Бесекерский (950612), страница 113
Текст из файла (страница 113)
18.23, в. 9 18.4. Нелинейные системы второго класса Нелипсйныс системы второго класса — это системы с несколькими нелинейными звеш я ми или же с одним нелинейным звеном, когда пол знаки нелинейных функций входят две или более переменных, связанных между собой линейными передаточными функциями или нслинсйными уравнениями.
Обычный прием приближенного решения, излагаемый ниже в примерах 1-3, справедлив при соблюлепии условия фильтра, оговоренного в 8 182, для всех передаточных функций, связываюн!их указанные переменные. Если это условие не соблюлается, применяется специальный прием решения, изложенный ниже в прнмере4. П р и м е р 1.
Б нрелыЛун[см параграфе рассматривалось влияние нелинейности привода, а затем влияние квадратичного трения по отдельности. Рассмотрим тснсрь (Тр+ 1)х+ Р(х) - с г>(>„), х=р(1, (18.129) где Е> (г„) - М»р и определяется графиком рис.!8.24, б. В ланном случае получается нелинейная система второго класса„Приближенно полагаем, что нри автоколсбаниях х = а з1п а>г, г'„= Аа е>п (о>г + В), (18.130) глс А (о>) и В (о>) — модуль и аргумент амплитудно-фазовой характеристики линейной части, получаемой из уравнения (18.67), которое гс>гласно (18.129) надо умножить на р.
Б результате получим ?г ?г7'„. й г з (7'„соу+ 1) го> 1+ Ттсог (1+ Т„'гдз )о> ' Ото сола г ?г~ — 2?г?геТ» оР А= /ге+ (1+ Т„'со' )со (18.131) что изображено графически на рис, 18.24, в. Поскольку в уравнение (18.129) нерсмснныс х = р() и г„входят разлельно, то и тармон ичсс кусо линеаризаци>о можно производить лля кажлой из них отпсльно. К нелинейностии в левой части уравнения (18.129) применяем формулы из прежнего примера 3 (с хвадрати и> ым трением), а к нелинейности в правой части — формулы (18.66) и (18.66), в которых, н соответствии с (18.130), вместо а подставляем Аа. В результате нелинейное уравнение (18.129) принимает внл ?; р+ 1+ — ~ рВ = г?(а,о>) >'„, с 8?.за ) 3.
) (18.132) 572 Нелинейные системы автоматического управления совмес>нос действие нелинейности привода и квадратичного трения. Момент трения нри этом описывается нелинейным членом р(х), как в ураннснии (18.90), или, что то жс самое, графиком на рисунке 18.24, а. Нелинейный привод пусть имеет характеристику типа наев>>пенна (рис.
18.24, 6). Тогда уравнение двигателя и управляемого объекта вместо (18,90) примет внд Глава 18. Приближенные методы исследования устойчивости н автоколебаннй 573 глс д = 6« — †юг,. и!н< а < 6, 2/г<( . 6 6 ! 6 1 <у = — агсз!и — 1— я ~ аЛ(от) аЛ(от) ~аЛ(ь)~ ) (18.133) причем Л (<о) определяется формулон (18.131) или графиком рнс. 18.24, и. Из уравнений (18.132) и (16.53) получаем гармонически линеаризованное характсристическоеуравнсни< замкнутой системы ввиде <гг |<!гр+~+ — г)~+(<г'.и |<Ьг ° ~)< <=о.
8/гва ! Зя ) Следовательно, после подстановки р =)<о, нахопнм: Х = 6д(а,<в) — Т„+ Т„-ь 6вг'„д(г<,<в) ч- — У;, « в = О, 86за . 1 86ва1 У=(!+ 6вд(а,от)+ — ю — ТТ,<а =О, Зл ~ откуда но туч асм (18434) и проведем согласно этой формуле на том же рис, 18.24, г прямую г (а, от„). В точках пересечения получаем искомые значения амплитуды а„, а также и значения д (а„, ю„). После этого но второй из формул (18.134) подсчитаем величину параметра 6. Проделав такую же операцию для различных значен и й о<„и получая кажный раз а„ и 6, сможем построить и здесь графики, подобные тем, которые получались н нрслылун<их примерах.
Лмнлн тула колебаний угла у будет а„а„,<отг При этом согласно (18 134) нз условия положительности величины д (а„, со„) должно быть от„>— 1~ Тз Из первого уравнения легко определяются вес возможныс значения амплитуды а„ н частоты <о„слслукнним образом. Задаемся каким-нибудь значением от,г Из графика на рнс. 18.24, а находим лля него величину Л (<о„). По формуле (18.133) строим криву<о д (а, <о„), показанную на рис.
18.24, г. Обозначим далее правую часть первого из уравнений (18 134) через г (при персмснной а вместо а„): 574 Нелииейннесистемыавтоматического управления П р и и е р 2. Пусть в системе, функциональная схема которой изображена парис, 18.25, управляемый объект описывается уравнением (18. 135) Р х йехз измеритель 1 — нелинейный (рис. 18.26)— (18.136) ( Т, р ": 1) х, = Е, (х), измеритель 2 — линейный— (18.137) (Тт Р + 1) хт ет рх, линейный усилитель-нреобразователь вместе с линейным исполнительным устрой- ством— (18.138) (Тзр 1) хз = га(хз) где ха = х, + х, а нелинейность Га (хз) задана в двух вариантах, обусловлепнык разными режимами работы исполнительного устройства — релейным (рис.
18.27, а) или непрерывным (рис. 18.27, б), Будем определять авто колебания н рнближе оно в виде х = а з)л ен, +ь (18.139) Здесь связь между переменным и хи х, входя~цнии пол знаки пел инсйностсй, согласно рис. 18 25 ндст через нелинейное звено. Следовательно, данная система является системой второго класса (с двумя нслинейнымн звеньями). Глава 18.
Приближенные методы исследования устойчивости наетоколебаннй 575 Гармоническая линеарнзапия нелинейностей соглнс>п> з !8.1 диет Т> г7> (и)за Тг гуз (из)хз, (18.140) где ) ~ )г1 26>( . 6> Ь, Г (6>) 1 г)>=6> — — агсзгл — а — ' 1!-~ — ! приЬ><а<6> (18.141) и д и двух вариантов исполнительного устройства соотвстственпо гтг — — — 1 — — цри из > 6, поз "з г7з =аз — ' агс>бп — + —" !1 — > — ~ ~ нри Ьз <аз <!>о (18142) ":)! (" 1 если ищутся амплитуды автоколеб>аний а н аз в указанных пределах (налично именно такого автоколсбательного режима известно, например, из опыта). Пе прсдставляс> тРУда использование вь>Ражепий гй и г>г такжс и длЯ слУчаЯ и > Ьт и аз > 6„(зто нике для об>цности будет сделано при изображении графикон гг, и гтз).
Передаточная функция для переменных х н хе - хг + хз запишется теперь согласно (18.136),(18.137) и (18.140) в виде ! П( ) Ьгр! (!8.143) откуда (18.144) Это выражение аз (а, о>) будет далее использовано. Составим теперь характеристическое уравнение всей замкнутой систсм ы в гармонически линеарнзованпом виде. Согласно (18.135) — (18.140) получаем (Т Р ь1Н Тзп + 1)(Тзп е1) Рг е Ьсдз (аз) ! Тьогйг е (г1(о) Тз + ЯДР -г гт> (и) ! 0 Прснебрс> ая произведениями постоя пн ых времени при высших степенях р по сравнени>о с нх суммой, что вполне допустимо нри рассмотрении низкочастотных антоко- ! лсбапий (которые здесь и будут иметь место), запишем харакгеристичсскос уравнение в виде (Т1 ч Тг+ 7з)Р + (1+ 7Адот7г(аз)1Р +)гот7г(азЫ(а)7г+7гг1Р+ког7 (аз)г7,(а) -О, Подстановка р -уго дает: Х=)годг(аз) д1 (а) — 11е Т,(тг)готтг(аз)1тог =0; У= еосУг (аз) (г7 > (а) Тг и )гг 3го - ( Т1 + Тг " 7з ) от~ = О.
1! олставив значение /тотугту, из первого уравнения во второе, полслеппое на От, получим (пренебрегая снова произволением Т, Тгто по сравнспшо с единицей) г (!в и Т, ) гог чг(аз) = 7го (г (18.145) Полставнв ато в первое уравнение (Х- 0) и пренебрегая опять-таки произведением Т,(Т, ч- Тз)от по сравнсиито с единицей, найлом г 7тг Ч~(а) = —, Т, +Тт (18.146) Последнее уравнение легко решается графически. Ижгбразнм график ту, (а) соглас|ю формуле (18.141). Па рнс.
18.28, а ото показано сплопшой кривой. Пунктирная кРиваЯ показывает пРодол женно его пРи а > Ьг. ПУть гРафнчос ко го 1пчпс пи а УРавнснна (18.146) показан силоптиыми стрелками. Этим опрелслястся искомая амнлктула автоколсбапий а„управляемой величины аз Пуп ктирньк стрелки лшот второе решение а„ (неустойчивое). Для ш~ рслелепия частоты автоколебапий воспользуемся уравнением (18.145).
Для етого сначала из формулы (! 8.144) найдем зависимость аз (от) при заданном значении (18,146), что после пренебрежения прежними малыми членами даст )г а„1+(Т +Т +Т„) г Т, + Т, 1 + (Т1г + 7'~ ) го~ (18.147) 576 Нелинейные системы автоматического управления где зпачспис а, берется из ~ рафика рпс. 18.28, а. Имея выражение Лля дг(аз) (одно из (18.142)! подставилг в него полученное аз (го). Это позволяет построить график дг (го) (снлошная кривая на рис.
18.28, б), На тот жс график наносим правую часть уравнения (18. 145) (пунктирная кривая на Глава18. Приближенные методы исследования устойчивости н автохолебаний 577 х = и э>1п и>, >у = о>д (18. 148) так как свойство фильтра н данной гистсмс собл юлается. Тогда величины и и с будут и=а„зш(>у - 6), т>=и„гоз(>р — 7), глс /г> и а„= '., р' = агстйТ>сх т('1;Ы + 1 (18.149) 7>и>оа а„=, 7 = атсгйТхтл. >>>Те с> +1 (18. 150) В результате пропссс изменения и и с в установив>немея режиме булст иметь приблизительноо вил некоторого эллипса (рис. 18 29, пунктир).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
