Бесекерский (950612), страница 83
Текст из файла (страница 83)
>=в ыс Излвух последних выражений следует: 1>>п /(!) =!>п>(г 1)г(г). (14.37) 5. Формулы разложен ия. Если изобра>кениепрсдставлястсобойпростсйгпую табличную форму (см, например. табл. 14.1), то переход к оригиналу нс представляет трудностей. Сложная пробно-рациональная форма может быть прелставлспа в пиле суммы пробой первой степени. рассмотрим нексггорые употрсбительныс разповиппости формулы разложения. а) 11усть изображение Г(г) представляет собой отноп>си ив двух мпогочлспов: Г(г, = А(г) гАе(г) В(г) В(г) Второе слагаемое в правой части (14.33) абра гнастся в нуль, сслиГ(!) =- 0 прн ! = О, 1,, т — 1.
1!ри запазлыванни на пс нелос число перно>п>в т .! ч прнхолптся вволить смс!пенну>о послсзоватслын>сть Г(! е е — т — с), !лет — целая,а г — пробная часть запазль>валия. Если смс>иснпс е удовлетворяет услови>о 0 < с < ь н г(! е е — т — ~) в 0 при ! + е < т .— ~, то можно показать, что ~~[У(! ее т ~)! =г 'г"(г, 1 ье-. г) 418 Линейныедисхретные системы причем будем предполагать, что степень числителя пс вылив, чем степень знаменателя а корни знаменателя прость~с. Тогда изображение можно и рслставить в виде суммы гАе(г) т Ас(7„) г В(г) „., В(г„) г-г,, (14.38) тле В(г) — производная В(г) пог, а г„(ч = 1, 2, ..., 1) — корни знаменателя.
Элементарному слагасмомуг(г — г„) соответствует оригинал е '"' =г,'„где сг„=Т !!пг,~ (см табл. 14.1), В табл. 14.1 единственный корень дроби первой степени обозначен г, Д, Поэтому оригинал (14.38) можно записать следующим образом: у() ч, АО(ч) , ! В(г„) (14.39) б) Пусть изображение Р(г) не имеет нулевого корня числителя, но степень числи- тсля Л (г) мсньщс стспенн знаменателя. Лля нахождения оригинала в этом случас можно воспользоваться формулами (14 38) и (14 39), цо применить их слелует для сдвинутой на олин такт влево решетчатой функции, изображение которой будет гР(г).
В результате имеем ! Аг у() Т, ( и) ю-1 ,, В(г„) (14.40) причем последнее выражение булет си равеля ивым только для ! > 1. в) Пусть изображение Р(г) не имеет нулсвого корня числителя А(г), причем степень А(г) равна степени знаменателя В(г), Тогда следует понизить степень числителя, поделив его на знаменатель, и представит ь Р(г) в виде суммы составляющей нулевого порядка и дробно-рационального остатка Рс(г). Тогда Р( г) = — = Г(0) + Рс(г) = Г(0) + —.
А(г) . Ав(г) В(7) В(г) Переход от второй составляющей изображения к орипшалу может быть сдслан по формуле (14АО), которая справедлива для(1 1. г) Если изображение Г(г) можно представить в виде А(г) г 7 Ас(г) Р( )= — = — Г,( )=— В(7) г — 1 г — 1 Вэ(г) то можно показать, что формула разложения приобретает вид .Г() = — -~ Ао(1) Ло(г ) (14А1) Вс(1) „,(1- г„)В(г„) Последнее выражение представляет собой аналог известной формулы разложения ! Хевисайда, полученной им для непрерывных систем.
! Глаеа14. Импульсные системы 419 4(г) Л(г) В(г) =— В(г) г В (г) причем степень числителя А(г) меныпе степени пол инома Ве(г). Тогда можно найти оригинал в виде ( ) ы О, если <<>+1, У(<)= < ' А(г,) ч < ВО(гч) (14А2) При равенстве степеней числителя и пол и нома Ве(г) следует вь<делить делением А(г) на Ве(г) нулевую составля<ощу<о и остаток, после чего представить изображен ис в виде р( )= — =,.
= — „~у(к)- А(7) А(7) 1 Лс(г)" В(г) г' Ве(г) г ~ Вс(г)~ ЗЛесь <(з) — значение оригинала в момент < = к Далее можно воспользоваться формулой (14.42), заменив в ней А(г) на Ае(г). с) Пусть изображение Г(г) имеет полюс г< кратности к, а все осталы<ыс пол<осы простые: Г(г) = — = А(г) Л(г) В(г) (г-г<)' Ве(г) причем степень числителя меньше степени знаменателя. Тогда оригинал булет < — гА(г ) 1 <(«-<< ГЛ(г)г' <(;) ~ °,„- + й„, ) ~.
(14.4З) „,В(г„) (< -1)!.;й<' '~1 В„(г) ~ Эта формула справеллива для < > 1. При < - О значение оригинала <(О) = О. Для случая двойного корня (< = 2) формула (14АЗ) приобретает вил у(<)=~ —.' г„' +1<п< — — . < гЛ(г,);, . «' ГА(г)г< ' „.,В(г„) " ° ь )г~ Во(г) (14АА) Так, например, если Р(г) = (г — 1) л) 11усть изображение Е(г) имеет нулевой по:нос. кратности г и простые остальные полюсы 420 Линейные дискретные системы то <1 г ,Г(< ) = ~ пи — ~ Гг ~ = <!', г п<1гь что совпадает с табл.
14.1. В случае, когда степень числителя Г(г) равна степени зпамепателя, следует впало. гично изложенному выше вылепить член нулевого порядкаДО) лслением числителя на зпамспатель и рассматривать далее остаток отделспия. 6. Разложение в рял Лорана.Из<кновпоговыражениядляиахождепия г- преобразования (14,24) слслует: Г(г) =~ Д()г ' = Г(0)+Д1)г ч +...+Г((<)г ~+... г-О Разложив л<обым спосооом изображение 1(г) а рял У! орала (рял по убыва<ощип степеням г): Г(г) --. с<, — ' с,г .ь....ьсгг и сравии аая лва ряда межлу собой, можно установить, что се - Г(0), с, =Д1), сг =- <(2), се= Г(1:) ит.л. Разсюжспис в ряд можно делать любых< с~<особом, так как такое разложс«ис слипствсппо. Наиболее улобным приемом для пробно-рациоцальпых функций являстся Лелспие числителя на зпамспатсль.
Применяя разложение в ряд Лорана, можпо вычислить значения оригипалаД~) илпГ(<, е) в дискретпых точках без нахождения полюсов изображений Г(г). 7. Рс<пспи с разности ых уравнений.Пустьимсстсяразпостносуравпсипс в форме (14.10) сеу(<+ п)+ су((е л — 1) + ...+ с„у(<) = Ь,и(<' и) е Ь,и(< и — 1) + ...+ Ь„и(1) с начальными условиями у(ч) = у„(н = О, 1,... п — 1). Ыайлсм г прсобразова< ше от его левой и правой частей.
В соответствии с формулой (14.33) для случая упрежлспия па п тактов а-1 7(у((+п))=г" )(г)-ч~ у(1<)г г=о <<пало гичнь<е зависимости могут быть записаны для упреждения па (и — 1), ( и — 2) ,, 1 тактов. Лля входной последовательности начальпыс условия не задаются. Позтому г(и(1+ и)) = г"' У(г). В результате при переходе в рассматриваемом разностпом уравпснии к изображс виям получим: <".(г) у(г) — у„(г) = В(г) (у(г), (14.4 б) гдсС(г)-<ег" +сг" +.„+с„,В(г)=бег" +6,2 +...+К, а)е(г) сукка ля ем ы х начальными условиями. Глава 14.
Импульсные системы 421 Из (14А5) можно найти изображение искомой выходной последонатсльности У(г) = — У(г)+ В(г) Уп(г) С(г) С(г) (14 Аб) Подобные зависимости могут быть записаны лля запаздывания на (и -- 1), (и - 2), ..., 1 тактов. Прн переходе в рассматриваемом разпостном уравнении к изображениям могут быть получены выражения, аналоги шые (14А5) и (14А6). ! !ерсхол к искомой последовательности у(!) осушсст влястся в соответствии с изложенными выше приемами. Особый интерес прслставляст случай, когда до момента времени г = О искомая последовательность тождественно равна нулю.
Это аквп вален тпо случаю нулевых начальных условий слева (при г = — О) при решении дифференциальных уравнений для непрерывных функций, Тогда в выражении для изображения (14.46) пропадает члси в правой части, опредсляемый начальными условиями, и опо приобретает вид У(г) = — Г(г) = !1г(г)(/(г). (14А7) В(г) С(г) Здесь введена дискретная псрсдато шая функция И'(г), которая, как и н случае непрерывных функцц й, есть отношение двух изображений (выхолпой н нходпой величин) при пулевых начальных условиях. Дискретная передаточная функция играет такую жс роль в импульсных и ппфропых системах, как н обычная передаточная функция в непрерывных системах. !!олучение агой функции будет подробно расс мот рено ниже, Далее можно исполь:ювать изложенные выше приемы перехода к искомому оригнна.туу(!).
Для решения рассматриваемого разпостцого уравнения неооходимо, как следует пз изложенного, знать начальные условия у(у) - у, (н - О, 1, ..., ш — 1). Последние жс зависят от нида действующей в правой части разпостного уравнения входной последовательности. Более удобны для рсшспня разности ые уравнения вида (14.11) сец(!)+ сну(! — 1)- ...—: с„у(ь' — п) = Ьпи(~ "т — и) ' Ь!и(! ' ш — 1 — и) е,.,+ Ь и(! — и) с начальными условиями у(-у) = уе (у = О, 1, ..., и). Изображение последовательное ги у(! — п), запазды веющей на и тактов, в соответствии с (14.31) булст 422 Линейные дискретные системы 8.
Периодические последовательности и их изображс. н и я, Введем в рассмотрение псриоличсскую последовательность Я!+ /гМ) =7(!), (14.48) где л и М вЂ” цслыс числа, причем М представляет собой относительный период (рис. 14.6). Для симмстрю!ной периодической функции (см. рис. 14 6, б) М = 2Л!иЯ!) = — (! + Л) Для нахождения изображения периодической последовательности (14,48) при меним теорему сдвига (14.33): м-! Е(г)=г Г(г)- ~ч ((г)г " . .:о Отсюда следует; и и-! В(г) = —,', ~У(г)г-". гм 1 (14А9) . л у-! В(г) =, ~~' ! (!')г +1.=о (14.50) Найдем, например, изображение симметричной периодической последовательное ги, покааако!ой па рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
