Бесекерский (950612), страница 86
Текст из файла (страница 86)
ф. х. разомкнутой системы. При и = 3 кроме положительности козффипиеитов гк>л>киг> лоио хи итслы ю выиолияться условие критерия Тур вила (ем. гл. 6). Поэтому лл я исследования усто йч и засти требуе гся проверить выполнение пяти исравснств: 434 Линейные дискретные системы Следует учитывать, что функция (14 97) периодическая. Поатому прн построении а. ф. х. достаточно ограничиться диапазоном частот 0 < со < и/Т. В качестве примера рассмотрим систему, псредаточная функция непрерывной части которой 'йг (р) К/р В соответствии с (14 60) находим передаточную функцию разомкнутой системы (14,98) В результате замены (14.97) получим ( . го7~ КТ(1-/18 — ~ 2 ) КТ .КТ ьТ И'(е~"' ~ = = — — — 7 — с18 —.
глТ 2 2 2 ' 2 А. ф. х. разомкнутой системы изображена па рис. 14.9, и. Так как при го = 0 опа имеет разрыв, обусловлен игл й наличием р в знаменателе 'йг (р), дополняем сс четнсртью окружности бесконечно большого радиуса. ,Чля исследонания устойчивости замкнутой системы можно использовать любую из приведенных в главе 6 формулировок критсрия Найквиста. В знаменателе переда. точной функции йгс(р) пет корней с положительной вешествсппой частью, т. е. 1- О. Поэтому в соответствии с первой формулировкой а. ф.
х. разомкнутой системы нс должна охватывать точку (-1,70). Следовательно, как видно из рис. 14.9, и, замкнутая система устойчина црн КТ< 2, В соответствии со второй формулировкой сумма пере ходов а. ф. х. через критический отрезок должна быть ранна пулю. П ри КТ~ 2 переходов нет и замкнутая система устойчива. При КТ> 2 а.ф.
х. заканчивается на критическом отрезке, т. с. имеет место — 1/2 перехода. Глааа14. Импульсные системы 435 При использовании преобразования г — — е>' частотная передаточная функция р> Яг(ел'г) является транспеплентной. Поэтому для систем в>вше второго порядка построение а. ф, х. суспествсппо затрудняется, Кроме того, практически исключается возмо>кность построения асимптотичсских логарифмических частотных характеристик Для преодоления указанных недостатков удобно использовать преобразование Т 1+Я,— 2 .
Т' 1- Р—, 2 (14.99) 2 а>Т Х = — гя —. Т 2 (14.100) Из (14. 100) видно, что благодаря сомножителю 2/Тисе вдочастота ). имеет размерность угловой частоты. Кроме того, при изменении частоты е> от 0 до л/Тона изменяетсяся от О до . Наконец, при о> < 2/Тпсевдочастота практически совпадает с реальной частотой о>. При исследовании устойчивости и качества импульсных систем можно оперировать с/Х точно так же, как зто лслалось с)с> или с р при исслеповапни непрерывных систем.
В качестве примера используем подстановку (14.99) в псрслаточпой функции (14.97). В резул ьгатс получим частотную псрслаточную функцию разомкнутой системы- мы К1 Ат 1г'( >Х) = /х (14.101) Теперь для исследования устойчивости замкнутой системы можно применять как алгебраический критерий, таки критерий Пай квиста. В первом случае находим характсрнстичсскос уравнение замкнутой системы: КТ 1, ~! — — ~ Р. е К = О. 2 ! Необходимое условие выполняется при КТ< 2. Для системы первого порядка оно является идостаточным, Оно, как и преобразование (14 90), является билни ейнь>м и отображает круг единичного радиуса с плоскости г на левую полуплоскость плоскости переменной )., что лает возможность применять все критерии устойчивости непрерывных систем, Переменная) называется абсолютной псевдочастотой, или сокрацннп>о — пссвдочастотой.
Сравнив (14.99) с (14.97) получим; 436 Линейные дискретные системы Во втором случае находим модуль и фаау: ХТ 1у(Х) = -90'- агс18 —. 2 9 14.?. Оценка качества импульсных систем Оощис соображения по опенке качества систем автоматического управления, рассмотренные в 9 8.1, относятся и к импульсным системам.
Для опспкп точности можно использовать величину опшбки в типовых режимах. В первых трех из них (см. 3 8.2) при отсутствии возмущения значение установившейся ошибки в.'побой момент времени в соответ ствии с теоремой о конечном значении (14.37) опрслслясття по формуле х„,„(е) = !!щ х(бе) =1!гп(з - 1)Х(де), г-н (14,102) гле Х(г, с) =- С'(г, е) — У(г, е), С(д е) = Х,(8(1)) — изобразкспие задакнпсго воздействия, а у(г, е) определяется выра жснием (14.77), В дискретные моменты времени г = 1Т х„., =1йн(г — 1)Х(г), г-н (14,103) где Х(г) определяется выражением (14.85).
Нетрудно убедиться. что а.ф. х. разомкнутой системы будет точно такой же, как па рис, 14.9, и, толщсо она аакопчптся на оси абсппсс при Х = Па рис. 14.9, б изображены логарифмические частотные характеристики разом кнутой системы. Так как в знаменателе (14.101) имеется/7., что эквивалент~ ~о наличию р в знаменателе перслато пюй функции непрерывной системы И'(р), то первая асимпто1 а имеет наклон — 20 дБ/дск и пересекает ось абсцисс ири Х = К. 11а сопрягающей частоте К - 2/Т л.а.х. изламывается на -20 дБ/лск, так как сомпожитель 1 — /ХТ/2 находится в числителе. Если К(2/Т то вторая асимптота проходит пижс осп абсцисс.
11ри атом критический отрезок находится лс все точки Х = К и логарифмическая фазовая характеристика пс пересекает его. Следовательно, замкнутая система устойчива. Если же К > 2/7; то вторая аснмптота проходит выше оси абсцисс и критическим отрезком будет вся зта ось. При Х = » фаза у (ге) - -180", а модуль не равен бесконечности. Слелователынь имеет место.-1/2 перехода и замкнутая система пеус гойчива. Глав»14. Импульсные системы 437 Следует отметить, что необходимо< ть в использовании формул (14.102) нлн (14,103) возникает только тогла, когда скважность имнульсов на вь>холе форм прующего устройства системы (рис.
14 7) у < 1. ! ели у = 1, то в установившемся состоя и ив сигнал на выходе этого устройствах' булст ~постоянным и импульсная система мо>кс~ рассматриваться как непрерывная. В этом случае лля оденки точности, в том числе и воза>уи>а~ощих воздействий, люжьн> пользоваться формулами, привсдени»>ми в б 8,2 В режиме лви жен и я но гармоническому закону (8.12) частота е>„обычно сравнительно мала, причем всегда о>, < 2>>Т. При этом условии псевдочастота )., в соответствии с (14.100) щ>акти чески совпадает с реальной частотой е>„и для расчетов можно использовал формулы (8.15) и (8.16), положив в них Ь(уе>) = ВЩе>). Установившаяся точ ность им пуд ьсн ой системы может о~ !спиваться и но коэфф- нцишп а ошибок.
Лналогично непрерывным системам, начиная с некоторого момента времени ошибку можно представить в виде ряда с, х(>) = с»8(!)+ с>8(>) е — -Д(!) +,, 2 (14404) где козффин кенты ошибок се, со сэ ... гй>слет»ялик>т гобои коэфф>ение ~ >ты р»зложшн >я передаточной функции ноошибкеФ,.(г) прнг =е'терялся!аклоренапостснснямр,т, с. ~,4"ф,.(е т)~ (1>" (14.105) Рис, 14,>0 Оденка качества имвульсной системы может делаться построенном кривой переходного процесса, что нрн использовании ам>рсобразования осун>ествляется сравнитсльно легко (э 14.2).
Максимальное значение последовательности у(>) может не совпадать г макснмшн>гни з»ачси ивм переходной характеристики (рис. 14.10, а). Обычно зто несовпадение не имеет существенного значения для определения запаса устойчивости системы. Однако в отдельных случаях оно может быть существенным (рнс. 14 5, б). Чаще всего это бывает нрн наличии в знаменателе псрелаточной функции непрерывной части системы )р»(р) сомножителей с комплексными корнями типа Т„'р> Р2г Т,р+1 Можно 438 Линейные дислретиые системы показать, что процессы, полобпыс изображенному на рис. 14.5, б, будут исключены, если Специфической особенностью нлшульсных систем является возможность сун1ествовапия в цпх псрсхо/Шых процессов коне шой длительности, полностью закапчивакнцнхся за конечный промежуток времени /„- ЬТ, /г - 1, 2, ...
(рис. 14.10, б). Для з1 ого параметры системы должны быть выбраны так, чтобы корни характеристического уравнения (14.91) располагались в начале координат па плоскости г. Тогда передаточная функция замкнутой системы принимает внл )'(г) й/(г) Ь„г" '+Ь,г г+...+ л ч (/(г) 1-~- н (г) г л Ей соответствует раз постное уравнение у(1) = Ьсй(/ — 1) + Ь,й(/ — 2) +, е Ьл,д(/-- /г) (14,106) (14.107) Прн подаче на вход системы елпннчного ступенчатого воздействия ну(0) = 0 получим: у(1)=Ье, у(2)=Ье+Ьо ..., у(/г)=/11+Ь, +...+Ьл и у(/г+ 1) = у(/г+ 2) = ...
= у(/г). (14.108) Например, в системс с передаточной функцией (14.98) можно получить процесс с г„.= 7; сел н КТ = 1, а в системе с передаточной фун кщ ~ей (1496) — процесс с га -2Т сслв /гТг — 1, КтТ= 1,5. Следует однако учитывать, что системы с процессами ко~гечцой ллптсльности часто имеют малый запас устойчивости. Так, во втором из рассмотренных случаев при указанных параметрах передаточная функция (14.96) имеет внл У(г) 2г -1 Ф(г) = — = —, С(г) Кт г+1 Ктт В'(г)= —, е —. 2 (г — 1)г г — 1 (14,109) Из (14. 108) находим: у(1) - 2, у(2) - у(3) -„.=!. Таким образом, псрерсгулирование п% 100%.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
