Бесекерский (950612), страница 78
Текст из файла (страница 78)
Ограничимся рассмотрением так называемого аппроксимирующего 1кшсния, которое может при ллсняться, если фушсция Г(Е) мало изменяется относительно своего среднего большого значения Г,р (рис. 13Л). Это ре<пснне называется аппроксимацией Бриллуина — Вснтцсля — Крамера ~861.
Рассмотрим однородное диффсрснциальнос уравнение 392 Непрерывные линейные системы автоматического управления — <с, —. <с, 0«1. й(2 ~ ~го ~ Тогда решение (13.21) можно представить в виде ~0 г( ~ 72 '(13.32) 1! олставляя этот рял в (13,31), получаем формулы для определения членов ряда: (т' (г)=~Я, 2М, М, = — ( — 01 — — — О, (т(о 2 (то ~~(т(о/ Ж> )~'о) 2 тго(~~'о (~'о~ ! (1333) Часто можно ограиичиться жшько первым членом ряда (13.22), что будст справедливым, если функция г" (г) изменяется мсллсипо, оставаясь в срсдиел( большой (рис. 13А). Тогда ('т'(г) = ~Е((г). (13.34) При выполнении условия г (() > 0 в качестве второго частного рсшсния можно взять комплскспо-сопряжснну(о величину (13,29) (13.33) и2(г) = — е лт((1 ,/У(г) Тогда можно показать, что рсшснис уравнения (13.26) будет „(, дд) и((т) 2(д)- ((д)и2(2) и|(г)и (д)-и((д)и2(е) и((д) и2(д) и((д) и2(д) ' 22' (13.36) или, после подстановки (13.28) и (1335), ('-ка(- .
' [~((-Ю(1 1 ' Р(ОЛЯ (13,37) Решение уравнения (13.31) и отыскание фуикиии Х(г) является сложной залачсй вслслствис наличия нели пей постой в (13.31). Однако может быть иайдеио цриближсннос решение (13.31) в виве ряла, осли уловлстворякжся неравенства Глава 13. Системы с переменными параметрами 393 1, 1 г(г-д,д) = — з!н(т-д) = — з)наст. й й Для исходного лнффсренниальцого уравнения (13.19) ца основании (13.23) и (13,37) получаем искомую функцию веса 1 2 — — )Ри)м П п,п~-с . ' ! )5И-сР)).
и сп)с~ с~ (13.38) Критерисзт медлсн)юсти изменения функции г (Г) и, следовательно, применимости т)олучснного выражения может служить неравсцство 1 !Е'(г)! 1 Гт(с) 2 Гз(г) 4 Е2(г) (13.39) которое получастся из (13.31) и (13,34). Метод последовательных приближений. Рассмотрим уравнение (13.1): Еп „м Емп ао(г) — +...+оп(г)х = до(г) — +...+Ьм(с)Г. Етп " " Ест Ограничиваясь случаем квазистационарных систем и полагая, что коэффициенты а, (г) меняются медленно, найдем функцию веса лля этого уравнения.
Перемс~ныс коэффициенты в левой части исходного уравнения представим в виде суммы цостоянной и измсняюгцсйся частси: а;(т) =а,"+а, =а,(д)еа, (т -д), (13.40) 'тте а; = и,(6) — переменный коэффициент, зафиксированный лля момента прилоо жсния вхолной величины г -6. Тогла исхолцос дифференциальное уравнение (13.1) можно представить в виде ао — '+а, — '+...+а„хмЕо(т) — у(т), осЕ х осЕ .т о Етп а)гп-! (13А1) где А(С) =Ьо(г) — „м +...+Ь (г).Г, сЕ (13.42) Внрсдсльаомслучаецостояцствапараметров Г(с) =-52 =сонвц Тогда5'(т) =512 2 т) С (д) - 52(з, В РсзУльгате из фоРмУлы (13.37) можно нолУчить фУнкцию исса консервативном> звена 394 Непрерывные линейные системы автоматического управления (и у(Г)и во — +...+о'„х.
и (1ЗАЗ) Х(р) - Ф(р) Е,(р) — Ф(р) У(р). (13А4) Здссь ввслспо обозначение О и О «-! 1 сор" +аори г+.. +ао (13А5) Решение уравнения (13,41) нли (13.44) можно записать в виде ряда х (г) = х, + ха + хз +... (13А6) Для получения псрвого приближения х, зафиксируем псрсмснныс коэффициенты а, (г) = а, (О). Тогда первое приближенно может быть найдсно как рсшснис диффсрснциальпого уравнения О~~ Х! ΠΠ— ~- ~~.~~ =А(!). « (1ЗА7) Решение этого ура в но пня можно получить, используя обычные методы (см.
главу 7), в том числе путсм нахождсння оригинала, соответствующего изображспн!о (13.44) при У (р) - 0; (13.48) Х, (р) = Ф (р) УО (р), Для получения второго приближения в правую часть (13А1) или (13А4) подставлястся первое приблпженнсх = хп а в левую часть — х = х, + х2. Тогда получается уравпспис с фиксированными коэффициентами для опрслсления поправки: О~~ хв О 'г~ т! ОО +...+О Х2 = ~ ОΠ— +...+О„Х! г1« "' «(„-' и (13.49) Это уравпснис такжс может быть решено с использованием преобразования Лап ласа посредством нахождсния оригинала изображспия Х (р) - -гР (р) У~(р) гдс У, (р) — изображснису (!) нри подстановке в формулу (1343) х х!.
11оскольку мы прсдположили, что коэффициенты а, (г) меняются медленно, то функция У (г) мала по сравнению с левой частью (1ЗА1). Эту фуш<цшо можно рассматривать как возмущение, и тогда к уравнению (1ЗА1) можно применить метод последовательных приближений. В уравнении (13.41) можно персйти к изображсциям по Лапласу. Тогда получим Глава 13, Системы с переменными параметрами 395 о'( хь о ~ ° ~( хь ~ ° ос — +...+п„хь =- ос=+...+п„хт 1 . и "' " ' 1п (13.50) Ряд (13А6) сходится тем бьктрсс, чем медленнее изменяются коэффициенты и (г). Рассмотренный метод может использоваться как для нахождения функции ! веса и переходной функции, так и для построения переходного процесса цри любом известном воздействии г (г).
9 13.3. Передаточные функции Связь между вхолпой и вгиходной величинами в системе с переменными параметрами определяется интегральной зависимостью (13.9). . «)= 1к(г-д,д)Г(О) гд. о Предположим, что к входному сигналу Г (г) можно применить преобразование Фурье (7.15). Тогда его можно представить в виде (7.16): Г(г) = —, ) Г(~гв) е'""пш 1 2п Объединяя записанные выше две формулы, получаем )ие х(г ) = ~ гс (г — д, О) т(д — ~ Г Г)то) е)" Йа. 2п (13.51) Здесь в первом интеграле нижний предел взят равным — . Зто отражает тот факт, что входное воздействие может начаться в любой момент времени при г < О, в том числе и при г -> — .
Меняя в (13.51) порядок интегрирования и умножая правую часть па е' е т"" = 1, получаем 4 х(г) = ) Р(ую) елиг(сз ~щ(г-д д) е ли~ ч(д= — ) йг(уьхг) е()гв) е~ г(гп (13 э2) 2п 2п Здесь введена частотная передаточная функция системы с переменными паРа- метрами 11/(дв,г)= ~м(г-д,д)е ) ~' 1г1д. (13.53) Повторяя этот процесс многократно, можно найти рскуррсптиое соотношенис для опрелеления Й -го члена ряда (13А6); 396 Непрерывные линейные системы автоматического унрввяения Ес можно представить также в слелующсм вилс: тг'(>сцс)= ~сс(В,» — В) е '"' »7В, е (13,Я) се>е х(с) = ) %(р с)Г(Яен»ур, (13.56) где параметрическая передаточная функция ! т>»(р,»)= ) тс(»-д,д) е ~с' '>»(д= )»е(О,»-О) е ' »(В.
(13.57) Отыскание параметрической передаточной функции. Исг>ользование интегральной связи (1357) для нахождения параметрической передаточной функции являетсяя нсрациональньпч, так как требует знания функции веса, что усложняет залачу Болссулобно находить парамстрнчсску>о нсрсдаточную функцию нецосрслственно нз исходного дифференциального уравнения (13 1).
Г1оложнм в цсм/'(с) = б (с — д) Тогда решение этого уравнения будет соответствовать функции веса тг = се (» — д, О). Подставим ати значения в (13.1): ««,,1,в«дд, Г„,®,, „,Ц Ум нажим левую и праву>о части (13.58) на е>е и проинтегрируем по д в нрелслах от — до с; е Гс 1 ,(с) — ! ~ (»-д,д)е" Гд~+...+ ««)~ ~ (с-д,д)ел" (д = .»~ (13.59) => бя(»)р'"+...+Ь,„(»)~е". где О - с — д — реверс-сх>си>ение, а к (О, » — 0) — сопряженная функция веса (13.7) Величина, находящаяся в правой части (13.52) нод знаком интеграла, нрглставляст >бой изображение Фурье функции времени х(с) Поэтому вместо (13 52) можно записать Л (Сс>, ») = Нг(сс>, ») Г(Лэ), (13.55) Такнхс образом, иэображение Фурье выходной всличнць> системы с церсмсннымн нарамстрамн можно представить как нзображсцнс Фурье вхолной величины, умноже>шое на частотную нсрслаточну>о функцию.
Разница по сравнению с системой, нме>о>цсй но стоя ни ыс параметры, заключается в том, что выражен не (13 55) за> и »а но для некоторого фиксированного момента времени с = сонэк В связи с этим в часто>н>ую передаточную функцию Ь'(тю, ») вхолнт параметр С, вследствие чего она называется паране»прической частотной нсрсцатошн>й функцией.
1! срсхоля в формуле (13.52) к преобразованию Лапласа, получим Глава 13. Системы с переменными параметрами 397 ') ис(с — 00) его с(0 = %( р г) елс, В результате вместо (13.59) можно записать л ао(с) — ~К (Р С)ел 1+...-ьсс„(с)~ %(Р с)ел ~=~ Ьо(с)Р +...+Ь (с)~ел . (13 66) й" Продиффсренцировав левую часть и сократив на е", получим сИ с()Ф' 1 с("А с("% Л(р с)%(р,с)-,— — +...+ — — — = В(р,с), с/р с)с и! сгр" с(сь (13.61) Здесь введены обошачения: Л(р,с) = ао(с)р" +,,а„(с), В( с ° 1 (с) ~п+ +~ (13.62) Таким образом, параметрическая исредаточная функния может быть получена в результазе решения Ссиффсрессииального уравнения с иерсменными коэффициентами (13.61).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
