Бесекерский (950612), страница 79
Текст из файла (страница 79)
Заметим, что в системах с иостояннымн параметрами передаточная функяия не зависит от времени и уравнение (13.61) нрпобрспщт вид (13.63) Л (р) %(р) = В (р). Передаточная функция в случае постоянства параметров будет В(р) 11,р"'+...+Ь %(р) = Л(Р) ссор + -+а (13.60) В случае нсремснных параметров уравнение (13.61) может быть рс~псно методом последовательных приближений 186 ~, 7[ля этого нредставим его в виде Л (р, с) % (р, с) = В (р, «) + М (% (р, с)). (13.65) ~ А ()1 1 ("А ("Ис1 У(%(р,с)) = — ~ — — +...+ — — — . 1 с(р с(С с0 сур с)С (13.66) Будем искать ре~иеоис в виде ряда (13.67) %(Р, с) = %0 (Р, с)+%~(Р, с)е... На основании (13 57) величины, находящиеся в квадратных скобках, можно нрсдставить в следующем виде: 398 Непрерывные линейные системы автоматического управления Первое приближение можно получить, положив 7»г = 0 в (13.65): гьс(Р Г) =— В(р,г) А(р,г) (13 68) Это будет передаточная фуьгкция системы с <заморожеггными» коэффициентами, Для вычисления первой поправки 11'ь (р, г) подставим полученное из (13.68) первое приближение в правую часть (13.65).
Тогда получим лля первой поправки 11т ( ) ьтг(ььо(Р г)) А(рд) (13.69) Формула лля !г -й поправки будет иметь вид (р (,) л((р7ь- (Р г)) А(рд) (13.70) Таким образом, послелуюгций член ряда (! 3.67) получается посредством дифференцирования предыдущего члена в соответствии с (13 66) н подстановки его в (13 70) Ряд (13 67) схолится тем быстрее, чем медленнее изменяются козффн пнснты исходногоо лифференциальцого уравнения (13.1). По найлсцпой функции Иг(р, г) может быть пгьчучена параметрическая частотная псрслаточная функция ц'(!оь г) полстановкой р =ус. Использование параметрических передаточных функций.
В соответствии с формулой (13.56) изображсньтс У!апласа выходной величины системы с переменными параметрами можно найти как произвсленис изображения возлсйствия на парамстрическуьо передаточную функцьцо: (13.71) Х (р, г) - йг(р, г) р(р). Х(рд) = а(р г) Р(р) = ту р(р+Ьг+ст ) Полагая в этом выражении время фиксированным параметром, по таблице (см. например, табл. 7.2) находим х(г)= 11 — 'ы»н '].
!ь ьг ьстз Это дает возможность находить персходные процессы в системе с переменными параметрами посредством использования преобразования Лапласа (или КарсоььаХсвисайла). Для этой цели цо формуле (13.71) отыскивается изображение выходной величины, а затем делается псрсхол к оригиналу х (т). Для атой цели могут использоваться суцьествующис таблицы изображений Лапласа функций времени. Так, например, пусть изображение выходной величьшы равно Глава 13. Системы с переменными параметрами 399 Если изображение представляет собой гзюжную дробно-рационалы1ук> функцию, то можно использовать теорему разложения (см. 6 7А).
При отсутствии нулевых корней знаменателя изображения х(р) =— Х,(р) Хз(р) (13.72) а вал отнч и о формуле (7.37) получаем (г) 1; ~(ри ) лм х;(р, ) Р и (13.73) При наличии одного нулевого корня знаменателя изображения Х( ) Х1(р,г) рх,(кг) (13.74) аналогично формуле (7.39) получаем х (о) " х (рнг) '() х(о),,~ ( 1 ггр л=ю (13.75) В формулах (13.73) и (13.75) корни знаменателя предполагаются некратными. 9 13.4.
Устойчивость и качество управления (, = ~)ге(г-б,й)~г(г= ~~га(т,д)~г(т<-, Осб<Т. а о (13.76) Для систем с переменными параметрами понятие устойчивости имеет некоторую специфику. Если система работает ограниченный интервал времени, то понятие асимптотической устойчивости (см. 6 6.1) практически теряет свой смысл. Олнако лля квазистационарных систем прн сравнительно медленном изменении коэффициентов уравнения (13.1) представляется возможным сформулцровать понятие устойч и ности следую ьци и образом. Булем считать систему с переменными параметрами устойчивой на задапном интервале времени Т, если ее нормальная функция веса (13.4) или (13.5) затухает во времени для всех фиксированных значений 6, лсжагцнх внутри этого интервала. Это условие можно записать слелуюгнилг образом: 400 Непрерывные линейные системы автоматического управления (д — — ~1и>(г — 0,0)1>(6= ~~в>(0,г — 0)»(0<, 0<> <Т.
о (13.77) Однако затухание сопряженной функции вега и вы пол цспие условий (13 77) св>е нс означает затухания нормальной функции веса ц выполнения условия (13.76). Заметим, что в системах с постоянными параметрами не иабл>одас>т я такой ш>определенности, так как лля них совиалщот оба разреза рельефа фушсции веса: и (т) = ю (О), и оба интеграла: 1> =7е, онредслясмь>е >1>орму»аь>и (13.76) ц (13.77). Можно показать | 86>~, что лля систем, описываемых лифферсн пиал ьцым уравис»исм вида вых ас(г) — +...+а,(г)ге = г(г), П выполнение условия (13.77) практически обесисчивает выполнение условия (13.76).
В зтих сиггсмах исследование угт»>)ливости может быть провслецо на б>азг параметрической передаточной функции. Исслсяование затухания сопряжецпой фуикции веса может ироизволитьгя как но сс вияу, если оца известна для рассматриваемой системы, так и па осиоваиии отсутствия цол>о< он параметрической передаточной фушап>и замкнутой системы и правой полуплоскгюти и иа мнимой оси. Для атой цели мгиут привлекаться известныс критерии устойчивости, например, критерий На>)книста и др.
Формулы главы 5, лающие связь между иерелаточными функциями замкнутой спггсмы Ф (р), разомкнутой системы Ь'()>) и цсрсдаточной функцией ио он>иоке Ф,. (р), сохраняют свои> силу и лля параметрических псрсдаточиых функций. Качество управления может быть оценено по виду псрсхолиого процесса (исрс. холной функции или функции веса) в соответствии с 3 8 4. для атой цели дол>киы использоваться нормальная фуи кц>гя веса и нормальная переходная функция, опрелелясмыс лля фиксированного момента времени 0 < 0 < 7: Рассмотрим теперь точность воспроизведения задаю>цего воздействия в слезя щих системах. Составим лиффсрсициальнос уравнение (13 1) так, побы в левой ча сти находилась оп>ибка х (г), а в правой — задакнцсе воздействие д (г): г!" х(г) ~ >((г) вд(г) + +Йц(г)х(е) =ьс(г) +.ь ьЬ„,(г)д(г).
гуг " г(г "' (13.78) Если для системы получена нормальная функция веса, то вия сс и оцрелсляст устойчивость системы, Олпако в некоторых случаях имеется сопряженная фу икния веса (13 6 ) или (13 7) которая связана ирсобразоваиисм Лапласа с параметрической нерслаточиой г>>ув>г. цисй (13.57) и преобразованием Фурье с царамстрической частотной цсредаточиои функцией (13.53) или (13.54). Поэтому более просто можно исследовать вопрос затухания функции веса вдоль аргументов 0 (смен>сиие) или 0 (реверс-смсщсиис). условие затухания вдоль зтих аргумситов можио записать следующим образом; Глава 13, Системы с переменными параметрами 401 Реакция системы па дельта-функцик> в правой части К (е) = 8 (е — 6, 6) представляет собой функцию вега ошибки щ, (Š— 6, 6).
В соответствии с формулой (13.11) ошибку снстечь> можно орслставить в вилс -(Е)= ~ (О,Е-О)Е'(Е-О)70. о (13,79) > 1 х(Е) = К(е) ~™„. (О е — О) еЕО- Я(Е) )и',. (9 Е -9) Ое70+ И ~ш, (Ое О) ооф) + о о о Ограничимся случаем. когда е. > е„, где ń— время затухаиия е1>УнкЦии веса. Тогда верхний предел интегрирования в (13.80) можно положизь равным бсскопс пнщтп, В результате (13.80) можно представить в виде х(е) = со(е) + Д(е ) + с> (е)8(е )+ — Кэ(е ) +,. с~(е) ., 2! (13.81) Здесь введено понятие коэффициентов опеибок, определяемых выражением (-1)ьсе(Е) = )щ„(О,е -0) О" е(О. о (13.82) В отличие от коэффиписптов опщбок системы с пол ояш>ыми параметрами здесь оии получаются зависящими от времени. Коэффициенты ошибок можно вычислить с пол>ощью параметрической передаточной функции по ошибке И'„.
(р, е). Из (1357) следует 1Ие,(ре)1 „= $ее, (О е-О) с се70 = (и,(О е — 0) е(О=се>(е). (13 83) -,. 1 о р=о о диффсрепцируя И'„. (р, е) по р и положив затем р = О, получаем формулу лля онредслсния к-го коэффициспта: е(ЕИ', (р,е) (13.84) Коэффициенты о>пибок могут быть также получепыдслеиием числителя И', (р, е) паз»амснатсо>ь так, чтобы получить рял по возрастающим степеням р.
Коэффициепты ошибок могут также опрслсляться для возмущающего воздействия по соотве>ттвуюпеей функции исса или по параметрической передаточной функции относительно возмущающего воздействия. Разлагая задающее воздействие в рял Тейлора около точки е и подставляя его о (13.70), получаем 402 Непрерывные линейные системы автоматического управления 9 13.5. О синтезе систем с переменными параметрами Ввиду сложности математического решения синтсз систем унранления с перемени ымн параметрами, как правило, должен осу<<!сствляться нри помощи вычислительных машин непрерывного или дискретного Лсйстния, а также посредством реального моделирования.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
