Бесекерский (950612), страница 141
Текст из файла (страница 141)
24.2, 6) и выражсиия 720 Оптимальные и адаптивные системы автоматического управления ветви ВО ~параболы ВОВ, при М = — М~,. Поз гому сслп линией переключения сделать кривун) АО!3, то прн любом начальном состоянии в оптимальном процессе булет нс болссолногоперск почсния. Напримсресли пачальномусостоянпюсоотвстствустточкаРс координатами уп >О, ул >О,товпачале(см.рис.242)М= — Мсн пропсссидст по паРаболе 00с В точке О, (что соответствУет момснтУ вРемспи Г, ~|а Рис. 24 2) пРоисходит перс кл1очение на М - +Мл и лвижепие продолжается по линии переключения. Для формирования алгоритма управления найдем уравнение липин переключения.
Из уравнений (24.74) и (24.75) следует, что для ветви АО уа — 2еву = 0 прп у < О, адля ветви ВО ув е2г. 7=0 при у >О. Таким образом,для всейлинии переключения можно записать: и, =у +2епуяйпу=О. ° а (24.76) Правсслипии переключения и, > 0 иМ- — М„,алевееееи, ~0 и М= +Ме. В результате оптимальный по быстродействию алгоритм управления объектом (24.69) при заданных граничных условиях можно представить в виде М(у,у) = -М„з|йп ис (24.77) 1= 1!М!а = 1М.!кимам (24.78) 0 о характеризует расход топлива за время г,. Требуется псревести аппарат нз начального состояния у(0) = ус > О, у(0) = 0 в копсч нос состояние у(г„) = О, у(г, ) = 0 так, чтобы расход топлива был мипимальнымАПа момент накладывается ограничение ~ М ~ ~ Мв Время разворота г„, очевидно, должно бы гь ограниченным, но обязательно г„> Т„„„, гле Ты„— врсмя при оп гимальном по быстродействию управлении, Для рсализапии алгоритма(24 77) в системс используются латчнкугла идагчпк угловой скорости (ДУС), которые измеря|от фактические значения угла у н угловой скорости у .
Управляющее устройство формирует (вычисляе г) значение и, (24 76) и в зависимости от его знака осуществляет переключение исполнительных устройств (например, реактивных двигателей) в соответствии с (24.77). Слслуст отметить, что реально после псреклк)чспия изображающая точка булст двигаться пе но линии переключения, а нссколько левее кривой АО или несколько правсс кривой ВО. Это связано с тем, что па самой линии псрскзпочеппя согласно (24.76) и, = О, тогда как в соответствии с (24.77) знак и, лолжеп измениться.
Поэтому объект пс перейдет точно в задашюс конечнос состояние, а будет колебаться вокруг пего с небольшой алгплитудой. Для устранения колебаний вместо идеальной характеристики (2 677) можно использовать релейную характеристику с нсболыпой зоной нечувствительности.
Другие примеры оптимальных по быстродействию систем приведены в работе !65 ~. П р и м с р 3. Пусть управляемым объектом является космический ашщрат уравнение движения которого имеет вид (24 69), а управлякнпий момент М создастся рсакти вными двигателями и пропорционален секундному расходу топлива, сжигаемого для образования газовой струи.'! огла функционал Глава 24.
Оптимальные системы 721 с1зормирусм фушапио (24.59): 11Я,х, М) = -Мв18п М ч хгЛ гч) — Б' в1М. (24.79) 1(усть Ь ту >1. Тогда сумма(24 80) всегдабольшс нуля и максимальна нри М = чМо -гПрн Ь ф<-1 онавссгламсныне нуля имаксимальнаприМ= -Мс Еслижс Ь Я~<1, г- ...,,.... -, — гго эта сумма всегда меньше пуля при любых значениях М, кроме М - О. Следовательно, ее максимум имеет место нрн М = О. В результате получаем следующее оптимальное но расходу топлива управление; Мсмбпб щ при ~Ьтф~>1; М(г) = 0 нри ~Ь у~<1.
(24.81) Уравпсиие(24 60) имеет вид(24 68) и(24 71),таккак функция А(х М) =(М( и не зависит от т. Позтому, как и в предыдугцем примере, Ьт чг = Са — С,г и может изменять свой знак нс более олного раза. 1! о теперь в соответствии с (24 81) в оптимальном процессе будет не более двух нсреключеннй: с М = — М„на М = О, а затем с М" 0 на М = чМв (рис.
24 4, а). Экономия топлива достигается за сче г того, что на интервале от г, ло га двигатели выключены. Онтимальпая фазовая траектория изображена на рис. 24 А, б. 11унктирными кривыми показ ша траектория для оптимальной по быстродействию системы. В отличие от оптимального но быстродействия> управления здесь время завершения процесса г„должно быть установлено заранее, причем с, > 7';„. Для заданных граничных условий из (24.73) найдем: (24.82) где матрицы Л и Ь имеют вил (24.70).
В (24.79) от управления М зависит только сумма — М з(8п М ч Ь ' чгМ = -М (гй8п М - Ь ' тр). (24.80) 722 Оптимальные иадаптианыесистемы автоматическогоуправления Решив уравнение(24.3) при оптимальном управлении (рис. 24А, а), получим; гк гк уа. 1г ! (24.83) (24.84) Расход топлива за время процесса управления г, Я =Чг! е Ч(га гг) = 2чг! (24.85) или с учетом (24.83) или (24.82) ( /г уг ) (24.86) гдето — секундный расход топлива.
Из(24.86)следует,чтопри гя — г расход Я-+О,анрис,- Т„а„онмаксималсп: Ят!и 9Т!и!ь (24.87) Из (24.86) и (24.87) получим: (24.88) Чисг!сино выражение (24.88) представлено в табл. 24.1, из которой видно, что заметную экономию топлива можно обеспечить при незначительном увеличении г„по сравнению с Та„. Эти данные можно использовать лля выбора требуемого значения с„. Глава 25.ддаптнвныесистемы 723 Глава 25 АДДПТИВНЫЕ СИСТЕМЫ 9 25.1. Системы экстремального управления Системами зкстпреыольноео управления наэывааттся системы, в которых задающие воздействия, как отмечалось в главе 1, определяются автоматически в соответствии с экстремумом (максимумом или минимумом) некоторой функции Г(ун у, у;,, .., у„), Эта функция зависит не только от управляемых величин уо..., у„, но и от неконтролируемых параметров системы и времени Г.
Поэтому оца нс является постоянной и зарансс известной. Однако измеценнс функции Р и смещение экстремальных значений управляемых величину, = у„,уз = уа„...,у„= у„, протекает относительно медленно. Общие принципы цостроення экстремалынях систем рассмотрены в главе 2. Условием экгтрсмума дифференцируемой функции нескольких веременных г (ун у,„..., у„) является равенство нулю в точке экстремума частных цроизводных этой функции: г7Г гуГ г7à — =О, — =О,...,— =О. гту1 г!уз Ф (25.1) !75адиентом функции Гназыаается векторная величина — г7К вЂ” гтà — г7Г цгаг)Г= К,— еК вЂ” ь...-ь К„ г(о, г)уз г(о„ (25.2 где Ко ..., ʄ— сдннич ныс векторы осей, но которым отсчитываются величины уо ..,, у„. В точке экстремума градиент ранен нулю: йгаг1 с=О. (25.3) у~ = ц1 ел~ энтОэф~ о уо = уа е Лз я и отг г; о (25Л ' Зала ча поиска экстремума разбивается на лвс: 1) оцредслсние градиента; 2) организация движения в точке экстремума.
Для рсщення как первой, так и второй задачи предлотксоо много способов. Витке будут рассмотрены только и ростейн~ис из них 144). Обратимся сначала к задаче определенияия градиента. Способ синхронного детектирования. Способ основан на том, что к основным медленно меняющимся величинамун,,у„добавляюття малысгармонические(вобщем случае нерноЛичсские) составляюнше: 724 Оптимальные и адаптивные системы автоматического уп1х!аления Вели !и па 1: (ус..., у„) поступает на онпхронныс детекторы (рис.
25.1), у которых в качестве опорных величии использук! гся тс оке переменные составляющие (25Л). Ит!сальные синхронные детекторы умножают всл и- чину Рва переключающуго функцию, представляющую собой прямоугольпук! волну с периодом Т, = 2я/ю, (! = 1, 2,..., п) и высотой единица. Переключая>щая функция приближенно может быть заменена синусоидой частоты ю с единичной амплитудой, ! !оэтому среди ив значения выходных вел !и ив синхронных детекторов ин, .,, и„прибггижецно могут быть представлены в ниде и! =Гзй!го!г, из =Рз!пгозг, ..., и„=Уз!пю,г. Б квазистациопарном рс>кихгс, когда составляю!пис у, ме!иются мсплснпо по сравнени!о с поисковым движением Л, япот,г, всличгшы и,,..., и„с точностью до малых высщих порядков пропорциональны соответствующим частным производным г(Г г)Г вточке у, =у,,у =ум „,у =у и,слеповато!!ьно,опрс,'геля!отягаг(Гв о о а этой точке.
Для доказательства этого разложим функпню Ув окрестностях точки у, „,, у„в о о степенной рял: Г( о 11 о ДУ ) У( !г,!!)ч до 1 и 121;о 1 и 1зуо +~ — 1!у, + —, ~ ЧГхуггбУ» - — ~Ч; бр!И бУ, +" ;, Йу! ' 21 ы, гуу,гуу! ' ' В!;,ь=! 1угг(уеду (25.5) В последнем выра!кении значения частных производных соответствуют точке У, „У„", а ЬУ! = А, япю,г,..., Лу„= Л„этна!„г. о Выходные величины синхронных детекторов можно представить в виде и! та!пото!г г(У! *Уа)з!поз!! ч.~~~~А! — зп!Отгз!по!от ! У' 1 " УзЕ" — ЛгАо з!и!оно(пюогяпоэог+...
2;л,! ' г(у,г1уо (25.6) Глава 25. Адаптивные системы 725 5!по) е =О; 51пОэяз1пы г ж— (25,7) ()и юу),~ 51псо,тяп О), г = 0 выражение (25.6) можно свести к виду 1 Иго и = — Л вЂ” +пи,. 2 с)у о (25.8) Погрешность мстола определяется членом оио, которому соответствует выражен- иес )зуо би = — ~ ~А;Ль — з)пш;ге|поьгяпоз„г+ 2,„, ' ди;Иу~ (25.9) »,(зуо + — ~~~ А;Аь Л,, яп со;тяп оооГ Яп оо,1з)п ш„1+,. 31,„, ' 'г(у,г(уеду„ Величина ои„по отношению к амплитудам Л,, А„имеет порядок малости нс ниже третьего, а по сравнспи1о с и — не ниже второго. Если частоты выбраны по закону нечетных чиссл оз;= (21+ 1)озо, где ыо- сонат, то удовлетворяются условия оз; ишь((и)г) и ш; +шо илоо . Тогда (25.10) ебп оогз1п озьгяп охи = 0 и величина Ьи,, имеет порядок малости пе ниже четвертого. Таким образом, выходные величины синхронных детекторов с достаточной степенью точности можно считать пропорпиопальпыми составляющим градиента Рв точкс у~я" у»: 1 с)го и = — Л вЂ”.
2 "г)у о (25.11) Способ производной по времени. Произволпая по времени функции У(у,„..., у») определяется выражением иу йг" г)у, г)Г г(у, — = — — + + —— г)г Ыу~ г)г г)у„й (25 А 2) Если величины у,, „,, у„постоянны плп меняются настолько медленно, что их о о изменениями за нсболыпой период можно пренебречь, то, учитывая очевидные равенства; 726 Оптимальныеиадаптивныесистемыавтоматическогоуправлеиия Отсюда слсдуе), что, задавая поочередно скорости изменения уо..., у„и измеряя Н' производную по времени —, можно найти составляющие градиента (253).! 1екотог)'г ' рым нслостатком этого метода является необходимость дифференцирования функции Гпо времени, что сопровождается поднятием уровня высокочасттп ных помех. Способ запоминания экстремума.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
