Бесекерский (950612), страница 117
Текст из файла (страница 117)
В результате получим следуюп1ис вынужденные колебания на выхолс нелинейного звена (первая гармоника): хт = айа(а)з(п1[о(+р„(а)1. Например, выходная величина хт релейного звена с характеристикой рис. 18 1, а меняется в процессе вынужденных колебаний по закону, изображенному сплогпной ломаной линией на рис. 18З8, е. Пунктиром показана основная синусопла лля пес, причем из (18.212) и (18.15) имеем: Ас . Ч(з -в(( 2с;/2 аз = аА„= — 'згп п 2 п Ч((ч-в(в п~ Ут(1-т) г (( ы у;Г'(т „~Т „т в с Дейстнитсльпая ступенчатая кривая заменяется в данном случае синусоидой (первая гармоника), верги и на которой совпадает с осью симметрии лсйствительпсго прямоугольникаа (рис.
18 38, в). Для нелинейных звеньев с уравнением вида хз = г (х() без гистерезнспой пеып(, как следует из В 18 1, а' (а) =. О. Следовательно, лля таких звеньев Л„-(у (а) и [1„= О, т. с. выпужденныс колебания на выхоле нс имеют фаза ного сдвига. 598 Нелинейиыесистемнаатоматическогоупрааления Ма(а) = = Ха(и) + )У„(а). 1 Ь'„(а) (18.213) На графиках указаны все необходимые обозначения и типы нелинейных характеристик звеньев. Аналогичным путем можно построиты рафики и для других копкрстнь<х нелинейных звеньев. Амплитудно-фазовая характеристика линейной части системы согласно (18.206) имеет вид И',,()'гв) =— )2()со) ЯОе>) (18.214) Общая приближенная амплитулно-фазовая характеристика всей разомкнутой системы с нелинейным звеном будет (18.215) )р(ащ) = Ю,(а)%ям)=~у(а)еЯ(а))%„()е>).
Олним из главных отличий вынужденных колебаний нелинейных систем от линейных является их сун!ествснпая зависимость нс только от частоты, но и от амплитуды входных колебаний. Эту главную особенность как раз и улавливает написанное здесь приближенное выражение ам ил итудпо-ф азово й характеристикипелипейпогозвенавена. Вформулах (18.210) — (18.212) получилась зависимость только от аьпиитуды а, потому что ограничились рассмотрением только нелинейности вида хз - г (л,).
Для более сложных нелинейных звеньев в амплитудно-фазовую характеристику войдет также и частота е>. Кроме того, как увидим ниже, зависимость от часж>- ты будет всегда вводиться линейной частью системы. В в 18.1 были приведены вы- ражения >у (а) и д'(а) для наиболее типичных рслейных и дру> их простейших нелинейных звеньев. На основагнш атого строятся приближепныс ахп>литудныс и фазовыс характеристики путем вычисленийй по формулам (18.212). Результаты для простейших случаев приведены на рис. 18.39 и 18АО. Там приведены также и оГ>ратные амплитудно-фазовые характеристики Глава!В.
Приближенные методы исследования устойчивости и авгоколебаний 599 Следовательно, амплитула и фаза первой гармон нки выхолной величины хз, определяемые формулами а, =(гг'(а,го)~а и рз =агйй'(а,го), (18.216) й'(а, ог) - -1. Учитывая (18,215) и (18.213), это можно записать в виде (18.217) йа(угэ) =-Мя(а) или Игэ ( Гсо) =— 1 гу(а)+ угу (а) (18. 218) где г)' (а) = 0 в случае отсутс1вия гистсрсз ионой петли (правая часть (18 218) в этом случае будет вещественной). Левая часть уравнения (18 218) или (18 217) представляет собой амплитудно-фазовую характеристику линейной части системы, а правая — обратную амплитуднофазовую характеристику нелинейного звена (для первой гармоники), взятую с обратнымм знаком. Рещение этого уравнения можно получить графически как точку псрссе- зависят здесь не только от частоты о>ь как в линейных системах, по еще и от величины входной амплитуды а. Отысканиеавтоколебаний замкнутой системы.
Незатухающие синусоидальныс колебания с постоянной ачпл итудой в замкнутой системе определяются согласно критерию устойчивости Найквиста (см. гл. 6) прохождением амплитудно-фазовой характеристики разомкнутой системы через точку ( — 1, 70), т. е. равенством йг= — 1. Это ибудств данном случае условием существования псргиодического рспгспия для замкнутой нелинейной синусоидальным. Итак, пм< ем условие системы, которое принимается приближенно 600 Нелинейные системы автоматического управления чения указанных двух характеристик (рнс. 18А1, а и б). В точке пересечения из кривой Иги ()<о) берем значение часто гь< о>и, а нз кривой — Ми (а) берем величину ампли < уды аи искомого периодического решения. Рнс.
18А1, а соответствует системс с нелинейным зпсном, имеющим гн< гсрсзнсную нстлк>, когда согласно (!8.210) и (18.2!3) характеристика Ми (а) ком нлс кон а. ! ! ри отсутствии гнстсрсзисной петли, когда Ми (а) всшестпсш<а, получаем график рис. 18А1, б. Вместо (18.217) можно пользоваться также выражением ! (18. 219) 1 — = И'и(а) Ига ()<с) т, с, искать решение как точку пересечения аки<литудно-фазоеой характеристики нелинейного звена с обратной амплитудно-фазовой характеристикой линейной частя системы, взятой с обратным знаком (рпс.
18А1, в и г). Устойч>>посты <айдснного периодического решения грубо оценивается следующим образом (зтот метод не я иляется строго обоснованным, но во многих случаях его примененияя достаточно), Д;шнм малое приращение амплитуде: а = аи е <>а. Тогда нрн положительном <>а получим на кривой — Ми (а), напрнъ<ер, точку а< (рис.
18А2, а), а при отри нательном <>а — точку аг. Для устойчивости периодического решения требуется, очевидно, чтоб ь< при положнтсл ыюм <>а колебания затухали, а при отрицательномом <>а — ра< ходились. Для стого согласно крнтершо Найкеиста а случае устойчивой нли нейтральной ра юмкнутой системы требуется, чтобы суммарная амплитудно-фазовая характеристика И'(а, о>) е первом случае нс охватывала точку ( — 1, у0), а во втором — охватьвала. Но общая характеристика Ь'(а, ю) не чертится в рассмотренном г пособс. ! ! озтому высказанное положение надо нсренси) 6) <'. а) Ни(>и) стн на свойства кривых Иги (у>е) н — Ми ( ). (<и ((, О'<сюда получаем, что и„< Л для устойчивости псрподи>а <т ческого решения (если лн- - М„(а) ~а 1а <и нсйная часть системы н ра-ат,(а) зомкнутом состоянии устойчива нли нейтральна) Рис, твл2 требуется, чтобы амнлитуд- Глава 18.
Приближенные методы исследования устойчивости и авгокояебаний 801 но фазовая характеристика линейной части 11', (<ш) не охвап <вала <п>чку а, соотвсчствУк>н<Ую положительномУ <>а, и охваты вала точкУ аэ соответствУк>ЩУю отРи Цатсл- ьному б. По этому признаку графики рн<.
18А2, а и 6(в точке 8) да<от устойчиво< периодическое рещение, которое с<ютветствуст автоколебаниям замкнутой системы с частотой ш<а, н амнлитулой акн На графике рис. 18А2, и значения ш<н н аа, соответствукл' неустойчивом)< а значения ш,а, ала — устойчивому периодическому реп<спи<о.
Это в просто>нцсь< случае может означать устойчивость системы в малом (до амплитуды а„<) и автоколсбапня с частотой <в,а и амплитудой а а, сели начальная амплитуда колебаний в переходном процессе«ревыщаетзначсния а„г В таких исслслованиях предполагается, что все параметры системы заданы в числовом випс (или амплитудно-фазовыс характеристики звеньев в виде определенных графиков). Если же требуется выяснить влияние олного или двух каких-нибудь параметров системы, то надо рассмотреть все возможные комбинации кривых й<, (уш) н — М„(а) при разных значениях этих параметров.
Расом<прим примеры. Система автоматической стабилизации температуры. Уравнения системы с релейным звеном были описаны в примере 5 ч 18.3. Выражение амплитудно-фазовой характеристики линейной части системы с добавленном жесткой обратной связи будет (18. 220) (Тз >ш + 1) <ш1 Т< >о>+ 1 В ланном случае очевидно, что о<илий знаменатель передаточной функции линейной части системы 'ъ'(Р) (Т<>+ 1) (Т р+ 1)р (18.221) нс имеет корней с положительной вещественной частью, а нулевой корень говорит о том, что линейная часть системы нсйтр >льна. Выражснис, стоящее в квадратных скобках (! 8.220), прп Ь„, = 0 (система без обратной связи) соответствуст апсриодическому засну (объект и чувствительный элемент).
Оно изображено па рис. 18АЗ, а. При наличии жс жесткой обратной связи в системе (Й„, н О) этот график сдвигается вправо па величину Ь„, (рис. 18 43, 6). Множитель перел квадраю<ой скобкой (18.220) соотвст«" вуст инерционному интегрирующему звену (привод с управляющим органом).
Он изображен па рнг, 18.43, в. Перемножением этих характеристик получаем ахщлитудно-фазовую характеристику И<„(<ш) линейной части системы соответственно при отсутствии обратной связи (рис. 18АЗ, г) н при наличии жесткой обратной связи (рис. 18АЗ, д). Нанесем на эти же графики кривую обратной по величине и гю зна>< в амнлитулно-фазовой характеристики -М„(а) пел>шейного звена(вданпомслучае — реле).
Злесьзта кривая изображена в соотвстствии с рис. 18 39, блля того случая, когда реле характеризуется граФиком рис,!8.20, а,причем Ь, =Ь,Ь, = тЬ. Как внлно из рпс. 18АЗ, г, в данном случае в замкнутой системс без обратной связи возможны автоколсбания, так как кривь<е Жл (<ш) и — М„(а) пересекаются, а введением 602 Нелинейныесисгемыаатоматическогоуправления обратной связи можно уничтожить эти автоколебания (рис. 18АЗ, д). Очевидно также, что и выбором параметров линейной части снгтемы (т. е, леформанией кривой В', на рнс. 18АЗ, х) можно бь>ло бы уничтожить автоколебания замкнутой нелинейной системы и без обратной связи. !! апротив, исудачнь>й выбор параметров может привссти к автоколебаниям системы даже и нри наличии жесткой обратной связи, если на рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
