Бесекерский (950612), страница 23
Текст из файла (страница 23)
Так, например, сслн и = 3, >г = 2 и ! = О, то нз (5.109) ц (5.110) можно иолу пгц для изображений !>(Р) = И ! >(Р)(т>(р)+ И>а(Р)~'г(Р) ~ Ут(Р) =Игт>(!»(>>(Р)+Иг>(РЖа(Р) ( )з(Р) = И'>>(Р)У>(Р)+ И'ц(Р)(гв(Р). (5.112) (у(р) = ('>(Р) 1 Яи(Р) гг>т(Р) " )гь (Р) ' Х>(Р) и(Р)', (гз>(р) 1 (р» .. И„,(Г» Хз(р) х ( в(Р) ~ ~ Уг>>(Р) ть>(Р) " ггьп(Р) сЛ ~(Р) (5.113) !(а рнс, 5.!5 изображена условная структурная схема замкнутой мцогомсрной системы, На схеме асс указанные символы соответству>от матрицам: дч(!) — залающий воздействий, 7>(т) — у!!равляемых величин, х(г) — ошибок для ка>клой уцравлЯемой величины, й(Г) — УпРавлЯюпгцх воздействий, >г(т) — возмУщсццй, Ио(Р)— передато шых функций лля управлений, ЙГ(р) — передаточных функций лля возму>цсций.
Кроме того, введена прямоугольная матрица передаточных функций управляющего устройства Йт,,(р), котора определяет >и цользусмь>е алгоритмы управления. Она даст связь между изображениями уцравля!оших воздействий и ошибок: Глава 5. Составление исходных дифференциальных уравнений 113 Уравнения многомерной системы (рпс, 5.15) могут быть получены лсйствпямп, аналогичными о>пн>мерному случаю (5 5.2). Матрица передаточных функций разомкнутой по всем каналам систе- мы й>(р) = Ь»(р)%х(р). (5.114) 0(р) = Е е й>( р). (,5.
115) Здесь Š— единичная матрица размером и х т, т. е. квадратная ма >рипа, у которой все злемспты главной лиагопали равны единице, а остальные — пули>. Характеристическое уравнение системы получается прнравниванисм нулю определителя характеристической матрицы: (0(р)(=(Ее%(р)(=0. (5,116) Заметим, что в случае, когда многомерная система представляет сонокуппость т независимых одномерных систем, характсрнстичсская матрипа будет диагональной и определитель системы тогда равен произведению частных определителей каждой из систем, т. с, )0(р)! =10>(р))х ..
к)0 (1>)!. Витом случае общее характерпстпчсскос уравнение распадается па >и независимых характсристнчсс>сих уравнений ~0, (р)'- О, > =- 1, 2, ..., т. Матрицы передаточных функций:>амкцутой системы, замкнутой системы по о~циб>се и замкнутой системы по возх>уцссниям при условии, что матрица б(р) псособая, что означает независимость исходных дифференциальных уравнений, могу> быть определены нз выражений Ф(р) =0 >(р)%(р) ==Р%(р), =!))(р)! (5.117) Ф,. (р) = 0 '(р) = ~0(р)Г (5.11о') — — — 0(1>) —, Ф (р)=0 (р)%у(р)==%~(р).
!0(р)! ' (5.119) Здесь 0(р) — матрица, присоединенная лля матрицы 0(р). Характеристическая матрица системы представляет собой ква;й>атпую матрицу размером т х т: 114 Непрерывные линейные системы автоматического управления х,(р) Хз(р) = Ф (рФ(р)-Фу(р)р(р). Х(р) = (5.120) Исходные дифференциальные уравнения многомерной системы могут быть также представлены в виде уравнений состояния; х = Ах+ Вй+ М7; у =Сх; й=йх, (5.121) В зтих выражениях х = [хохм„,,х„]г — матрица-столбец переменных состояния, и — порядок дифференциального уравнспия.
Характеристическое уравнение, соответствуюшсс системе (5.121), имеет внд [Вр - А — В0~ = О, (5,122) где Š— единичная матрица и х и. Выбор переменных состояния для многомерных систем (в отличие от одномерных) представляет собой сложную задачу и здесь не рассматривается. Условием полной управляемости многомерной системы является псвырождснность матрицы Калмава К„=[В, АВ, А В,.Я В] (5.123) а условием полной наблюдасмости — невырожденпость матрицы к [с Ас (А ге ...[У] с (5.124) Матрицы (5.93) и (5.99) представляют собой частные случаи матриц (5.123) и (5.124). Полученные выражения для матриц псрелаточных функций замкнутой системы позволяют использовать формулы, аналогичные формулам в 5.2, но записанные уже для матриц-столбцов ошибок и управляемых величин.
Так, например, для матрицы изображений ошибок имеем Глава 6. Критерии устойчивости ...Цб Глава 6 КРИТЕРИИ УСТОЙЧИВОСТИ 9 6.1. Общие сведения об устойчивости Устойчивость является одним из главных требований, предъявляемых к автоматическим системам. Для иллюстрации понятия устойчивости обычно приводится слелующнй пример (рис.
6.1). Состояние равновесия шара в точке Лс на рис. 6.1, а устойчиво, так как сели какие-либо внеь~нис силы выведут и~ар из етого состояния (например, в точку Л, или Ат), то он возвратится к точке Ас. Состояние равновесия в точке Лс на рис. 6.1, а неустойчиво. В атом примере, как и в теории устойчивости, полагается, что впешпис силы илн возмущения прекращают свое действие к некоторому моменту времени, который можно принять за начальный момент г = О. Такие возмущения часто называют исчезающими. Применительно к системам автоматического управления такое понятие устойчивости можно использовать лишь частично лля характеристики свойств их объектов, которые сами по себе моь.ут быть устойчивыми нлн неустой ~ивыми. К последним относятся, например, некоторые ракеты. Лвтоматичсскьье системы отличаьотся тем, что в них, во-первых, осуществляется сн ецналььш организованное управление объектом.
Благодаря ему система с и еусто йчнвым объектом может стать устойчивой, а система с устойчивым обьекэоьь (при неправильном управлении) — неустойчивой, Так, неустойчивое состояние равновесия шара на рцс. 6.1, б легкими прикосновениями можно сделать устойчивым, а шар на рис. 6.1, а тем же способом можно раскачать так, что амплитуда колебаний будет увеличиваться.
Во-вторых, при наличии исчезающих аадающего и возмупьаюш их воздействий система может иметь много состоянийи й равновесия. Так, система стабилизации напряженияения в электрической сети прн номинальном токе нагрузки (возмущаьощем воздействии) поддерживает заданное значение напряжения, а при увеличен ин тока нагрузки изза подключения дополнительных потребителей переходит в другое состояние равновесия, отличаьощссся пониженным значением напряжения.
В-третьих, лля ряда систем типичным режимом работы является движение. Так, исполнительная ось слепящей системы в процессе слежения движется с постоянной или переменной угловой скоростью, закон изменения которой в оощем случае может быть случайным. Состояние равновесия можно рассматривать как простейший частный случай движения.
116 Непрерывные линейные системы автоматического управления В классической тсорцн устойчивости исследуется це устойчивость системы как таковой. а устойчивость се так называемого иеаозмущещсого доилсекия. Нижс булет показано, что лля линейных сигтсм с точки зрения устойчивости нс имеет значения, какое их лвижсцце принимается в качестве цевозмуцтсшп>го.
Это можстбыть, например,сос>ояцис равновесия системы стабилизации напряжения цри любом (лаже нс заданном)токе нагрузки или лвиже>тие исполнительной оси слепящей системы цо случайному закону Олцако лля не ошей»ых систем это имеет су>цсствсннос з>щчение, так как олцо конкретно заданное нсвозмущснное движение может оказаться устойчивым, а лругос — неустойчивым. Исчезнувшие к моменту врсмсцн с - 0 возму>цсцня вызывак>т отклонение лвнжецця системы от ес цевозмущеццого лвиження. Это новое лвижсцнс называется возмуите>с>сьью Строгая математическая теория устойчивости была создана Л.
И. Ляпуновым и изложена цм в работе Общая задача об устой н>ногти движения», опубликованной в 1692 г. В цсй бьщо опрслслсцо понятно устойчивости и разработаны метолы устойчивости цслцнсш>ых снсгем. Отправные положения, на которых базируется понятие устойчивости по Ляпуновуу, рассмотрим на примере системы второго цоряпка. Для характеристики Лвижения атой сцстсмь> используем псремсциыс состояния (см. гл. 5) х, и ха 1[а плоскости (рис.
6.2) они определяют положение некоторой точки М. В процессе движения системы х, и хз изменя>отея, а точка М прочерчивает нскоторук> траекторию, Положим, что невок>мущешк>му лвцжецню соответствует траектория й ца которой х (с) = х, (с), хз(с) = х> (с). Начальными значениями для нес булут х, (0) = хю, ,о . .о о о х~>~(0) =хзо (точка Мо» ). Пусть исчезнувшие к моменту времени с = 0 возмущения о изменили начальное согтоянне системы н начальными значениям ц стали х,(0),ха(0), которым соответствует тц>чка Мо. В р< зультате лвнжснцс стало возмущеш>ым (кривыс 2 цлц 3). Отклонения цачалш|ых значений обозна сим Ьх>о --х,(0)-хоо, Глава 6. Критерии устойчивости 117 Е>хгв — — хг(0) — хгв, атаку>ииеотклонс>ли — Е>х>(г) =х,(г)-х, (<), Л~г(г) =хг(<)-хг(г) Посяедиис показаны на рис.
6.2 лля некоторого момента времени г = <г Нсвозмущенное лвижснис называется устойчивым, если нри любых достаточ<ю малых отклонениях Ах>в и Атгв текущие отклонения Ьх<(г) и Ьхг(<) нри Е > 0 остаются малыми (крнвая 2). Нсвозмущси нос движение пазы вастся неустойчивым, если лаже нри сколь угодно малых начальных отклонениях хотя бы одно из текущих отклонений нри < > 0 нс остается малым (кривая 3). В частном случае, когла в качестве нсвозмущсииого лвижсиия принимается состояние равновесия, траектория 1 вырожластся в точку >1><>', а тскуишми оп<лоисциЯыи оУЛУт Ах>(г) =х>(е) — хц>, <>хг(г) =хг(г) —.ггв.
Для системы и-го порядка используется и переменных состояния ха соо гветствспно, столько же начальных н текущих отклонений. Онрсле><им теперь понятие устой нщости более четко. Невозиущеииое движение иазываетгя ус>пойчивььч поЯяпукову, если для каждого заракссг .>ада>ищго положителького числа е; (>' = 7, 2, „и), как бы .чало око пи бьыо.
гчожио подобра>ив другое полол< отельное число >1 е зависли<ее от е„>лаков, что при л>обых лича.гьяых откг оп<гиля< удо«>спи>оряюи(их условиям / бх,в1 >< г)в г = 1, 2, ..., и, (6.1) все отклояепия от яевоз.чуи<еияого движеиия при г Э 0 удав><егпворявот условия.ч /Е>х,(<)!<еь >=1,2,...,п.
(6.2) Нсвозмущсннос движение называется асичтпотически устойчивым, сслн оно устойчиво но Ляиуиову и, кроме то>.о, 1ни Е<В(г) = О, > - 1, 2, ..., и. (6.3) Смыс;> условий (6.1) рассмотрим па примере системы второго порядка. Условия (6.2) должны выполняться лри <Е > О, т. с. относится н к начальным отклонениям <кт ы Лхгв.
Вс ти переменная хг не вхолит в уравнение для х, (и наоборот), то отклонение ьх>(г) зависит только от ьх>о, а ехгг(г) — только от еькгв и длЯ олРсделсния устойчивости дос гаточно попользовать только условия (6.2). Олнако в общем случае (например, нри нормалыюй форме уравнений состояния) переменная хг вхолнтвуралнснисдляхоах, — вуравнсинедляхг. Поатому отклонения бе>(г) иЕ>хг(г) зависит как от Еьх>а, так и от Е>хгв, Следовательно, возл<ожио такое сочетание начальных отклонении лРи ! Ат>в1< с> и1бх,в< < с>, что1Е>х>(г)1> е, или1Еьтф) ~ > сг. Ъгловия (6.1), таким образом, устанавлнва<от, что нсооходнмо нанти такое сочетание начальных отклонений и их предельных значений, нри которых условия (6.2) выполняются.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
