Бесекерский (950612), страница 24
Текст из файла (страница 24)
Понятие устойчивости но Ляпунову широко используется нри исследовании нелинейных систем (см. >л. 16 н 17) )[ля линейных систем имеет смысл, как букет показано ниже, только понятие асимптотической устойчивости. Уравнения состояния линейной системы можно представить в виде х(<) = г(х(<)+ 1>ф<)+ ф'(г); (6. '» у(<)=с .т(г). 118 Непрерывные линейные системы автоматического управления Опи по форме аналогичны уравнениям состояния объекта (см.
гл. 5), но отличаются от последних структурой матрин, а также тем, что в пих вместо управляющего воздействия и(г) входит задающее воздействие д(т). Аналогичным будет и решенис этих уравнений: х(с) = е'их(0)+ ~е~о ю(Ье(т)+ йт7(тра а Представим его в виле суммы х(г) = хв(г)+х,(с). (6.5) Первое слагаемое х„(г) = ежх(0) (6.6) представляет собой общее решение одноролного уравнения х(т) ~ Ах(т) и называется переходнойсостанаяюи1ей. Она характеризует свободное движение системы, вызванное ненулевыми начальными значениями переменных состояниях; при отсутствии задающего д(Г) и возьтунтающегоДс) воздействий.
Второе слагаемое т,(т)= ~елр 'т[Ь6(т)-~т/(т)1йт а представляет собой частное решение неоднородютого уравнения (6А) и называется выиухсденной сосптавляюцей. Она характеризует то движение системы, которое ее «вынуждает» совершать задающее и возмуптающсс воздействия. Примем в качестве певозмущешюго движение (6.5) прн ха(0) = ха . х (г)=х~(г)+х„(г)=е 'хаа «х„(г).
По отношению к нему движение (6.5) является возмущенным. Ввслем, как это Уже делалось Ранее, отклонсниЯ Лха —— х(0) -хаа, Ат(с) = х(С) -х (г). Заменив в (6.5) с учетом(6.6) х(0) и х(с) отклонениями, получим: (6.7) ох(г)=е охатх (О Таким образом, невозмущснпое движение ха(т) будет устойчивым, если устойчиво свободное движение Глава 6. Критерии устойчивости 119 Примем теперь в качестве цс возмущенного только вынужден пос движение 'х„(е) В:>том случае из (6.5) сразу следует, что опо устойчиво, если устойчиво свободное движение (6,6), Сдслаем теперь обп>не для всех линейных систем (замкнутых, разомкнутых или только управляемых объектов) выводы.
1. Устойчивость цевозмуцгеппого движения не зависит от того, какое движещ>с системы принято В качестве псвозмупшг!ного. 2. Псвозмущспное движение системы устойчиво, если устойчиво сс свободное движение. 3. Устойчивость невозмущешюго движения не зависиг от вида и характера изменения внешних (задакш>сто и возмущающих) воздействий. Этот вывод базируется на двух прсдыду>пих, В дальнейшем для краткости устойчивость певозмушпепого движения будем на- зывать просто устойчивостью системы.
Для получения условий устойчивости удобнее использовать пе уравнения со- стояния (6.4), а >гифферепциальпос уравнение и-го порядка (см. гл. 5). Его решение также можно представить в виде суммы переходной у„(е) и вынужденной у„(е). с то- чки зрения устойчивости, как показано выше, пас интересует только псрсхо,'Еная со- ставляющая, т. е. общее решение дифференциального уравнения 'е>(р)у(е) .— (аар + а>р + ... + ач гр+ и„) у(е) =- О, (6.8) где р — оператор дифференцирования, а 0(р) — харг>ктерисп>ический полип!>м замкнутой сиса>емы, >!ля разомкнутой системы (см.
гл. 5) характсристпчсскпм нолиномом будет С(р), а для объекта — Се(р). Рсшеццс уравнения (6.8), как известно, представляется в виде у(е) = у„(е) = Саги +Сзеги е... +С„е""', (6.9) где Си Сп ..., С, — произвольные постоянные, зависящие от начальных зпаче>шй управлясмоп величины у(Е) и ее производных, а рп рь ..., р„-- некратные корни характерисгаическг>ео уравпепия асрч е а,р" + ... + а„,р+ а„= О. Согласно(ОА) у(г) = с > з5(е). Поэтому всоответствии с (6 3) система будетасинпгаогаически устойчи»ой, если 1'пп у„(Е) = О.
(63 О) Се>"' +С,еи "= А>е "а1п(1),Е+>!>,), Это условие выполняется, если каждая из составляющих решения (6,9) с течением времени стремится к нулю. Всщсствепцьгмкорпямр, = се>соответству>отсоставляюп>ие С,е"'>. Приа; < Оонн затухак>т, а при а» О непрерывно параста>от. Комплексным корням (опи могут бьггь только попарно сопряжсппык|и) р, „> = се, +эр> соответствует пара составляя>щих, сумму которых, как известно, можно представить в випе 120 Непрерывные линейные системы автоматического управления где А, и г1гг — новые произвольные ностоянныс.
Вызваггггггй;гг ими корнями колсбательный процесс затухаст нри гх, < 0 н расходится нрн гх, > 0 Таким образом, затухание или нсзатухагнге нсрсходцой составлягощей (6.9) зависит только от знаков вещсствегшых корней и знаков всществешгых частей комплексных корней характсрисгичсского уравнения. Для асимптогпической устойчивости системы необходико и досгпаточно, чтобы вещеспгвеггггые части корней бгяяи отрог(ательньсии. 1(ер,<0, г-!,2,...,п. При этом вещественные корин рассматриваготгя как частный случай комплексных корней, у которых мнимая часть равна нулкг. Петрудно убедиться, что в этом случае наряду с (6,10) ггьшолггяггггся и условия (6.1) н (6.2).
Ес го хотя бы один корень минет положите; ыгуггг гггггг(еггпвеггггуггг часгпг, то ситпема неустойчива. Представим корни в виде точск на козиил сксной гглог ког тн р, (рис. 6 3). Для устойчивости системы необходимо и достаточно, чтобы всс корни находились на левой нолунлоскости (рцс. 6.3, а).
Гели хотя бы озггггг вещественный корснь или хотя бы Глава 6, Критерии устойчивости 121 одна пара комплексных корней окажутся на правой полуплоскостн (рис. 6,3, 6), то система будет неустойчивой. '! аким образом, левая нолуплос кость является областью устойчивости, а мнимая ось представляет собой ее границу. В тех случаях, когда на эту границу попадает хотя бы один корень, а все остальные остаются на левой полуплоскости, система оказывается в некотором «ромсжуточном состоянии между устойчивостью и неустойчивостьк>.
Для характеристики втого состояния вводится понятие границы устойчивости. При наличии одного нулевого корня р» — О граница устойчивости нааывастся ипериодической (рис. 6> 3, е). Соотвстству<ощая этому коршо составлянлцая рс щения (6 9) С»егч = С», т, е. переходная составлян>щая с течением времени стремится пс к нулн>, гчс а к С». В характеристическом уравнении нулевой корень ноявляс гся при а„" О, 11о чтобы это условие соответствовало апериолнческой границе устойчивостц, все корин уравнения аэРч '+а,Р" +...+а„гР+а„, =О должны нахолиться на левой нолуплоскостн. При наличии нары чисто мнимых корней р»», < = э у<В» (рис.
6.3, г) <'рани на устойчивости называется к<>лебашелы<ой. В системс в этом случае устанавливаются исзатухаюнше гармонические колебания с'амплитудой А» н час<той ()в При наличии двух (кратных) пулевых корней р» = у>»„= О соответствующая им сумма составляющих решения (6.9), как известно, представляется в виде (С»»С».«)е~<' =С»+С».,г, т. с. при С»„в О опа неограниченно увеличивается. Поэтому в данном случае систему следует рассматривагь как неустойчивую. Все сделанные вьннс выводы об устойчивости отно< ятся к линейным системам.
Однако реальные систел<ы практически никогда нс бывают строго линсйнымн. Линсйныс диффсрснциальнь<е уравнения получаются путем лннеаризапин (см. гл. 3), в процессе которой л<алые нелинейные члены отбрасываются. Лннсаризованными уравнениями, илн уравнениями псрвся о приближенна стали пользоваться с<не в ссрслнне Х!Х века, предполагая, что по ппм можно сулить об устойчивости реальных систем. Строгое локазатсльгтво такой возможности было дано Ляпуновым.
Ляпунов показал, что если в характеристическом уравпеню< нет нулевых и чисто мнимых корпсй (см. рис. 6.3, а и рнс. 6.3, б), то вопрос об устойчивости или неустойчивости реальной системы полностью решается па основе этого уравнения. Однако при наличии таких корней (см. рис. 6,3, е и рис. 6.3, г) поведение реальной системы становится неопределенным, т, е. в зависнл<ости о~ отброшенных прн линеарызации малых нслинсйных членов она может быть как ус гойчи вой, так и неустойчивой. Применительно к рис. 6,3, е и рис.
6.3, г это означает, что изображенные на цих процессы относятся только к строго линейным системам. Тем нс менсс само понятие границы устойчивости оказывается пол езныч и будет использоваться в лад ьней шсм. Следует учитывать, <то выводы Ляпунова отнсшятся только к описанному в гл. 3 способу лицеаризации и справедливы нрн сделанных там допущениях. Для исследо- 1кг Непрерывные линейные системы автоматического управления ванна устойчивости нелинейных систем обшего вида Ляпунов разработал другие мстолы, которые буду< рассмогрсны в гл. 16 и гл. 17. Задача вычисления корней характеристического уравнения ох<бого порядка при нов<он<и средств вычислительной техники решается лостаточно просто, если параметры элементов системы (коэффи ниснз ы псрелачи, <юстоянные времени) и тем самым козффипиенты этого уравнения заданы численно.
На практике, однако, обычно пользуются так назынасмыми критериями устойчивости, т. с. правилами, которые позволяют судить об устойчивости без вычисления корней. Ценность этих критериев состоит не только и дажс не столько в том, что устранястся необходимость вычисленияя корней. Онн дак<т возможность уста< ювнть, как тот или иной параметр и структура системы в целом влияют на у< тойчивость и как нх слслуст изменить, чтобы система стала устойчивой. 11анболсс простым, хогя и ограниченным но своим возможностям критерием является необходимое условие устойчивости. Нео<бход<гным (но не достато«иым) условием ус<лойчивости системы являетсл положиглельпость коэффициентов ее хараюлеристическ<мо уривиеиил.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
