Бесекерский (950612), страница 27
Текст из файла (страница 27)
ф. х.) илп логарифмических частотных характеристик (л. ч. х.) разол<ю>утай системы. Помимо нсслсловапия устойчивости по виду указанных характеристик можно оценить и нскоторыс качественные показатели замкнутой системы, например, запас устойчивости. Более того, появляется возможность указать, как и за счет каких с!>слств неустойчивая замкнутая система может быть сделана устойчивой и как можно повысить качество устойчивой замкнутой системы. В главе 5 было введено понятие передаточной функции разомкнутой системы. Эта функция может быть прелставлеца в виле В( р) 1>е р'" + 6, р ' +...
+ Ь С(р) се р" + с, р" +... е с, (6.19) 132 Непрерывные линейные системы автоматического управления причем степснь числителя не можст быть выше стспспн знаменателя, в> < и. При полстановке р = >о> полушт гся чис>ло>лнил передаточная функция разг>.нкну>лой системы )У(ус>) = =Л(о>)е'"'~"0 =(>(с>)+уЪ'(с>). ВЦс>) СЦс>) (6,20) Частотная псрелаточная функпия разомкнутой системы нрслставляет собой комплскспое число.
Па ошп>капни рассмотренных в главе 4 частотных характеристик смысл ее можно объяснить следующим образом (рис, 6.8). Прелставим себе снстсму управления в разомкнутом состоянии в внпс некоторого звена с передаточной фушсппсй >т(р). Если на вход этого звена волана и сигнал ошибки в виде гармонических колебаний х = Х„,,„в>п пн г амплитудой Х„,.„„и частотой ю, то в установивп>смгя режиме на выходс управлясмая асличнпа булет пзмспяться также но гармоническому закону у - У„...„яп (о>г+ >1>) с амплитудой 1;„„, той жс частотой н фазовым слвип>м >у. Модуль частотной передаточной функция прслставляст собой отношение амплитуд выходной и входной величин: У„„, Л(в>) = — '"", Х„„„ (6.21) а аргумснт — сдвиг фаз >у.
При постоянном значсппн Х„,„„амнлнтула У„„.„зависит от частоты входного сигнала: У,„„,. = У,„(о>). От частоты зависит и сдвиг фаз, или фаза: >у = >р(а>) Если изменять частоту входного возлсйствия от 0 ло и откладывать на комплексной плоскости точки, соотястствующис получающимся коиплсксным числам, то гсомстричсскос место этих точек образует амплитудно-фазовую характсристику разомкнутой спстсмы (рис. 6.9).
На амплитулпо-фазовой характсристикс лля удобства могут отмечаться точки, соответству>ощис опрсделеш>ым частотам, например в>>, гоз, щз и т. л. Влоль кривой ипогпа рисуют стрелки, которые ноказыва>от направленно возрастания частоты с> (рис. 6.9) В реальных системах вссгла удовлстворяется условие т <и.
Поэтому при частотс, стремяшейся к бесконечности, модуль частотной псрслаточпой фупкпии стрсмится к нулю н точка с частотой с> — > попадает в начало коорлнпат, Для построения а. ф. х. в выражении (6.20)можно выдслить всщсственпую П(о>) и мниму«> Р(с>) части. Олпако, соли порялок системы л > 2, улобпсс использовать Глава б. Критерии устойчивости 1ЗЗ Таблица бя полярные координаты, опрслеляя модуль А(с») и фазу»1»(с»). С этой целью передаточную функци (6.19) целесообразно прслставить в так называемой сгаплартпой форме; В(р) К(т,р+1)(тзр+1)(тззрз+2Цзт»р+1)... С(Р) р (Т»р+1)(узр +2~гТзр+1)(Тзр — 1).„ (6.22) Козффи»»иент К»»азывастс»гхозффициентом передачи разомкнутой системы, а постоянныс г, и Т, — постоянными времени, Козффи»»ие»»ты с, могут принимать ла>- бые значения от О ло 1. Соотвстствующая (6.22) частотная псрелаточпая функция разомкнутой системы имеет вид; К(1+ усот»)(1+ у»отв)!(1-тзс»~)+2Дзтзс4...
(у»о)" (1+)»оТ»)[(1-Тз»о )+2Д,Т»оз)(-1+у»орв) .. При таком прелставлснии молуль А(»а) - ) цг()»о)! равен отно»пению молулсй числителя и знаменателя, а аргумент (фаза)»ц(с») — разности»»х аргументов. В свою очсРсяь, мояуль произведения комплексных чисел равен произведению молулсй, а аргуме»»т — сумме аргументов. Модули и аргументы, соотвстствующие сомножителям передаточной функции (6.22), привелсны в табл.
6.1. 134 Непрерывные линейные системы автоматического управления (6.24) где 0(р) — характеристический поливом замкнутой системы. Сделаем подстановку р - гго и иайделк комплекс О( гго) С( ио) (6.25) Будем изменять частоту го от 0 до ~ и изобразим получившуюся амплитуднофазовуго характеристику И',(~го) на комплексной плоскости (рис. 6.10). Прн го = 0 цри указанных вьпне условиях согласно (6.23) Инго) - К, Иг,()го) = 1гК, а нри ву =, так как и < и, И'((го) = О, Иг,()го) =1, Определим результируклций угол поворота вектора Иг,(ттв) цри изменении частоты от 0 до . Этот угол представляет собой изменение аргумента (6.25), который равен разности аргументов числгпеля у, и знамсцателя вг,.
Если замкнутая система устойчива, то в полипом 0(р) входят только сомножнтели первого и второго порядка с положительными коэффициентами, аналогичные указанным вьннс сомножитслям полинома С(р). Аргумент первого цз них, как слсц дует из табл. 6.1, изменяется от 0 до —, а второго — от 0 ло я. Таким образом, при 2 изменении частоты от 0 ло аргумент 0(гсз) изменяется на величину Ч~ = и —, глс 2 и — степень полинома 0(р). Степень нолинома С(р) такая же, как н полгпнкма Р(р). я Позтому аргумент С(но) изменяется на такук> жс величину: кут = и — Рсзультируюгцггй Угол новоРота Иг,(гтв) Равен нУлю: вг - вг, — Чгт =- О. Это означает, что дли Устойчивой замкнутой системы годограф вектора Иг,(Гоу) нс должен охватывать начало координат (рис.
6.10,а). Сформулируем требования к а. ф. х. разомкнутой системы, нри вьшолпенин которых замкнутая система будет устойчивой. Ограничим вначале задачу и будем рассматршшть только устойчнвыс в разокпснутом состоянии системы. Это значит, что в характеристическом вол иномс разомкнутой системы С(р), представляюшсм собой знаменатель передаточной функции (6 22), цст нулевых корней (г = 0), а остал ьцые корни нмсккт отрицатсльцыс вснгсственц ые части. Для етого, как показано в й 6.2, необходимо н достаточно, чтобы всс козф4кицнсцты вол иномов первого и второго ~горядков были положительными, т.
е. в ~годицем С(р) должны входить только сомцожитсли тина Т р + 1 и Тррз+ 2~,.Т р+1 при ~; -к О. 11нжс будет показано, что нри определенных условиях первое ограничение может быль сия ~ о. Введем в рассмотрение вспомогательную функцию Глава 6. Критерии устойчивости 135 Частотная передаточная функция разомкнутой системы Иг(до) отличается от вспомогательной функции И',()тд) на единицу.
Поэтому она для устойчгнюй замкнутой системы ос должна охватывать точку с координатам н (-1;у0), т. с. должна проходить так, как показано ца рис. 6.11, а. Если замкнутая система неустойчива, то в полиноме Р(р) появляются сомножнтели первого или второго порядка с отрицательными козффициснтами типа Т;р — 1 нли 7;. р — 2~;Тр+ 1, корни которых положительные или имеют положительные ве- г г щсственпыс части.
Аргумент, соответствующий первому из них (см, табл, 6.1) из- и и меняется отпдо —,, т. с. на —, а второму — на — и. Если общее число таких корней 1, 2 ' ' 2 то им соответствует изменение аргумента Р()та) на величину -1 —, Остальным л — 1 2 корням с отрицательной вещественной частью соответствует изменение па величи- и ну (л-1) —. Таким образом, аргумент Р()го) изменяется па величину 2 и и п вг1 — — -1 — +(и-1)-= и — -(и.
2 2 2 Аргумент С(до) остается прежним: дгг =- н —. Результируюпптй угол поворота век- 2 тора Иг(гге) прн изменениичастотыот0до~ вг = т1г, — вг, = -(п Это означает чтодля пеусто11чи вой замкнутой системы годограф вектора Иг,()то) охватывает начало координат на угол п( по часовой стрелке (рис.
6.10, б), а а. ф. х. разомкнутой системы (рис. 6.11, б) охватывает на тот жс угол точку ( — 1; )0). В частности, на рис. 6.10, б и 136 Непрерывные линейные системы автоматического управления рис, 6.11, б угол охвата равсп -2я, т. с, в иолииомс 0(р) имеется два корня с положительной вещественной час> ьк>. Вели замкиутая система находится иа колсбатслы>ой границе устойчивости, то в полииоме 0(р) пот корней с положительной веи!сствсипой частьк>, ио имеется пара чисто мнимых корней р, г = " 7Й. Эта граница наиболее характерна для устойчивых в разомкнутом состоянии систем.
В этом случае, как следует из выражения (6.16), 0(>Й) = О, а йг(гй) = — 1. Это означает, что иа частоте о> - Й модуль Л(Й) = 1, а фаза >1>(Й) = -я, т. е. а. ф. х. разомкнутой системы (рис. 6.! 1, в) проходит >срез точку ( -1;7О). Таким образом, еся>и разомкнутпая система устойчива, то для устойчивости зссчкнутой системы необходимо и достаточно, чтобы ттдитудно-фазовая характеристика разомкнутой системы не охвитнвала >лочку с координатами (-1;70), Для случаев, изображеш>ых иа рис.
6.11, а — 6. ! 1, в, исхоля из критерия Пайквиста можно сформу;иц>овать условие устойчивости замкнутой системы. Пусть ю = Й— частота, па которой фаза >1>(Й) = — л. Тогда замкнутая система булет устойчивой, если модуль Л(Й) < 1 и неустойчивой, если А(Й) > 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
