Бесекерский (950612), страница 21
Текст из файла (страница 21)
Их<си теперь значения передаточных функций И'(р) и %<(р), цо общим формулам (5,8) н (5.9) находим опсраторное выражение для управляемой величины И+7'„р)(1 Т„р)М бг = з . 565 р(1+ар+Ьр +ср )+К <СмСг(1+Ь ) р(1+аребрт+ср~)+К и для ошибки р(1ьиреЬрз есрз)0< г„(1еТ„р)(1+Тор)М р(! е ар+ Ь!т + гр )+ К <СмСг(1+ lг„,) р(1+ ар е Ьр + ср' ) е К т з т з (5.66) Из (5.66) можно, в частности, получить установившуюся ошибку в неподвижном положении пРи д< (г) — — со<ма и М (т) - Мс - сопз<. Дт<Я этого необходимо положить р = 0; "»Мо г„Мо (5.67) <СвСл<(1+Ь )К СмЬ<йгl<з(<<Ьз Км Здесь введено понятие так называемой добротности по моменту (или крутизны цо моменту), которая равна отношепкчо приведенного к оси двигателя момента нагрузки к возникающей при этом статической (моментной) <пвибке: М, С, Ь,ЬАЬ,Ьз (5.68) Глава Б. Составление исходных иальных уравнений 103 Из формулы (5.67) видно, что в неподвижном положении ошибка опрслеяястся только моментом нагрузки (возмущающим воздействием) Заметим, что в формулу (5 67) входит момент нагрузки, приведенный к валу двигателяя.
Поэтому в эту формулу пе вошло передаточное отношение редуктора. Если перейти к моменту нагрузки оси управляемого объекта, то в знаменателе нослслнсго выражения (5.67) появится в качестве множителя >. В соответствии с этим можно сформулировать другое понятие добротности по моменту, как отноп>сцпс момента нагрузки на оси управляемого объекта к установившейся ошибке. При движении с постоянной скоростью рд> = й = сопвг и М Ме = сопхг из (5.6>6) получается установившаяся ошибка а, М, д,, = — + —.
К Км Здесь можно ввести понятие добротности по скорости, которая является коэффициентом пропорциональности между скоростью движения следящей системы и возникающей при этом установившейся ошибкой (при отсутствии возмущения). В данном случае она равна общему коэффициенту усиления по разол>кнутой цепи й~ йп = =К при Ме О. с 9 5.5. Уравнения состояния При решении некоторых задач теории автоматического управления удобнее прслставлять дифференциальное уравнение объекта (5.1) или лифференциальпые уравненияя системы (5А) н (5 6) в виде совокупности дифференциальных уравнений первого порядка. Нс улгаляя общности, рассмотрим зги уравнения применительно к у»равляемому объекту. Пусть объект описывается лиффсрецциальным уравнением н-го порядка (5.1) Со(7>) У " Ве(7>) " + Хо(7>) 1 (5.70) Введем в рассмотрение н независимых переменных хп хъ ..., х„, называемых переменными состояния и представим уравнение (5.70) в виде системы дифференциальных уравнений х, =а, х, +а>зхз+...а>„х„+Ь>и+т,~; хз таз х> .~-аззхх+..
° ае~х~ +Ьзи+тх> (5.71) х„= а„,х, + а„зхз+...а„„х„~-Ь„и+ т„/', Эти уравнения, как и уравнение (5.70), полностью характеризуют состояние объекта в любой момент времени и называются уравнениями сос>веяния, Связь между переменными состояния и управляемой величиной у(г) устанавливается алгебраическим уравнением (5.72) у = с х> е сзхз + ...+ с„х„. 104 Непрерывные линейные системы автоматического управления Обычно уравнения (5.71) и (5 72) занисывакпся в векторно-матричной форме; х = Хт+ Ьи+ и/; (5.73) у=с .т, (5.74) гле А — матрица размером и х п, Ь, т, с — матрицы-столбцы. Матрицу-столбсц- х, =У; хз — — У; х) — — Уь.зх„=У (5.7,)) Эту форму можно использовать лишь црц отсутствии в праной части уравнения (5.70) производных от и ну', т. с.
котла оцо имеет внд у ча)у ' +...еа„)у+и„,у=Ьоич.то/". (а) (» )) (5. 76) В этом случае х( = хг( Хг=жз( (5,77) х„, =х„; х, =-и„х, -а„(хв —...а)х„+бои+то/', т. е. 0 1 0' ... 0 0 0 1 ... 0 0 0 0 0 (5.78) -и -и «-1 -а, ... -и а-в Из (5.75) слслует, что у = хс Поэтому в уравнении (5.74) с~=110 0 ... 0]. (5.79) 7(остоинством нормальной формы является то, что переменные состояния имс)от ясный физический смысл, а некоторые из них (например, хь х, и х,) могут быть неносредствсш)о намерены датчиками различных тинов. х называ(от вектором состояния, хотя н об(нем случае х нс является всктороч, так как сж) компоненты хь хш ..., х„могут иметь нсоли паковые размерности. В выборе переменных состояния нк|сется онределенная свобола.
Важно только, чтобы оои бь)ли нсзавогнмымн. От того, как выбраны переменные, зависит форма уравнений (5.73) и (5.74), т. е. внл входящих в них матриц. Прн нормальной (рорме уравнений состояния в качсствс переменных состояния выбира)отся сама управляемая величина и и - 1 сс нронзволныс: Глава 5. Составление исходныхднфференцнальных уравнений 105 Для получеция уравнений состояния в канонической форме уравнение обьскта (5,70) представляется в виде Во(р) ото(р) (5.80) Если корни ро рэ...р„полипома Со(р) Лсйствитсльныс однократные, то нравам часть (5.80) может быть представлена в вилс суммы элементарных дробей: (5.81) где Л; н Я; — коэффициенты разложения. В качестве церемонных сотчоянпя выбнршотся слагаемые суммы (5.81); Ли+Я,/ Р Рт (5.82) Ото ктда (р — р)х,= Л,и+ Я,/', т = 1,2, ..., и или х, = р х; н-й,и+Яьу, т=1,2,...,п.
(5.83 ) При этом согласно (5.81) и (5.82) у ='~ "ха Таким образом, в уравнсьшях (5.73) и (5.74) (5.84) И, )тз Я Я з1 (5.85) 0 0 ... р„ с =[1 1 ... 1] х(г)=в 'х(0)т)ге ( '15и(т)г(т+~е' 'тГЯт(т. о о (5.86) Волыним достоинством кашншчсской формы является днагональцость матрицы Л, что существенно упрощает решение уравнения (5.73). Осцовпой нелостаток ес состоит и том, что перемен цыс состояния нс имектт ямнтго физического смысла, в результате чего возникает цроблсма их непосредственного нзмсрсни». Сугцсгтв пот и лругие способы выбора переменных состояния, которые алесь нс рассматривакттся. Решение векторно-матричного уравнения (5.73) м<икст быть прелставлспо в виде 106 Непрерывные линейные системы автоматического управления Здесь оно без строгого локазатсльства построено по аналогии с решспием линейногоо дифференциального уравнения 1-го порядка х=ах+Ьи+ту, общий интеграл которого, как известно, определяется по формуле х(г) = есах(0)+ ~е"1с с1Ьи(т)йт+ ~ежс с1ту (т)г(т.
ес' 0 ... 0 0 е"с .. 0 лс е 0 0 ... е"" (5.87) При других формах уравнений состояния для определения фундаментальной матрицы можно использовать известныс способы нахождения матричных функций, нассример, теоремы Кепи — Гамильтона или Сильвестра. Можно также использовать формулу ем =Е 'с '(рŠ— А) (5.88) -! — -с-с где Š— обратное преобразование Лапласа, Š— единичная матрица, (рŠ— А) матрица, обратная матрице сс,РЕ А) .
При необходимости можно осуществить обратный переход от уравнений состояния к передаточным функциям объекта. Лля этого уравнение (5 73) запишем в изображениях по Лапласу; рХ(р) — х(0) = АХ( р) + Ь(7(р) ч. тр( р). Отсюда Х(р)=(рŠ— А) (х(0)+ЬБ(р)+тр(р)). (5.89) Из (5.89), в частнскти, при и = 0 н7'= 0 получается формула (5.88). Из уравнения (5.74) с учетом (5.89) найдем изображение управляемой величины при нулевых начальных значениях: У(р)=)с (рŠ— А) 'Ь~Б(р)+Г1сг(р~-' — А) т~~(р). (5,90) Матричная функция ем пазывасгся перегодиой или фуссс)аментальссоймитрицей, Если уравнения состояния представлены в канонической форме, то матрица А диагональная и имеет вид (5,85), Тогда Глава 5.
Составление исходных дифференциальных уравнений 107 Выражение (5.90) апаггогичгго выражению (5.9). Сггедоватслыго, в первых квадратных скобках записана передаточная функция йгс(р), а во вто1гых — передаточная функция Иг (Р) При описании свойств объекта уравнениями состояния возникают две проблемы, нетипичные для случая, когда используется одно дифференциальное уравнение п-го порядка. Зги проблемы рассматриваются в следующем параграфе. принимая в момент времени Гкзначсние хк(гк)=е хк(ге) в обгцем случае отличаюгцееся от требуемого значения. При других формах уравнений состояния, если в пих матрица Л диагональная, условия полной управляемости получакгтся столь жс просто, как и прн каноничес- кой форме.
В противном случае можно попытаться произвести диагонализацию сле- дующим образом. Положим, что сущсствуег невырожденная матрица 5 порядка и такая, что с=о х, где г, — собственный вектор. Тогда уравнения (5.73) и (5.74) принимают вид ч= 5 ~Л.5'~~-5 г(ги+5 гт~; у=с .Ц. (5.92) 9 5.6. Управляемость и наблюдаемость Обьект называется полпостггго управллемызг, если существует такое управляющее воздействие и(~), определенное ца конечном интервале времени гс < Г < Гх, которос переводит сто из любого начального состояния х(гл) в любое заданное конечное состояние х(гх) .
Очевидно, ч тобы осуществить такой перевод, управляющее воздействие должно прямо или косвенно влиять па вес псрсмеппыс состояния. В тех случаях, когда уравнения состояния представлены в нормальной форме, объект всегда полностью управляемый. Это видно из уравнений (5.77), Управляющее воздействие прялго входит только в последнее уравнение, влияя на переменную х„.
Но она, в свою очерель, влияет пах„их„г — нахв е и т.д. В результате переменные хг, хм ..., х„, косвенно тоже оказываготся управляемыми. Однако, как отмечалось выше, нормальная форма существует только при отсутствии в правой части дифференциального уравнения (5.70) производных от и и /: При канонической форме матрица А диагональная, в результате чего уравнения (5.83) независимы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
