Бесекерский (950612), страница 22
Текст из файла (страница 22)
Поэтому длн обеспечения полной управляемости управляющее воздействие должно вхолить в ка>кгтос из этих уравнений, т. с. должно выполняться условие 77, ~ О, г - 1, 2, ..., и. Если хотя бы один из этих коэффициентов, например г1х, равен нулю, то при Цх/ = 0 переменная хх будет изменяться по закону хх(г)=е х хк(гс) (5.91) ! 08 Непрерывные линейные системы автоматического управления Если собствсппыс значения магр>шы 1, т с. йп -> —, )......, )ча различны. то кп>три>>а 5 А5'будет диагональной. Собствспныс векторы определяются из уравнении ~А — ),,Е1~к, =О, >=1,2,...,п.
Однако лиагонализапия прслставлпет собой трулосмкук> операцию и возможна нс всегда. Гораздо улобпсс цспользонать прелложеппый Р Калмацох> кри>перий упривлягьиости. !! Ри чсн цтса ьнг> к одномерному объекту оп > ласит, что объект полнеет ьк> уп рава яс мы й, если матрица К„=~)ц АЬ, Аз)ц..А« 'Ь~ (5.93) является певырожлспной, т. с, сели сс ранг равен п, На рпс. 5.11 в качестве примера изображена г труктурцая схема объекта.
Ей соответствует лиффсрсцпцальпос уравцсппг (5.70) '!Т>Туз+ (7;<-7з)р + 1!у = (Тпо — 1) и, (5,94) В правой части зтогоч равно>т>тя сеть производная от и, ! !овтому нормали>ая форма уравнений состояния пе существует. Нри использовании канонической формы уравнения (5 83) и (5.84) припимагот вил: 1 7; — Т, х,= —.т>+ ' ' и; Г;,'' Т,(т,-тз) ' 7> -Т, хз= — ха«- " ' и; Тз Т>(73 -72) (5,95) У х>< >2 Соответствую>цая им схема изображена ца рис, 5.! 2, и.
Вели окажется, что Т, = Тъ то псрсмсппая ха станет неуправляемой (рис. 5 ! 2, 6). 1!римснительцо к исходной схеме (рпс. 5.11) равенство Т, = Т> означает, что порядок объекта понижается на слиницу. Однако зто справедливо лишь при цулевь>х начальных условиях, так как именно при таких условиях определяются перслаточпые функции. При ненулевых начальных условиях псрсмсцпая х, «пс исчезает», а измщ~ясг- Глава 5.
Составление исходных дифференциальных уравнений 109 ся по закону (5.91), участвуя в формировании управляемой величины так, как показано на рис. 5.12, б. Слсловатсльио, и порядок объекта остается прежним. Выбор переменных с остояппа в вп ьс (5 82) и (581) пе янлястгя единственно возможпым. 11апример, вместо выражения (5.81) можно использовать следуюпьсс: 77,с,. иенс, Г у= э с, 7> Р (5.96) где с — постояипыс коэффпппспты, Тогла вместо (5.83) и (5.81) получььхп х,=рх,+Яс,'и+Яс,'/, >=1,2,...,п, (5,97) -т- у =сьхь +с>х> ь....
+г„х„=с х. (5.98) Олин из вариантов выбора коэффициентов с, и г; для рассматриваемого приз>эра представлен па рис. 5.13, и, откуда следует, что прп любых зпачеииях постоянных времени объект остается полиостььо управляемым. Олнако при Т, = Тз псрсмсцпаял> нс участвует в формпровапии управляемой величины у (рпс. 5.13, 6), т. с. цс наблюдается иа выхолс объекта. Управляемый обьект (илп автоььатьь ьескаьь система) называется ло>июстльк> ииблюдаезьь>ль, если все переменные состояния входят в выражение лля управляемой величины.
Нетрудно убедиться, что при нормальной форме уравнений состояния это условие выполняется всегда, а прп канон ььчсь кой форме — если все коэффицпспты с, ьь уравнениях (5.72) или (5.98) отличны от нуля. В общем случае объект является полностью наблюдаемым, сели матрица Ка>ьхьаьь>ь (5.99) является псвырождсппой.
Рагсмотрсппы й вьппс пример следует рассматривать лишь как ил:постративп ый, так как праьстичсскьь добиться идеального совпалсппя постояппых времеви Ть и Тз псвозмо>кпо. Однако ои позволяет сделать вывод о том, что управляемость и иаблюдаемость — это свойство пе самого объекта (или системы ), а его математичссьуой молели в виде уравпспий сосгояпия.! 1ри одном выборе переменных состояния обеспечивается полная управляемость, а при друи>м — пол лая паблн>даем ость. Этп проблемы пе возникают если модель объекта представлена дифферсп пиал ьп ым уравнением (5.70).
11О Непрерывные линейные системы автоматического управления Понятия управляемости и иаблк>даемости важны, например, тогда, когда алгоритм управления формируется не в зависимости от ошибки системы (см. гл.2), а в функции исремснных состояния: и = и (хи хг,.та) (5.! 00) Однако в изложенном вьппс смысле они ие всегда совпадают с практическими представлениями. Даже если какая-либо переменная состояния и может быть вычислена по доступным для измерения выходным величинам, обработка этих величин, особенно ири наличии помех, может быть сложной. Поэтому практически наблюдаемыми переменными обычно считаются тс из них, которые могут быть непосредственно измерены теми или иными датчиками. 9 5.7.
Многомерные системы управления К лгггогоиврггым относятся системы управления, имеющие несколько управляемых величин у; (г = 1, 2, ..., и). Это имеет место во многих современных сложных системах. К ним относятся, например, системы стабилизации напряжения и частоты синхронных генераторов, системы управления подвижных обьсктов, многие системы управления технологическими процессами и др, Многомерная система предполагает наличие хгггогомврггггго обьвкти управления (рис. 5.14), который характеризуется существованием нескольких входов (точск приложения управляющих и возыущаюпгих воздействий) и нескольких выходов, опредсляемых управляемымн величинами, Многомерный объект описывается системой уравнений, которук> удобно представлять в матричной форме. Введем одностолбцовую т-мериую матрицу управляечьгх величии Уг =[У~ Уг " Ут) (5,101) одностолбцовую к-мерную матрицу управляюгцих воздействий и, т = [ , и ...
] , (5.102 ) и одггостолб новую Р мерную матрицу вазмущающих воздействий Х гг (5.103 ) Глава 5. Составление исходных дифференциальных уравнений 111 Здесь индексом «Т> обозначена операция транснонировапия матрицы. Если управляемые величины имеют одинаковую физическую размерность н могут трактоваться как проекции некоторого вектора на осн координат, матрица-столбец может отождествляться с этим вектором. Тогда можно говорить о векторе управляемыхх величин. Если управляемые величины имек>т разпукх физическую размерность, то переход от матрицы-столбпа к вектору в принципе может быль слслап и в этом случае.
если ввести в матрицу-столбец весовые коэффициенты, уравнивающие размерности отлельных составляющих. Однако такой переход не является единственным, а нмеег бесчисленное количество вариантов. Аналогичным образом при равенстве физических размерностей отдельных составляющих матриц-столбцов управляющих воздействий н возмущений может быть введен сектор управления и вектор воаиуи(ения. При разных физических размерностях отделыпях составляющих матрип-столбцов переход к вектору возможен, по нс будет единственным, Лннсаризовапные уравнения движения многомерного объекта могут быть записаны в матричном ниЛе: й7(Р)У = Г(Р)й+ У(Р)7. (5.104) Здесь введена квадратная матрица операторных коэффициентов размером т х т ч11(Р) %2(Р) " п7ь (Р) ппп21(Р) Чгг(Р) ° Чгпп(Р) (5.
105) и прямоугольныс матрицы операторных коэффициентов размером т х л и т х 1 п(Р) г12(Р) " гм(Р) г21(Р) ггг(Р) " ггь(Р) (5.106) бп1(Р) Гппг(Р) " бпг(Р) «11(Р) з12(Р) ... зи(Р) вг! ( Р) в22 (Р) " зги ( Р) (5.107) зпн(Р) зппг(Р) °" зт)(Р) Если в выражениях (5.101) — (5.107) перейти к изображениям Лапласа прн нулевых начальных условиях, то матричное уравнение (5.104) может быть записано лля изображений в следующем виде: Й Р) У(Р) = ЮР)(7(Р)+ 5(РР(Р). (5.108) 1!2 Непрерывные линейные системы автоматического управления Зд~сь У(р), У(р) н !'(Р» — матрицы-столбца! изображений управляемых в! личин, управляющих воздействий и возмущений, В уравнение (5.108) вхолят также квалратцая матрица т>(р) и прямоугольные матрицы Я(р) и 5(р) размерами и и т, и х lг и и х l соответственно.
Если матрица фр) неособая, тх. оцрслслцтсль (2(р)>!О, то, умножив лсвук> и правую части (5.!08) слева ца обратну>о матрицу Я '(р) получим у(г) = И(Р)(т(Р)+ Иу(Р)р(г>). (5.! 09) Здесь введены матрицы !к>рслаточцых функций объекта для управляюншх воз- действий (Р) !йр)( (5.! 10) и для возмущений Йг(р)= ~(Р) 5(р), !Вр)~' (5.111) В (5.111) символом Я(р)обозначена матрица, црнсослинснная лля матрипы Я(р), Формулы (5,109) — (5.111) позволяют получить связь мсжлу управляемыми величинами и управля>ощцмн н возмушюощнми воздействиямц.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
