Бесекерский (950612), страница 77
Текст из файла (страница 77)
Таким образом, для фупкцци веса получаем (рис. 13.1, б) Глава!3. Системы с переменными параметрами 385 Ссчсцис поверхности носовой фупкции вертикальной цлоскост> к>, парад- >сльпой оги 6, ласт кривую, образованцую орлииатами ссмсГ>ства нормальных весовых функций для фиксированного значения времени г = сапы (рис.
13 2, 6). Эта кривая может быть цолучсца путом обработки семейства нормальных весовых функций, построенных для различиых моментов приложения единичного входного импульса д (рис. 13.3). Получающуюся зависимость будем называть со>пг>ялееяиой функцией веса: а> (1 — д, 6), г = сопзг.
(13.6) Оиа также является параметрической функцией, так как содержит царамстр г сопки Сои ряже иная функция веса являстс я функцией смс>вопия 6, но может быть и рслставлспа также как функция аргумента д = г — д (рис, 13.2, о), называемого реверс- смещением, поскольку 0 отсчитывается от то >ки д = г в сторону, нротивоположпую смс>цени>о 6. Это осу>псствлястся >юлстаповкой в сопряженную вссову>о фуцкци>о значения д = > — 8 цри г = сопок В результате цолучасм | ю(6, г — 6), 1= соязг.
Проиллюстрируем все сказанное примером. Пусть функция веса систсл>ь> с переменными царамстрами имеет вид е -а(>-о> ге(с — 6,6)= ' Заф>иа:ировав смешение и положив, цапримср, д - до совет, получаем нормальную функцию веса: ге(г-до,до)=е »» или в другом виде при Переходе к аргумсцту т = г — 6: е~ ю(т'до) до +т За4>иксировав текущее время и положив, например, г = го - сопзг, получаем соцря>ксциую функцию веса -ыо >е(го — 6,6) = — е 386 Непрерывные линейные системы автоматического управления Перейдя к реверс-смещешно в 6 - г — 6, имеем -о а (6, ге — 9) =— ке ( (г) - ы ( - 6, 6)й6) ~6. (13.8) Полный сигнал на выходе линейной системы определяется как суперпозипии элементарных реакций интегрированием (13.8) в пределах от О ло и Е .
(г)= г)и(г-6,6)КО) г(6 о (13.9) Так как при 6 > г функция веса равна пулю, то выражение (13.9) можно также записать в внле х(г) = ~м(г — 6,6)7 (6)46. о (1339) Из двух последних выражений видно, что в интегральном уравнснин связи мсжлу входной н выхолной величинами используется сопряженная функпия веса (13.6), т.е. разрез рельефа функции веса(рис.
13.2, б) вдоль аргумента 6. Если использовать реверс-смещение О г — 6, то интегральная связь (! 3.9) мо. жст быть представлена в виде интеграла свертки х«)= ( (О,г-6)((г-О) (О. о (13.11) Как уже отмечалось, в случае постоянства параметров системы функция веса за висит только от времени (г — 6), В этом случас формула (13,11) переходит в инте!" рал свертки (7А4) с х(г) = )га(6)Яг-6) г76= )в(т)/(г-т) Ыт. о О Заметим, что в системах с постоянными параметрами весовая функция являстс„ функцией только времени т г — 6 н не зависит от момента приложения 6 входного импульса. Рельеф функции веса (рис. 13.2) в атом случас получается цилиндрическим, а оба рассмотренных выше сечения (рнс. 13.2, а и б) совпалают по форме и отличаются только знаками аргументов. Прн перехоле к реверс-смсщенню получаем полное совпалсцие двух функций веса — нормальной и сопряженной: н (т) = га (О) Пусть на систему (13.1) с функцией веса ю (с — 6, 6) действует входной сигнал ) (Г).
Элементарная реакция на выходе системы в произвольный момент времеви г 1 6 будет Глава 13. Системы с переменными параметрами 387 13.2. Нахождение Функции веса и построение переходных процессов — + Р(г) х = О(с). Й~ й (13.12) Это уравнение имеет аналитическое решение х(г) = е 'тп! ~ ~ф(г) е~р!й+ С~, (13.13) где 5(г) = ~Р(г) г(г, а С вЂ” постоянная интегрирования. Пусть, например, имеется уравнение ггх г — +а х= у(е), ' 1г (13.11) Функция веса системы с переменными параметрами является исчерпываюшей характеристикой этой системы, и пахожлепие ес важно по слелук>птим соображениям Функция веса характеризует протекание временных процессов в системс управления, и по ее виду можно суЛить о качестве управления, аналогично тому, как зто делалось лля систем с постоянным параметрами (ч ВА).
По нмеюгцейся функции веса можно определить время протекания перехоцпого процесса, как характеристику быстролействия и склонность системы к колебаниям. Кроме того, по игие1ощейся функции веса можно строить процесс на втихопе системы при заланпых вхолных воздействиях не производя при этом кажльш раз полного решения исходного уравнения (13.1). В соответствии с формулами (!3.9) и (13.11) лля этой цели необходимо иметь < опряжепныс функции всса, Ввиду сложности проблемы сугцествуюшис методы позволяют решать залачу нахождения фуцкции веса в численном ниле.
только для систем, описываемых лиффсрснциальпыми уравнениями первого н иногла второго порядков, уластся решать задачу в обшсм виде. Поэтому в некоторых случаях приходится сложную систему с псрсмснш ими параметрами приближенно сводить к более простой системс, лвнжепис которой описывается уравнением не выше второго порядка. Следует заметить, что болыпилство систем управлсния с переменными параметрами относится к так называемым квазистационарным системам, и системам, параметры которых меняются сравнительно медленно. В подобных системах коэффициенты лпфференпнальпого уравнения (! 3.1) мало меняются в течение времени переходного пронесся, опрелслясмого временем затухания нормальной функции веса.
Дифференциальное уравнение первого порядка. В некоторых случаях лля оценки вида переходных процессов системы с переменными параметрами ее уравнение приближенно можно свести к дифференциальному уравненшо первого порялка 388 Непрерывные линейные системы автоматического управления Определим для него семейство переходных характеристик Ь (т — 6, 6) - Ь (т 6) Для елиннчной ступенчатой функции нри 6 и 0 уравнение (13.14) можно записать в слелуютцем ниле: Их т — +а,к=1(г-6) т(т Приведем его к внлу (13.12): т(х а, 1(г — 6) — + — Х= !т'! ! г Далее получаем Р(г) = — г, 3(т) = г) Р(т) т(г = ~ — ! т(т = и! 1н т, й! евр' =т ', е "' = т ", Я(Г) = ( ), ~Я(!)~втой = — ' а! На основании формулы (13.13) получасы Ь(т-6,6)=г "' — +С = — ч.—.
~а ~ и !"' ! ! Прн нулевых начальных условиях (для г - 6) должно быть Ь (О, 6) = О. Отсюда определяется постоянная интегрирования ) (!! С'=— а, Окончательно получаем Ь(т — 6,6)= — 1 — ~ — ) и!~ Дифференцируя последнее выражение по 6, можно получить функцию асса: д би!-! тв!(г — 6,6) = — Ь(т -6,6) =— 36 ' а! или в ином виде: ! у!! -! м(г-6) = (6+ т)"' Глава 13. Системы с переменными параметрами 389 к<(е — 6,6) = е л(<'о), (13.15) где Рагиростраиим этот результат иа бселсе общий случай записи дифференциального уравнения в виде . Ых а„(Е) — +а<(Е) х =Ь (Е)7(Е), Й (! 3.16) Приведем его к виду (13,12): Ых а,(Е) (1<(Е) ае(е) "о(е) (13.!7) Положив! (Е) - 8 (е — д), получим для функпии веса решение в виде га(т-д,д)= — е- < ) до(6) -л,, ао(6) (13.18) где 1<(г,д) = ~ — ' а,(е) о«) Рассмотрим снова в качестве примера уравнение (13.14).
Приведем его к виду (13.17): е(х а, 1 — + — х = — /(Е). <ЕЕ Е Обратившись к формуле (!3.18), находим ес(е,д) = ! — ' <Ее = а, !ив 6 и функцию веса 1 -а~!«- д ' а -< са(Е-дд)= „, о д Е а< '<то совпадает с полученным ранее выражение, Для дифференциального уравнения (13.12) можно сразу найти функцию песа из иди<его решения (13.13), сели положить в (13.12) входной сигнал равным единичному смещенному импульсу Я (е) =. 8 (е — д). Проделав необходимые выкладки, получаем 390 Непрерывные линейные системы автоматического управления ~2 — + р(т) — + я(т) х = Г(().
((г (13,19) !! ри помощи подстановки --! ('(() ж ) 2 х(г) = и(() е (13.20) это уравнение приводится к виду — +Г(г)и= /'(г)е ' =у",(г). Й~ (13.21) Здесь введено обозначение 1 а'(т) Рг(г) 2 й 4 (13,22) При действии единичного импульсами" (г) б (г — 6) для уравнения (13.21) получится решение й - г (г — 6, 6), которое связано с весовой функцией те (г — д, 6) исходного уравнения (13.19) на основании формулы (13.20) сост)тошснием —,) РП) Ы 2 ш(т — д,д) = г(г — д, 6) е (13.23) Если же положить)') (с) - б (г — 6), то для уравнения (13.21) будет получена весовая фуп)п(ия ) (г — 6, 6), которая на основании (13.9) связана с решением г (г — 6, 6) зависимостью -! Р(и) ги ) 2 г(т — 6,6) = ~г(т — и,и) е ' б(и — д) (!ш о Эта зависимость на основании свойства дельта-функции может быть представлена в виде )О 2 -! Р(е) ге г(г — 6,6)=г(г — 6,6)е а (13,24) В результате из (13.23) и (13.24) получаем — ! )'(к ) ж 2 п)(г -6,6) = г(( — д, д) е (13.25) Дифференциальное уравнение второго порядка.
Рассмотрим случай, когда дифференциальное уравнение (13.1) сводится к уравнению второго порядка Глава 13. Системы с переменными параметрами 391 Таким образом, для отыскания функции веса еи (е — д, д) необходимо предварительно решить уравнение (13.21), которое приобретает вид ,уги —,л-Г(Е) и =8(Š— д) л(гг ,Еㄠ—,+Г(Е)и=О. (Ег (13.27) Предположим теперь, что для некоторого однородного дифференциального уравнения второго порядка получсно частное решение и~(Е) = е 7 Нт, ,~Х(Е) (13.28) где 5(Е) = ~ЬЕ(Е) л(Е.
о (! 3.29) Найдем дифференциальное уравнение, которому удовлетворяет решение (13.28). Продиффсрепцировав сго дважды и исключив промежуточные переменные, получаем д'1,де,1 2 дг~ ' (13.30) Сравнивая (13.30) и (13.27), видим, что выражение (13.28) будет частным решением уравнения (13.27), если выполняется тождество (1331) с нулевыми начальными условиями: и (Е) = 0 и д(Е) = 0 при Е = д. Полученную нри решении весовую функцию и " г(е — д, д) необходимо затем подставить в (13.25) лл найти д (е — д, д). Решение уравнения (13.26) может быть произведено при помощи функций Бесселя [861. Для этого функция Р(Е) должна быть аппроксимирована о~резками прямых линий, уравнение которых сводится к виду а;+ Ь, е. Однако это решение является сравнительно сложным.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
