Бесекерский (950612), страница 84
Текст из файла (страница 84)
14.6, в: 2 ! 2 г е1, о г +1 г +1 Кроме рассмотренных существуют и другие теоремы г-преобразования ~ 491. 9 14.4. Передаточные функции В предыдущем параграфе было показано, что передаточная функция то'(г) системы схема которой представлена на рис. 14 А, легко определяется сели известно разностное уравнение (14,10) или (14.11). В соответствии с (14А7) она имеет вид Яl(г) = — = У(г) В(г) = и(г) = С(г)' (14.51) где В(г) и С(г) — полиномы, входящие в уравнение (14А5). Однако на самом леле задан и ы м является не раз ности ос, а дифференциальное уран пение непрерывной части системы Поэтому, наоборот, олин из способов получсвия Сумма в праной части (14А9) представляет собой изображение последовательности на интервале 0 — М.
Для симметричной последовательности !(!) =- — /(!+ Л!) аналогичным образом мож- нополучить Глава!4. Импульсные системы 423 разпостного уравнения основан иа ис~ юльзовании уже известной передаточной функции Й(з). Действительно, сели известна передаточная функция (14.51), то сразу же оп релсляется уравнение лля изображений (14А5). Из нсго при помощи формул (14 33) пли (14,31) получаются разцостпыс уравнения (14,10) или (14,1! ). С учетом отмечс~шого передаточную функцию И'(г) будем определять непосредственно по структурной схеме системы (риг .
14 4). В качестве входной величины системы целесообразно рассматривать последовательность и(1), изображение которой У(г), а в качестве выходной — последовательность у((), изображение которой У(з). Тогда, как видно пз рис, 14А, У(з) -2(1Кв(Р) И'в(Р)) У(г) (14.52) и передаточная функция (14,51) может быть определена следующим образом: Й(.) = ~(И;в(Р) Й,(Р)). (14,53) Последовательное соедн пенис форлшрующсго устройства с передаточной фун кцией Й,<,(Р) и непрерывной части с передаточной функцией Ив(Р) иногда назывшот приведенной непрерывной частью системы.
Передаточная функция Иг(з) должна определятьсяя по ее результирующей передаточной функции Йф(Р) Ига(Р). Это связано с тем что г-прсобразоваш ~я от произвеления передаточных функций непрерывных звеньев, нс раздсзюнных импульсным злсмсптом (ключои), не равна произведению г-преобразований: 2(11ф(Р) Йо(Р)) к2(Иф(Р)) 2(Иа(Р)). Позтомуипогдадля носледовательпогосоедипениядвухзвсньев. папримертакопз, как в (14.53), пеРедаточнаЯ фУшгнип записываетса в видс Й'(г) = Игф Йв(г), пРичем Й'рй'о(г) ~ ЙФ(г) Й'о(г) Передаточная функция непрерывной части системы Ив(Р) полагается аадапной.
Лля нахождения передаточной функции формируюгцсго усгройства И~1,(р) положим, что опо генерирует прямоугольные импульсы (рис. 14.2) длительностью уТ в соответствии с выражением (14.2). Коаффициент пропорциональности й„можно отнести к цспрергявпой части системы. Тогда амплитула (вьп:ота) импульсов будет равна и(г).
Передаточная функция И'Ф(Р) можст быть определена как отношение изображений по Лапласу выходной величины формирующего устройства (см. рис. 14 4) У" (Р) и его входной величины. Однако входная величина представляет собой последовательность и(1), для которой преобразован нс Лапласа не существует. Чтобы устранить зту веопредсленносгь положим, что идеальный импульсный злемщп. (ключ) ~епернруст пе импульсы конечной высоты и(1), а бесконечно короткие импульсы типа б фушсций, площади которых пропорциональны значениями(1). На самом псле никакой импульсный злсмспт пс может генерировать бесконечные но высоте импульсы Вместе с тем возможность использования указанного формального представления при теоретических исследованиях является обоснованной 149!.
424 Линейные дно<ратные системы Пои поступлении иа нход формируклцсго устройства сдшк твои ной дис кроты и(;) выготой, равной единице, ивето выходе образуется прямоугольный импульс с гаков жс высотой и «гл«лтегльлгосгью уТ. Его изображение в соответствии с (7.7) У * ( р) = ~! е "'<1г = о (! 1.54) Но так как указанная днскрета формально заьленяст<я единичной б-функцией, изображение которой ио Лапласу (см. табл. 7.2) раин(л с:<иннце, то изображение (14,54) иредс гавляет собой глерсдат очную функцию формирующего устройства: 1 — е <и Ж,,(р)= р (14.55) В этом случае передаточная функция (14.53) 1-е "' гг(г) =21 й'о(р) (14.56) 2«(е"<""ол'РГ(Р)т(=г <(' 'Т(г,е)й л „-, (14.57) тле и - О, 1, 2,.,4 О ( ф <1.
Положив лг = О, с = у, вместо (14.56) получим: Н (.(-2( '~"()- -'7 ( ' ~(< (14.58) Пусть, например, непрерывная часть системы имеет передаточную функцию К 1Р„(р) = —, 1 л- Т, р Тогда в соответствии < (14.58) и табл. 14.1 иолучнм: (1-<л')г 1 <«л '1 (т*' «-И И'(г) = К вЂ” — + — = К ! (г-1)(г — «) г — 1 г-<1~ г-<т -ц где (г =е ' '. В системах автоматического управления преи му и <ествси и о исиользу<отся Форин рующие устройства, удсрживалощис иа выходе величину, ран ну(о и(<), в течение все~~ периола дискретности Т. В этом случае у - 1, а само формирукнцсс устройство называ- Выражение (14 56) неудобно для практического применения.
Поэтому восиользусмся теоремой смегцеиия г-прсобразонаиия в велцсствсииой области (49$ согласно которой Глава14. Импульсные системы 425 ется зкстрапиллторою пулевого порядка. Передаточные фупкпии (14.55) и (14.58) при у -1 принимают вцл 1 — е Ие(р) = р И'(2) = — 7— г — 1 (И'в(р)) р (14.60) Определим, например, передаточную функцию (14.60) л чя случая, когда непрерывная часть имеет передаточную фупкцию К Ио(р) = р(1+ 7; р) к (! =К вЂ”вЂ” р(1+Тр) ( р 1+7;р Тогда из (! 4.60) и табл. 14.1 получим; К(г-1) ( 1 Т, ~ К(г-1)( 7'г г ~ р,о(1+Т~р)( 2 ~ (2— 7;(1 — с7)г — 1)(г - 27) 1) (2 К!1! — Т~(1 — Й))2+Т~(1 — 4)-Т27 ~ (2 — 1)(2 — 27) В непрерывную часть системы может входить звсно с чистым временным запаздыванием т, что соответствует (см.
гл. 6) наличию в псрслаточ пой функции Ьс(р) сом~ южителяе 'с.ГсливеличипатцахолитсявпрелелахО<т<7;топсредаточпуюфупкпию(1460) с учсгом формулы (1457) при ьт = О. с .—" т мояо!о определить следуюц!им образом: Иг(2)= 2 17 в~И вЂ” 2 !7 а Р (14,61) Заметим, что прис - 0 из (1461) нельзя получить (1460), так как при этом с = 1 и смещенная последоватсльностьЯ(, е) псрсходпт. в7(1-ь 1). Выражения (14,60) и (14.61) совпалут, ссли послелпсс в соответствии с формулой (1433) умножить на г. В ряле случаев г!ля получения более полной информации об измеиеи ии выходной величины системы применяется так называемая модифицированная перелаточпая функция ( )= У(гге) =7 /Ио(р) и(2) (14.62) где )'(г, с) =7„(у(1, е) !.
Чтобы можно было использовать данпые табл. 14.1, разложим правую часть на простые дроби: 426 Линейныедискре>ные системы (14.63) где И'(г) — передаточная функция разомкнутой системы, которая при использовании зкстраполятора нулевого порядка имеет вид (14.60) или (14.61). Так как приведенная непрерывная часть системы реагирует назпачспия ошиоки системы х(с) = я(г) — у(г) только в дискретные моменты г -" !Т, ток(>) = я(!) — у(1), а Х(г) С(г) — У(г), и из (14.63) получим: У(г) = С(г) = Ф(г)С(г); И'(г) (14.64) 1+ И'(г) Х(г) = С(г) = Ф„(г)С(г), 1 ! + 1У(г) (14.65) глс Ф(г) — передаточная функция замкнутой системы, а Ф,.(г) — передаточная функция замкнутой систсмы цо ошибке (но своей структуре зти персдаточиыс фуцкции аналогичны псрсдаточным функциям замкнутой непрерывной системы (см.
гл. 5)). В качествс передаточной функции разомкнутой системы можно рассматривать и модифицированную переда> очпую функцию (14 62). Тогда при (7(г) = Х(г) У(г, е) = >У(г, е) Х(г), (14.66) или с учетом (14.65) У(г,е) = ' С(г) =Ф(г,с)С(г), И'(г,е) 1+ И>(г) (14.67) где Ф(г, е) — модифицированная передаточная функция замкнутой системы (обычио эта передаточная функция це используется, так как практически всегда для оцсцки качестваработыдискрстиойсцстсмыдостаточцознания передаточныхфункций И'(г)* Ф(г) или Ф,.(г)). Псрсдаточиая функция импульсной системы (рис.
14.7) по возмущению Ф7(г) ие суп>ествуст. Это связано с' тем, что если Е(р) представляет собой изображение по Лая ласу функции/(!), то как отмечалось раисе, (14.68) х!И77 (р)Р(р)) = ИГР(г) л Иу(г)7 (г) Однако болыпи яство задач по исследованию дискретных сис>ем решается при использовании передаточной фчпкции >У(г). Рассмо грим тспсрь вам кнуту>о имцульсцун> систему (рис. 14.1, б) Ге структурная схема может быть представлена так, как показано иа рис, !4.7, где И>7(7>) — передаточная функция разомкпутой системы цо возмущению (см. гл. 5). Основу этой системы составляет схема, изображшшая иа рис.
144, при х(1) = и(!). Тогда изображспие управляемой величины у(1) ври Д(г) = 0 У(г) = )У(г) Х(г), Глааа14. Импульсные системы 427 Ври наличии возмущения лля разомкнутой системы вместо (14.63) получим 1'(г) = И'(г)Х(г)+ Й' Е(г). (14.69) Отсюда с учстоь< выражения Х(г) - б(г) — У(г) для замкнутой системы имеем: П<7 Е(г) 1'(г) = Ф( г)С(г) -» 1е)»'(г) (14.70) Изображение Чуй(г) можно определить только для конкретных заданных воздействийй)(<).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
