Г,. УпРавлсние Но так как начальное значение ЩО) не задано, то можно найти лишь общий внд вспомогательной функции вг(г ) .
Несмотря на это задача синтеза оптимального управления может быть рс~пена до конца. Рассмотрим теперь конкретную задачу. Пусть управляемым объектом является космический аппарат. Уравнение его движения относительно продольной оси имеет внд Глава24.0итимальныесистемы 719 ° а гк = Том = — + 2 — а ь — г! = —, + —. уо уо "уо г уо со ео во ' ' 2 2со (24.73) Используя (24 73) можно рсализовать оптимальное управление как функцикт вроне~ ~и: М - М(т).
Для получения оптимального уиравлсиия как функции переменных состояния у и у изобразим процесс на фазовой плоскости (рис. 24.3). Исключив из уравнения (24.69) й, как зто делалось в главе 17, получим при М = +Мо дифферснцнальиое уравнсиис откуда после интсгрироваиия найдсм уравнение фазовых траекторий — соу = От. у' 2 (24.74) Аналогично при М" — Мо имеем '+азу=~а у' 2 (24.75) Таким образом, фазовыс траектории представляк1т собой параболы, симмстричныс относительно оси абсцисс. Пртт М= +Ма они обращсны вершинами влево, а и ри М = — ̄— вершинами вправо.
В заданное конечнос состояние у(г„) = О, у(г„) = О, т. с. в начало координат, изображаюгная точка может попасть лишь ио ветви АО параболы АОА, при М - +Мо или по М - О. Решив ири этих условиях уравнение (24.3), получим оптимальную траекторию (рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
