Бесекерский (950612), страница 18
Текст из файла (страница 18)
4.3); 1р - — агсьй гоТ. Б связи с зтп м и< устойчивьгс звенья относятся к группе так называемых неминимилыто-г/щзовых звеньев, поскольку минимальныс по абсолютпогиу значению фазовыс сдвиги при олннаковых амплитудных характеристиках булут у устойчивых звеньев. К немиппмальпо-фазовым звеньям относятся также устойчивые звенья, имеющие в числителе передаточной функции (в правой части лифференциального уравнения) вещсствеппыс положительные корни или комплскспыс корпи с положительной вепгсствепиой частью. Например, звено < передаточной функцией Глава 5. Составление исходных дифференциальных уравнений 85 колебательное звено с отрицательным затуханием— )< )<'(р) = 1 — 2~тр -ь тх рх ( 4.60 ) квазнколебательпое:<вено с отрицательным затуханием— )р(р) = -1- 2Гтр.ь т'р" (4.61 ) неустойчивое интегрирующее звспо— и:(р) = л р(-1+ тр) ( 4.62 ) и рял лругих звеньев.
Наличие в автоматической системе неустойчивых звсньсв вызывает некоторые особенности расчета, которые будут рассмотрены нижс (см. главу 6). Глава 5 СОСТАВЛЕНИЕ ИСХОДНЫХ ДИФФЕРЕН ЦИАЛ ЬН ЫХ УРАВН ЕН И Й СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ в 5.1. Общий метод составления исходных уравнений ~<((2/о<г = М, — ~Ы Система автоматического управления состоит из взаимосвязанных н взаимодействующих между собой управляемого объекта и управляющего устройства (см. рис. 1,2).
Поэтому лля получения дифференциального уравнения всей системы необходимо < оставить уравнения лля каждого из пих. При составлении лпфференциального уравнения объекта нсобхолимо прежле всего выявить физический закон (или совокупность законов), опрслсляюп!ий сго повелснис.
Таким законом можст быть, например, закон сохранения энергии, закон равновесия электролвихкущих сил и другие основныс законы физики. Математическое выражение соответствующего физического закона и является исходным Лнфферсппиальпым уравнением управляемого объекта. Например, лля составления лифферснцнальпого уравнения элсктролвигатсля, являю<цегося управляемым объектом лля системы стабилизации скорости вращс- ниЯ (рис. 1.14), «спользус< ся закон равновесия моментов на его вал)л который можст быть записан в слслующем виде: 86 Непрерывные линейные системы автоматического управления где/ и й — приведенный момент инерции и угловая скорость двигателя, ̄— вращаюгний момент двигателя, М, — тормозной момент внешних снл (момент нагрузки), являкнцийся для лщщого объекта возмун>аюценм воздействием.
После записи дифференциального уравнения необходимо определить факторы, от которых зависят переменные, входящие в это уравнение. Так для приведенного вьннс нримера необходимо установить, от каких величин зависят и какими выражениями онрслсляются вращающни момент М и тормознон момент М . Нужно >акжс выяснить, является ли приведенный момент инерции постоянной величиной нлн оц изменяется в функции какой-либо переменной, г(альцейгцим шагом является линеаризацня полученного уравнения в соответствии с главой 3, сслц линеаризация вообще допустима. В результате линсаризации получается линейное дифференциальное уравнение управляемого обьекта, которое после введения оператора дифференцирования р = ге,ге(е можно представить в виде Се(Е>) у(Е) - Ве(Р) ц(е) йе() )г'(е) ° (5.1) где у(Е) — управляемая величина, и(Е) — управляю>цее воздействие, Е(Е) — возмущающее воздействие.
Здесь без потери общности учтено только одно возгесйствис е(е). Полипом С„(р) представляет собой характеристический нолищен >Елривляе:ного обьекша. Он характсризусз свободное движение объе>с>а, т. е. его двн>ксцне при и(е) = 0 и>'(Е) = 0 цод влиянием ненулевых начальных значений у(0), у(0), >г(0),..., вызванных, например, исчезнувшим к моменту времени е = 0 возмугцщонеим воздействием /(е). В зависимости от знаков вецгественных частей корней этого полинома объект может быть устойчивым или неустойчивым (см.
ф г).8). Полипом Ве(р) опрслеляет влияние управляющего воздействия и (е) на характер изменения управляемой величины у(Е) . Полипом Х„(р) определяет влияние возмущающего воздействия е(е) на характер изменения управляемой величины. Управляющее устройство, как показано на рис. 1.3; состоит из различных алемснтов или звеньев. Уравнения некоторых из них известны заранее.
Например, для следяцеей системы (рис. 1.15) датчик угла рассогласования может быть представлен безынсрциоцным звеном, ъ с. , - /е> 6 = Ег,(6, — 6>), усилитель — апериоличсскиы звеном первого порядка, т. с. Ту"г + "г = Егец> и т. д, Для другой группы элементов дифференциальные уравнения составляеотся аналогично тому, как это делалось для управляемого объекта. Совокупность уравнений элене>пов восле ввелсния оператора лифферещеирования решается относительно выходной величины унравлякищ>го устройства и(Е). В результате получается лифференциалык>е уравнение уцравля>ощсго устройства Су(р) и(Е) — Ву(р) х(Е) (5.2) Глава 5, Составление исходных дифференциальных уравнений Я глс (5.3) х(г) = я(г) — у(г) — ошибка системы.
Для получения лифференциального уравнения всей системы уравнения (53)— (5.3) решаются отпоситслыю ее выходной величины, в качестве которой можно рассматривать как управляемую величину у(г), так и ошибку х(г) . В первом случае получается дифференциальное уравнение ()ф) у(г) - Вф) д(г) + М~» ~я, (5А) где О(р) - Вф) - С(р); Вф) - Во(Р) В,ф); Сф) = С„ф) С,(р); Дгф) С (р) Х~ф). Полипом Вф) и-го порядка характеризует свободное движение системы автоматического управления. Оп ~ ~азы лается.тироктеристнческим полиномо и замкнутой системы н может быть представлен в вилс Вф)= р"+о,р" +... ' «„, ' о„, (5.5) где аы ..., а„в липсаризоваппой системе представляют собой посгояппыс козффициепты.
Как видно из (5А), полн ном Вф) отличается от характеристического полнпома об ьскта Се(р). Это означает, что и свободное движение системы может существенно отличаться от свободного движения обьекта. В частности, сслп управляемый объект неустойчив, то при правильно выбранных алгоритме управления и параметрах управляющего устройства система в целом будет устойчивой. Наоборот, при неправильном выборе система автоматического управления устойчивым об ьектом может стать неустойчивой. Полипом В(р) в уравнении (5А) определяет влияние задающего воздействия я(г) на характер изменения управляемой величины у(г), причем последняя должна как можно более точно воспроизволить задающее воздействие, т. с. ошибка системы (5.3) должна быть минимальной.
Полипом Уф) определяет влияние возмущающего воздействиями(г) па характер изменения управляемой величины у(г). В уравнении (5А) учтено только одно возмущение Дг). В нрпннипс таких возмущений может быть несколько. Однако вследствие линейности уравнения действует принцип суперпознции, согласно которому реакция па сумму воздействий равна сумме реакций. Позтому достаточно рассмотреть методику учета только одного возмущения, а прп наличии нескольких возмупн"нпй необходимо лишь просуммировать результат.
Во втором случае, когда в качестве выходной величины рассматривается ошибкахх(г), дифференциальное уравнение системы может быть получено полстаповкой в (5А) выражения для ошибки (5.3); (5.6) 0(р) х(г) - С(р) я(г) — Хф) Г(г) . Из (5,6) вытекает, что ош пока системы ав ~ оматического управления может быть представлена в виде суммы двух составляющих. Первая составляющая определяет- 88 Непрерывные линейные системы автоматического управления ся паличисм задакнцего воздействия я(т), а вторая — наличием возмущающего воздействия (в общем случае — возмущающих воздействий), Первая составлякццая ие равна нулю только в программных и следя в~их системах. В стабияизирующих системах т((г) = сопьц Позтому всегда можно выбрать начаяо отсчета так, чтобы я(г) = О Согласно (5А) М(р) (:„ф) Хр(р).
Это означает, что выбором структуры и параметров управляющего устройства можно умсныцить вторую составляющую ошибки и тем самым ослабить влияние возмущающего воздействия на объект. Если дяя какого-либо возмущающего воздействия полипом М(р) = О, то говорят, что система автоматического управления является инвариантпой относительно етого воздействия, Равным образом в программных и следящих системах равенство С(р) = О означает, что система инвариантна относительно задающего воздействия. Уравнения (5.1), (5А) и (5.6) могут быть также представлены в виде совокупности уравнений первого порядка, называемых уравнениями состояния.
Они рассматриваются в 9 5.5. 9 5.2. Передаточные функции систем автоматического управления и(г) - Ьт(р) х(г), (5.7) гдех — рассогласованно на выходе чувствительного элемента, )т' (р) — ' нсрелаточная функция унравлякнцего устройства, которая определяется нз дифференциального уравнения управлякнцсго устройства (5.2): П(р) В„(р) Ц(р) = — = —" х(р) с,(р) (5.8) Управляемая величина может быть найдена из выражения у(т) = Иго(р) и(т) + Ю~ф)~(г), (5.9) гле Ьо(р) — передаточная функция объекта но управляющему воздействию, Мг (р)— передаточная функция объекта по возмущающему воздсйств н ю Дг).
Записанные выше дифференциальные уравнения системы автоматического управления (5.4) и (5.6) могут быть получены также на основании понятия псрслаточной функции, которве было введено в главе 3, Рассмотрим рис, 5.1, где изображена замкнутая система автоматического управления. Предположим вначале, что чувствительный зясмент (ЧЭ) отсоедицсн от управляемого объекта (УО), н рассмотрим так называемую разомкнутую систему автоматического управления.
Управля1ощсе воздействие, которос нриклалывастся к управляемому объекту, опрслсяястся выражением Глава 5. Составление исходных дифференциальных уравнений 89 а вторая — из того жс уравнения при и(г) = О: ) (Р) "в(Р) р(р) с,(р) 1('т(р) =, (5.11) Подставляя (5.7) в (5.9), цолучаем .УИ вЂ” И'( ) 'И ' Ц(р)Ят) (5.12) Здесь введена так называемая лередвтотцшя футткция разомкнутой сиапены ов(Р)Ц(Р) В(р) С„(р)С,,(Р) С(Р) (5.13) Псрсдаточную функцию разомкнутой системы можно определить как отношение изображспий управляемой величины и ошибки прн нулевых начальных значениях и возмущаюццтх воздействиях, рава ~х нулю: )~'(Р) = х(р)' (5.! 4) где р - с+)ю — комплексная величина.
Применительно к фушсциям времени, которые использовались в формулах (5 7), (5,9) и (5.12), передаточная функция разомкпутой системы дает возможность в символической или операторной форме записать дифферсцциальнос урав~ ~си ив, связывающее управляемую величину у(г) с опшбкой х(г) в рлзомкпутой системс: у(г) = И'(р) х(г), (5.15) где р - х('Й вЂ” оператор диффсрсццировапия, Учитывая (5.13), формулу (5.15) можно также записать в виде С(р) у(г) = В(р) х(т). (5.16) Псрсдаточцая фу~ткция разомкнутой системы имеет весьма большое значспис н теории автоматического уцравлсния, так как многие методы анализа и синтеза основаны ца использовании именно этой функции.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
