Бесекерский (950612), страница 85
Текст из файла (страница 85)
Олпако, как будет показано в ф14.5, это не является препятствием для оценки качества им пуль< ных систем при детерминированных воздействиях. 9 14.5. Уравнения состояния Уравнения состояния при пспрерыеном управлении х = Лх+ Ьи+ и/'; у=с х (14.71) и способы нх получения были рассмотрень< в главе 5. Найдем уравнения состояния для импульсной системы, < хема которой изображена па рис. 14,4 с учетом возмущаюшсго возлсйствия, 11ередаточные функции ИЦр) и )Р7(р) полагаются заланнь<м <.
Нтоозначает,чтоизвсстны нматрицы Л, Ь, лп сг. Решение первого нз уравнений (14.71), как было показано в главе 5, имеет вил х(<) = е~~ т(0) е ')ел<' '1~Ьи(т)» и/(т)~<(т. а (14.72) Для дискретных моментов времени из (14.72) получим: и х(<) =с их(0)+ ~е «и 0~Ьи(т)+т7(т)~<(т. о (14.73) <~ >т)7 и'»т х(<+ 1) = е'"х(1)+ и(<) ~ е < г г юЬ <ут+ /(<) ~ е < т <7т, гг <Т Вх<шнос воздействие и(<) = и*(<) изменяется но закону (14.2), причем коэффипи<нт пропорциональности Й„отнесен к матрице Ь, Возмуща<ошсе воз<<сйствиеЯ<) булсм полагать летерминированным и изменяющимся по л<обому закону но таким, что в тсчсппс псриола лискреююсти т сто можно считать постоянным: 7(г) - /(<) при '7 ~ г < (< + 1)Г.
В реальных системах прн малых значениях Тэта условие, как правило, выполняется. Решая (14.73) последовательно шаг за шагом при 1 = 1, 2, .„, как это делалось для разности ь<х уравнешп< (см. 14 2), получим: Глава14. Импульсные системы 429 х(!) = А ' х(0) + 6 ' и(0) + т * ДО); х(2) = Л*х(1)+6'и(1) ет*7"(1); (14.79) Во втором случае, подставляя выражсиисдля х(1) в выражение для х(2), выра- жсписдля У(2) в выражение для х(3) и т. д., получим х(>)=(А*)'х(0)+ ) (Л")'"' '6 "и(»), (14.80) ч=а Для простоты здесь положепо, что 7(>) -О.
Решение (14.80) позволяет при известной»оследоватсльв<>сти и(1) найти х(() и, следовательно, у(>) = с х(1) для любого наперед заланпого момента времени > = >7, Используяуравпепия(14.75),можпоопрелслитьпсредаточнь>ефуп>сции рассматриваемой системы. Для этого найдем г-преобразования от их лсвь>х и правых частей с учетом формулы (1433) при пулевых начальных зпачсш>яю В результате получим: гХ(г)=А Х(г)+6 Б(г)+т~Е(г); У(г) = стХ(г), (14.81) где Х,(г)~ Хг(г) Х(г) = 2(х(1)) = (14,82) Х„(гЦ 7огда Х(г)=(гŠ— А') >+6*17(г)е(гŠ— Л ) 'т*р(г); (1488) у(г)=ст(гЕ-Л*) '6*(У(г)ест(гŠ— А*) 'т*Е(г). (1184) Таким образом, нерслаточиыс функции системы с>прсдсляк>тся слсдуюп!им образом: 'й>(г) = — = ст(гŠ— А*) '6*; (7(г) (14.85) Решение первого из уравнений (14 75) можно получить как последовательно шаг за питом, так и в замк»утой ~)х>рз>с, В первом случае вычис титсльная вропсдура осущсствляется следуюшик> образом: 430 Линейныедискретные системы И~,(г)= — =с (гŠ— г1*) т* 1(г) -г Е(г) (14.86) 9 14.6.
Устойчивость импульсных систем В 8 6.1 было показано, что непрерывная система устойчива, если все корни р„(ч 1, 2,„,, п) ее характеристического уравнения лежат в левой полуплоскости (рис. 14,8, а). При исследовании импульсных систем вместо р используется новая переменная г = е гг, В теории функций комплексного переменного преобразования, в процессе которого о гпа переменная заменяется некоторой функцией от новой переменной, а олпа область комплексной плоскости отображается в другую, называется копформным преобразованием. Конформнос преобразование г = е г отображает левую полуплоскость плоскости р в область, ограниченную окружностью единичного радиуса па плоскости г (рис. 14.8, 6).
При этом мнимая ось плоскости р отображастся в саму окружность. Действительно, пусть р, г - сг+Я). Тогда - е" (сое 'рТ.~.лпп 'рТ). (14.87) ПРи этом ~ г~ г1= е" г. ЛлЯ значений а < О (что соотвстс твУст коРпЯмР~ г лежащим в левой полуплоскости плоскости р) (г, г( с 1, что соотвстствуст корням, лежащим внутри круга единичного радиуса плоскости г. Если п = О, т.
е. если корни р, г распела аются на мнимой оси плоскости р, то корни г, г попадают на окружность единичного радиуса плоскости г. Таким образом, импульсная система устойчива, если все корпи ее характеристического уравнения лежат внутри круга единичного радиуса, т. с. сели ~ г„~ < 1, у = 1, 2, ..., и, что совпадает с результатом (14.14). Если хотя бы олин корень лежит вне круш едипичцого радиуса, то система неустойчива. Окружность единичного радиуса представляет собой границу устойчивош и для импульсной системы.
Система ~ ~аходптся на апсриодичсской границе устойчивости, если в ес харакгеристичес ком уравнении а„г" + а,г" +...+ а„= О (14,88) имеется корень г„= 1, а остальные корни располагаются внутри круга единичного ради уса (рис, 14.8, е). В этом случае переходная составляющая решения разностного урав пения (14.12) с течением времени стремится к значению С„( г„)' = С„. Если в характеристическом уравнении имеется пара комплексных сопряженных корней, расположенных на окружности еггипичного радиуса (рис. 14.8, г), т. с.
таких что Ае г, „, + Тлгг г, „„, - 1, то имеет место колебательная граница устойчивости. В этом Использование выражения (14 85) даст такой жс результат, как и (14 58) нри у < 1 или (1460) при у = 1. Передаточная функция (14.86) существует лишь при сделанном ранее допущенпги о том, что возмущающее воздействие можно считать постоянным и„ интервалах времени гТ< г с (г'+1)Т, Глава 14.
Импульсные системы 431 случае с течением времени в системе устанавливаются незатухакнцие периодические колебания. Веьцественная часть указанных корней йе г„„,| может быть положительной, как на рнс. 14.8, г, отрнпательной или нулевой. Типичной для импульсных систем является так называемая гранина устойчивости третьего типа, которой соответствует наличие в характеристическом уравнении корня г„= -1 (рис. 14.8, д).
В этом случае в системе с течением времени устанавливаются нсзатухакнцис периодические колебания с периодом, равным 27, так как составляющая решения (14.12) С,,(г„)' С,,(- 1)' при изменении г последовательно принимает значения С, и — С„. В в 14 4 отмечалось, что обычно для оценки устойчивости и качества иьшульсных систем используются передаточная функция разомкнутой системы И'(г) и нсрелаточные функции замкнутой системы Ф(г) нлн Ф (г). Тогда в соответствии с выражениями (14 64) или (14 65) характеристическое уравнение замкнутой системы (14 88) может быть получено следующим образом: (14.89) 1 е Ь'(г) = В(г) + С(г) = О, где В(г) и С(г) — нолиномы числителя н знаменателя передаточной функции И'(г). Как правило, такое же уравнение получается и нрн использовании модифицированной передаточной функции замкнутой системы Ф(г, е), опредсляемой по формуле (14.67).
Лишь в отдельных редких частных случаях полнномы знаменателей передаточных функций Ф(г) и Ф(г, е) могут иметь различное число корней 1301. Эти случаи здесы ге расеи атривакгтся. Исследование устойчивости импульсных систем представляет собой более сложную задачу, чем исследование устойчивости непрерывных систем. Это связано с тем, что рассмотренные в главе 6 критерии устойчивости, такие как критерии Гурви па илн Вышнеградскосо, устанавливают принадлежность корней характеристического уравнения к левой нолунлоскостн плоскости р, тогда как для устойчивости импульсной 432 Линейные дискретные системы систсмь< корни харакгеристического уравцсция (14.88) или (14.89) лолжцы находить.
ся внутри круга единичного радиуса на плоскости г. По той жс црцчи цс цсцримсццмым ьчгазывастся и необходимое условие устойчивости. требукццсс положительности ко. эффи циецто в характеристического урав цепи я. ! !ац ример, в уравнении г — 0,5 = 0 одиц коэффициент отрицательный, олцако корень г, =- О 5 находится внутри круга сдццич. ного ралиуса. Принадлежность корней к кругу ели и ич ного радиуса может быть установлена яр и ~ помощи критерия П(ур-Кщ ~а !901.
До некоторой степени оц ацалогичсц критсрщо1урвица, однако при его цспользовации необходимо составлять и анализировать определители вплоть до определителя цорядка 2п х 2п, глс л — цорядок характеристического уравце~ ~ ця. Поэтому ца практике этот критерий применяется редко. Для того чтобы получить возмож1 есть испол ьзовац и я для и сел ело язцця устой чивости импульсных систем всех критериев устойчивости цспрерывцых систем, необходимо отобразить круг единичного радиуса с плоскости г на левую пол уцлоскость некоторойой новой церемонной.
Для этого можно, ~ >ацримс!х применить рассмотренное вы юс коцформцое преобразование г - е" . Однако в результате такой замены уравнение (14 88) ,ят стацеттрансцсцдсцтцым. Вместе стем в теории функций комцлсксцого персмеццого существует1~реобразоваиис 1+ ге гав 1- ге ( И.90) (14.91) (аз — а>)ц' + аа е а, = О. Для уравнений первого и второго порядка, как показано в главе 6. исобхолимое и достаточное условие устойчивости сводится к трсбовашцо положительности козффицисцтов. "!аким образом, условия устойчивости импульсной системы цри п =- 1 имеют виг! ие — а, >О:( и„+а, >О.) (14,92) При ц =- 2 харак гсристичсскос уравцсцпс и условия устойчивости следую~пвс: а (а„— а, + аз)ге -«2(ие — аз)а' ьа„+а, + а~ =0; ае а1 |.аз>0; ао аа >О; ае+а, +а, >О. (14.95) которое называется били цей цыц, цли ц ц1реобразованискс Оио тоже отображает круг едц яичного радиуса валову)о цолуплоскость, цо уже цс плоскости р, а плоскости псрсмеицой ю, Рассмотрим, цацримср, характеристическое уравцсццс (14.88) прц и =- 1.
После подстановки (14.90) получим: Глава14. Импульсные системы 433 ио —, +а; — а, >О; Зао -и> -ат+Заз >О; За»+и, — иг — Заз >О; ао+и, +а>+аз >О; ио -"оиг+а>аз а, >О. а (14,94) При л > 4 условия устойчивости становятся слигиком громозлкими. В качестве примера исследуем устойчивость замкнутой системы, иерелаточиая функция непрерывной части которой К(1 а тР) К Кт >>(Р) а г + Р Р Р (14,95) В соответствии с (14.60) при помогли табл. 14,1 находим передаточную фуикцию разомкнутой системы: 2т~ 2т , (,.-' 1,. КТ 7 +1 КтТ КТ ( Т) Т 1(г(т) = + 2 ( - 1)г - 1 2 ( - 1)о (144)6) Характеристическое урависн ив замкнутой системы (14.89) имеет вид ., (Кто 1 Кто та+ — +КтТ-2 г<ь — -КтТ+1=О.
2 2 Из неравенств (14.93) получаем условия усто йч>ииюти вам к путай системы: КтТ< 2, т> —. 2 Для исследования устойчивости замкнутых систем удобно использовать критерий Найквиста(см. гл, 6). Чтобы построить ахи>литуг>ио-фезову>о характеристику разомкнутой системы можно использовать преобразование т = е" . Положив р =у», получим. о>Т 1+) ц,— т=е' =сохо>Т+)я>во>Т = >0>г 2 юТ' 1-)гй— 2 (14.97) 11олстав ив (14 97) в выражение для нор> даточ ной функции разомкнутой системы г»г Й(т), найдем части>тную передаточную функцию разомкнузойсистемь> Ь(е ). Онрелелив молул ь и фазу или всгисствсиную и мнимую части атой функции, можно построить а.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
