Бесекерский (950612), страница 82
Текст из файла (страница 82)
Из (14. 12), в частности, вытекает условие затухания свободного лвижсния с исто мы, описываемой разпостнмм уравнением (14.10), т. с. условие устойчивости; ( г, ( < 1 (в - 1, 2,..., п), (14,14) — биномиальпые коэффициенты, В качествеаналогадиффсрснциальпогоуравпспия можно рассматриватьуравнв нив в конечных разностях.!! рименительпо к системе, изображенной на рис, 14 4, оно имеет вид а д" (1) + а дв ау(1) +,з- а у(1) г(вд~иЯ + г(~д'" 'иЯ з ...г г(,„и(1), (14,9) Глава 14. Импульсные системы 411 Решение разностного уравнения у(г) дает значения выходной величины лишь в дискретные момснты времени г =- г7'.
Во многих случаях этого вполне достаточно для суждения о поведении системы, Если >ке возникает необходимость в получении информагггги об изменении вьгходной величины в любой момент времени, то используется слгеигенная ногледоаательноопь (рис. 14.5, а) У( 7 е7) У(г)!! гг ет (14.15) или в сокращешюй записи у(г, в), где в — параметр, которому можно придавать любые значения в пределах 0 < в < 1.
Если в изменять непрерывно в указанных пределах, то у(г, в) совпадает с у(г). Смещенная последовательность у(г, в) представляет собой рсшьпше разностнсео ураеггеггия со смещеннььн аргументом с„у(г' + и, в) е с, у(г е и — 1, е) +...+ с„у(г и в) = Ьс(в) и(г +т) е (14.16) -ь Ьг(е) и(г ет — 1) т ...г-Ь (в) и(г'), которос при в Онрсврашастсявуравненис(14.10). Значения выходной величины у(г, в) можно вычислить последовательно шаг за шагом при заданных начальных значениях и значениях входной величины и(г). Переходная составляющая, т.
е. общее решение однородного уравнения, определяется в этом случае следуюгцим образом: у(Ь в) - Сгвг'"+ Сгв,'" +...ь С„з„", (14.17) ггге е,, (ч - 1, 2, ..., л) — некратные корни характеристического уравнения (14. 13). В качестве примера исследуем процессы в системс, разностное уравнение со смещенным аргументом которой имеет вид у(г ч 2, с) — 0,27у(г + 1, в) + 0,135У(г, е)- (14.И) - (1 — е соз 4пе ) и(г +2) — (0,135 — е соз 4нв ) и(г е1) п1ги начальных значсниях у(-1, с) = у(- 2, е) = 0 и единичной входной последовательности и(0) - и(1) =, - 1 Положив в = О, получим обыкновенное разностное уравнение: у(г'-ь 2) — 0,27у(г+ 1) е 0,135у(г) = 0,865 и(г + 1).
(14.10) 412 Линейные дискретныесистемы з, а = 0,135 д У0,34 удовлетворяют условито (14.14). Следовательно, система устойчива. Из (14,19) при у( — 1) = у(-2) = О последовательно и[аг за шагом находим значения выходной величины в моменты времени г =1Т; 11родолжая вычисления, убеждаемся, что в дискретные моменты времени т - 17' нронссс монотонный, а выходная величина стремится к установившемуся значению у,„.„=1.
Лналогично решая уравнение (14.18) получим: Криваяу(г) изображенана рис. 14 5,б,гдсотисченысезначепия приз=О;025;05; 0,75. Таким образом, реальный процесс в системс колебательны й затухающий, что не обнаруживается в результате решения уравнсппя (14.19). Способы получения разпостных уравнений будут рассмотрены в следуюшнх параграфах. 9 14.3. Использование т-преобразования Для последовательностей /(1) может быть введена понят тю Й~скрептного иреобуизоеонияЛапласи, опредсляемое формулой Г"(р)= ~/(г)е ' . ыс (14.20) Лля смещенных послсдоватсльпостсй может быть записано аналогичнос выражс ние: г '(р,е) = ч ~7(~',е) е ~'т, :с (14.21) 1 (Р, е) - 7), (7(6 е) 1.
Корни характсристпчсского уравнения з~ — 0,27г ь О,! 35 - 0; у(О) = 0,27 у( — 1) — 0,135 у(-2) ч 0865 и(-1) = 0; у(1) 0,27 у(0) — 0135у( — 1)+0,865 и(0) =0,865; у(2) =0,27у(1) — 0,135у(0) + 0,865 и(1) 1,098; у(3) = 0,27 у(2) — 0,135 у(1) + 0,865 и(2) = 1,045,, у(О,е) = 1- е гксоз4пе; у(1, г) = 1,135 — 0,27е т' соз 4пе; у(2, с) = 1,036 + 0.062 е гк соз 4пс, „ Формулы (14,20) и (14.21) можно представить в символической записи ~'(р) = 0 И1Н, (14,22) (14,23) Глава 14. Импульсные системы 413 Р(г) = ч,г(!)г ', Е(е,е) = ~У(с,е)г '.
(14.24) -о !я) В зтих формулах ввс сепо полое обозпачспиее = е ". Из пих следует что г-преобразование практически совпадает с дискрет!пях! прсобржксваписмЛапласа и отличае п я тес!ько аргуагесп'ом и;собра!!сщсия. Формуль! преобразования (14 24) мо! ут бьггь записаны и символической форме: Р(е) = е.'И!')), Е(г, с) = е, Ис, е)), (14.25) Формулы преобразования (14.25) мо! утбытьзалисапь! и для пспрсрывпой производящей функции в виде Р(е) - 2(/(с)), с - сТ, Р(е, е) = 2,. У(с)), с - (с+ е)т, (14.26) где !' = О, 1, 2, Ряды (14.24) сходятся, и изображение существует, если выполпястся условие, сформулироваппос выше для дискретного преобразования Лапласа: с <, где с- абсписса абсоспотпой сходимости. В табл.
14. 1 при всдспы изображения некоторых посл сдонател и с остей, а также производя!пих функции времени и их изображений Лапласа. Для всех пепрсрыщп сх фупкпиГ! и последовательностей, приведенных в табл. 14,1. прслполагастся, что оии тожлсствспно равны и несю при с < О. В некоторых изобра>ксииях таол.
14.1 использованы полипомы Кь(е), которые могут быть представлены в виде определителя ( 96 1 1 1 — г 0 1 1-г ... 0 1 1 3! 2! (14.27) 1 1 1 1 И ((с — 1)! (1 — 2)! В приведенных формулах, как и в случае пспрерывспсго !!рсобразованпя Лапласа, комплскспая величина р = с 9о! г сс с абспигга абсолсо он)й скос!с!мости. Если с< то ряд, опрслсляемый формулами (14.20) и (14.2! ), сходитп я и оригииссссу/(!) соответствует некоторое изображение. !(ах следует из (14.20) и (14.21), изображение явлю тся фуикписй всличппы е ег. Для исследования импульспых систем больпюс распростраиссшс получило так пазывас мое е-преобразование, которое связано с дпс кре г вы м прсобразо пав исм Лапласа и вытекает из пего.
Приме!пи ельио к г-!!рсобразоваписо ниже буду ! рассмотрены осцовн ыс с войства и теоремы л искр отлого ирсобра ювап ия Лапласа. Под е-преоброзоесссшем понимается изображение несмел!силой или смещенной последовательностей, опредсляемое формулами Г с О О О + + сй !. М,' йй ! Ю ъ О О О О ~л~ й о й)! + "О ! О йй ! О О Д 6 йй н 'и н О О О г О ! !С'й О ! й с К О О ф О ."й !.—. ьд~м О й Р О К Ф 5 О О сО И ° О О О б (с- + Ы + О. О ! ~ О. з О о о !! н О О. О. Ъ й! Ю О О а О !с~ " 1о о В 414 Линейныедисиретныесис!емы а и ! О й' йй з О О.
О О О М 63 1О О й О' 'йс, м О сс + к о О О О О й С» о (,~ о 33 Ч С'3 о '3» О 33 '3. 1 о О О + ь 1:: + со. Со О О О О О ССС О о о .о И ч сч ч 'М 3 о О 1ч О О о 'а Б О а .ц !1 к о к, сч о о К 1 С'3 О '» СО. о И О ОО О О 33 ! Т '7 ~+ '+ к о, к »О О о„ со. О 35 'й о а К1сч о о »1~ к1сч 'И 11 к о о а а !1 с.». о СО. О. О О к % 33 О О О О5 3 й О О 3» О 5 О к: сч! 'Я Л О» 33!+ Ч(+ Глава 14. Импульсные системы 415 К' С'3 о О о 41Б Лииейныедискретные системы 11скоторые частпыс значения етого полпнома: ! ие(?) = 1, Л,(?)=1, А?(?) = ?+ 1, Йз(?)=? е4?+1, Л~(?) = ?з е11?? е11? е1. (14.28) Г(() = ~ с, Г,(1). чм (14.20) Тогда для изображения можнозанисать и (14.30) 2.
Теорема за и авды ванна н упреждения. РассмотримпослсдоватсльностьГ(1 — гл), сдвинутую вправо (запаздывающую) па целое число тактов вь Тогда нз формулы (14.24) следует, если обозначить! — т = и 7(ь((( — т))= ~ )(г)? ' "и =? ~ , 'Г(г)? "+ )Г(г)? ' ~'=-т ~=О ~=-е Ю = ? Г(?)+ ~~ (( — г)? г=! (14.31) Здесь Г(?) — изображенисЯг), Если исхолная последовательности Г(1) равна нулю при отрицательных значсниях аргумента, то формула(14.31) упрощается: 7(г(1 -т)) =-? Е(?). (14.32) Если сдвиг происходит влево (унрсжденис) и рассматривается последователь ность /(1+ т), глс и — целое положитсльное число, то аналогично случаю заназдыва в ия можно показать, что т-1 ? 1/((ч- щ)) = ? р(?) — ~' Г(4)2 ь-о (14,33) Рассмотри и кратко оси овныс правила и теоремы применительно к ?-преобразованию,"-)ти жс правила и теоремы будут си равсдли в ыкш и для дискретного преоб(газования Лапласа.
Рассмотрение проведем для песмешсннгях послсдонательпостсй, но полученные результаты мо кно распространить и па случай смещенных последова? ельпостс й, кроме случаев, оговоренных особо, 1. С в ой ство л и пей ности. Этосвойствозаключастсявтом,что изображениес линейной комбинации последовательностей равно той же линейной комбинации пх изображений. Пусть Глава 14.
Импульсные системы 417 (14.34) !слн с <в<1,то Е,(Г(>ее — т — Е))-.г ' Г(г,е-.г), (14.35) При использовании табл. 14.1 лля нахождения изображений следует вл>есто е полставпть 1 е с — ч или е — ч в соответствии с формулами (14.34) и (14.35). 3, С у м и а о р д и и а т и о с л с д о а а т е л ь н о с т н. Гели абсциссаабсолютпой сходимости отрипатсльпа (с < 0), то, положив в (14.24) р = О, имеем Р (1) =1нп Г(г) = ~ хГ(!). ~=.О (14.36) 4, Ко п с ч и о с з и а ч е и и с и о с л е л и в а т е л ь >! о с т и, Составим первую прямую разность послсловатслы кюти Г(!) и на основании (1430) найдем сс изображение 7(Ь Г(!)! = (г- 1) В(г) — г/(0). Далее иа основании (14.36) найдем сумму ординат ЬГ(!): ~ЬГ(!) = !нп(г — 1)Г(г)- Г(0). ;о -! Кроме того, можно записать ~~'",ЬГ(!) = ',~ !Я+ 1)- Х(!)5)=! !т Я)-ЯО).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
