Бесекерский (950612), страница 115
Текст из файла (страница 115)
Для этот исследуем устойчивость найденного решения с помошью критерия (18.63). Поскольку согласно (18.167) 584 Нелинейные системы автоматического управления В результате условие устойчивости колеоаний (18.63) сволится к требованию (18.171) При отыскании частоты ш„автоколсбаний по уравнению (18.169) был построен график Г, (в») =- аХ (а, ш). Из рассмотрения этой кривой (рис. 18 35) видно, что условие устойч»шос ти (18.171) выполняется для болыпсго пз найденных значений частоты ша = шэ Таким образом, в системс суп»ествуют автоколсбания, параметры которых оцрелеляются указаннымизначсииямичастот»ясое = сом Помимо условия (18,171) для устои швости найлсцного решсши необходимо, чтооы все коэффициенты характеристического уравнения (18.165) бьцш положительным н, а им( пно: 1чАс,— >О, (Ь с~ -»Я сз)д+)йс,— >О, И У+()йс> ж/гзсз) — > О, К~сзс~ >О.
гу г7 Ю Ш ш Легко проверить, что вес" эти условия были выполнены в самом процессе отыскания периодического решения. 9 18.5. Вычисление высших гармоник и уточнение первой гармоники автоколебаний Пусть заланодифференциальное уравнение полипе»шой сист< мы Я(р) х т Я(р) Р(х, рх) = О. (18,172) До сих пор периодическое решение (автоколебапия) лля полицейной системы искалось для первого приблшкення в виде х = и з)п»вй (18.173) что соответствовало приближенному зпачс»пно первой гармоники псриоличсского ре»пения.
Все высшие гармоники при этом отбрасывались ввиду их малости при наличии в системс свойства фильтра (в18.2). Оставляя в силе это условие, произведем отыскание малых высших гармоник»72), авеля отлсльнос обозна шние лля ка»клой Уг-й гармоники: х» =-8» а гйп (Аш>г е»р») (Уг - 2, 3,...), (18.174) где амплитуда 11-й гармоники 6»и выражена через амплитуду первой серио~тики и, причем коэффициент 6» является малой величиной (.гак как амплитуда высшей гармоники црслполагастся малой по сравнению с амплитудой первой гармоники). Величину бь играх иву к» в лап пой задаче роль малого параме тра, можно назвать относительной амплитулой )»-й гармоники, Теперь с учетом конечно~о числа п вышних гармоник искомос ~~сриоличсское решение запнше ггя в виде (18.175) Глава 18, Приближенные методы исследования устойчивости и автоколебаний 585 глс х, =а, з!нтозт обозначает уточненную по сравлснию с (18.173) первую гармоникуавтоколсбаний.
Поскольку амнлитулы высших гармоник 8»а малы, то их вычисление можно производить, используя первое нриблнжснис периодического решения (18.173), так как использование уточнсз >- ного решения (18.175) внесло бы в опрслелезшс 8»а нссушсс > всн- Рис. 18.36 » ыс мале>с высшсго порядка, но за>н> привело бы к нсразрсниз мой системе уравнений. Это чрсзвыча>йз>зо важное(л>ш вычисления высших гармоник автоколебвний) лоиузззсиззе можно иначе сформулировать слелукнним образом. Считая, что на входе х нслинейз иго звена (рис. 18 36) истиннос нериолнческос решение (18.175) (нри п — > ) мало отличается от синусоилального (18.173), булсм лля он реле>>ения высших з армоник, порождаемых нелиней>>остью (т.
е. на выхолс ззслинсйного звена, где о»и не малые), нолавать на вход нелинейного з>зева синусоиду (18.173). Тогда кажная из вышних гармоник на выхолс нелинейного звена у 7>(х, рх) в комнлскс ной формс запишется в виде у» =а»ез' =а(>»»73») (8= 2,3, ), (18.176) 2~ г» = — ~Е(ав!нцз, агосозз!>) в!>>йзу к(з!з, на „ 2>з х» = — ~г(агйпзу, аысовзу)созЬ!>>тз!з. "а с (18.177) Слеловательно, Гз л ໠—— аз(г~ е х», ()» — — агс>8 — ' >» (18.178) Затем эти немалые высо>не гарлн> ники с выхода нелинейного звена проходят через линей нук> часть (рзлс. 1836) с нсрелато шой фун килей становясь малыми за счет наличия свойства з!>ильтра.
глс а» и !)» — искомыс амплитуда и фаза высшей гармоники у» на выходе нелинейно> о звена, а — амплитуда входной сннусоиЛы, ! !ри этом нсличины >» из» онрслсляк>тся козффицнснтами ряда Фурье, деленными на а,т. с. 586 Нелинейные системы авгомиичвскогоуправлеяия ~г((у~в)~ -К(7)ггл) Окончательно находим: Б,=~ о 1/' ° ' -Гт()угог) х ягь = агя + агстц — ' Я(,аког) (18.179) или, в комплексиой форме, бге =, (гг + !М. Гг(7)ие) Я(7)хо) (18.180) Итак, по формулам (18.179) легко определяются относительная амплитула и фаза каждой из высших гармоник (18,174) периодического решения (автоколебапий) лля перемеггпой х(18.175).
Опи вычисляются по известным амплитуде а и частоте ы первого приближения (18.173), опрсделеиию которого были посвяшсигя прелыдушис параграфы данной главы. Теперь произведем уточнение амплитуды а и частоты ш первой гармоники за счет учета уже найденных вышних гармоник. Уточпспиыс значения а и ш обозначаются через а, и ыи Имея в вилу форму решения (18.175), гдех, — первая гармоника, разложим нелииейиую функцию Г(х, рт) в рял Тейлора; д л д Л Г(х,рх)=Р(х,,рх,)+ — Г(хпрх,) 'г хг+ — Р(хорх,) ~ рхг+... г=г дрх Ограничимся иаписаппыми членами разложеиия ввиду малости высших гармои иик ),хы ыг Применяя далее разложение в ряд Фурье, по аналогии с 9 18.1 получим Г(х Рх)= т7+Ьг(+ Р хг + высшие гаРмоники, г('+ от(' (18.181) О), Учитывая псрсмеиу знака воздействия в замкнутой системс, получаем малые высшие е гармони ки лля переменной х в виде (18.
174), тле Глава 18. Приближенные методы исследования устойчивости н автоколебаний 587 где имеем аналогичные прежним формулам первого приближения (18.7) основныо коэффипиенты (причем цг - ш,г) 2» а = — ~ Р(а, йпу, а,а, совцг)япцт йр,1 яа1 о 1 а'= — ~Р(а, япу,а,ю, совцг)совцг Йр ка! 0 (18.182) и новыс добавки к ним, вычисляемые, в отличие от этих основных, через первое при- ближение (18.173); в»Гд» д л и- — 1~ — о*о~ )Е* + — о*,»,>Х~+»~», О ~ аХ К=2 дРХ Кг.л 1 "Га " а м'» — 1~ — о „п*)Х. а .» >К~*1 Яа „~ дх к-т арх Гыв Они и Лают уточнение первой гармоники х, засчет учета высших гармоник искомого периодического решения.
Формулы для Лд и Ь д' с учетом (! 8 174) можно и реобразовать к следующей, удобной лля вычислений, форме: Лт)=~ (Еыб с~~„+7„тб в1пф„), ~=в » Лсу'= ~(Хвзбт совгРв+УыбвЯп<Р~), (18.183) где (18.184) причем д д Ч'в(ц~) = — Е(а яп цг, аю соз~р) яплцт е — г(аяп цг, аю сов цг) Йосоэйу; ах ар. а а 1а~(ц~) = — Г(аяпцг, ага сояр) соИцг е — Е(аяпцт, аю совцг) Йояп Йу. дт дрх 1 в» Гы = — ) ф~,(цг)51п цг ацl "о 1" 7,з= — 1ц,(ц) ц г'ц "о 1 2» Гвт —— — ) сц,(цг)япцг ~щ, "о 2» 7 = — ')вв(у) ц уцк "о 588 Нелинейные системы автоматического управления ! 1одстанслв выражение (18.181) в Уравнение системы (18.172) с учетом свой<-гва фильтра, получим уравнение для определения уточнен< юй первой гармони ких, в внлс Я(р)+уу(р) су+с)<7+ р 'х, =О.
(,+д,, о), Характер исти гескос уравнение представим в форме ц,(у))ч-уу(р) су(а<,оэ<)+ ' ' р1=0, Г су'(а),ю) ) о)< ! (18.185) гдевведено обозначение 6(р)=Ир)+ )у(р) уыу + у <и (18,186) (замена о)< на о) в малых добавках вс играет супссствснной роли). Ввслснис такого обозначения удобно по двум причинам. Во-первых, отлеляннся нскомг)с а, и шн входя)цие в су и су', от известных величин с)су и Лгу, которые вычисля<отея злссь предварительно по фориулаь) (18.183) через найлснныс выше значения би <р) и через а и щ известны с из первого приближения (Я 18.1-18А).
Во-вторы х, уравнение (18.185) для определения уточненной первой гармоники х, - а, гйп со,с приведено к вилу, формально совпадающему с уравнеюсем (18.33), которос определяет первое приближение. Это позволяет <сснпл ьзовать ) <ри о«редслснни ут<щнсн ной нервс)й гармоники совершенно тс же способы, что и в Я 18.2 лля первого приближенна. Кроме того, согласно (18.182) здесь можно использовать псе прежние готовые выра)кения козффиписнтов гармонической линеаризации су и су лля конкретно заданных нелинейное) сй с заменой только а,юнааоше Итак, полностью найдено искомос уточненное решение для автоколсбаний (18.175) в вилс х= а, з1псо<(+ , '5)а<в(п(усто)с ~-<Р)). )=т Следует нокснтс<'ь, что, используя любой из способов З 18.2 применительно кданной задаче, надо везде вместо Я (р) ставить новый и ногочлсн Я) (р), отличающийся от Я (р) некоторыми добавками к его козффипие)нам и определяемый но формуле (18.186).
Важная особсшсость уточненного реванша состоит сщс и в то)с, что м ногочлсн Яс (р) в отличие от прежнего я (ру, зависит нс только от параметров линейной части системы, но, соютасно (18.186) и (18 183), также и от формы нелинейности Г(х, рх) за счет С)су и с)<у . ОЛнако в то время как основные козффициенты су и <у' имеют готовыс выражения для каждой нелинейности (см. 8 18 1), здесь нельзя применять заравсс вычислс)шысконкретныеформулыдля величин Л<у н А<у', так как вхо сящнс вфорхсу лы (18 183) величины 8) н <ви согласно (18,179), завнсат от наРамстРов и стРУктУР" Гпава18. Приближенныеметодыиссявдованияустойчивостииавтокслебаиий 589 х=л,+хз, х,=а,япю<Г, хз =бза,з1<<(3<о<с +срз).
(18. 187) В этом случае в уравнении для <и рвой с армоники (18.185), как и прежде, будет равен пуз<о коэффициент с)' и характеристическоеуравцепис будет 0< (Р)=~ )((р) с(-0. (18.188) где й(р)=Ир)+)1(р) лч - — „'и, л )', причем выражение коэффициента 2сс с) = — — ~!2(ас яп <р) з1п <р асср па< О (18.189) остается цр< жн им (ь 181) г заменой а на а с Формулы для добавочных коэффициен- тов,л<1 и Лс)' здесь;шачитсльно упроща<отся, так как в формулах (18.183) и (18.181) многие члены пропадают, а коэффициент<с -- О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
