Бесекерский (950612), страница 30
Текст из файла (страница 30)
Для онрслсленности постросция возьмем цсреяаточцую функцию разомкнутой системы Глава 6. Критерии устойчивости 145 Вторую асимптоту доводим до второй сонрягак>щей частоты а>з (точка Б). Так как частоте щз соответствует постоянная времени то находящаяся в числителе (6 28), то л. а. х.
«пзламывасм» иа +20 лБ/дск и наклон третьей асииитоты составит — 20 лБ/дек. Доводим сс ло третьей сопрягающей частоты ыз (точка С). Так как этой частоте соответствует постоянная времени Тз сомножителя второго порядка знаменателя (6.28), то л. а. х. «изламываем» иа — 40 дБ/дек и иослслняя асимитота будет иметь наклон — 60 дЬ/дек. Действитсльпая л, а. х, несколько отличается от асимитотичс< кой (см. 1> 45), Максимальные отклонения имеют место на соирягающих частотах. На частоте е>> действительпая л. а, х. проходит на 3 лБ пиже, иа частоте е>з — на 3 дЬ вьпие, а на частоте щз — на 6 лЬ ниже асимптотической. Выражение лля фазы (6.28) имеет вил Ц>(о>) = -90 — агстй о>Т> + агсгй шт, — 2агссй о>7~ = -90'+ Ц>, + ц>>» 2Ц>з.
(6.30) Каждая из составляю>цих ц>и ц>э ц><> представляет, по сути Лела, овну и ту жс зависимость от частоты. Позтомудостаточно построить, например, только зависимость ц>> = -агсгй юТ, (см. рис. 6.18). Все остальиые получа>отся нростым сдвигом этой фазовой характеристики так, чтобы на соотнетству>ощсй сопрягакписй частоте иметь фазовый слвиг 45', При этом необходимо учитывать знак каждого слагаемого (6.30).
Логарифмическая фазовая характеристи><а (рис, Г>.18) получается в результате алгебраического суммироваиия всех слагаемых (6.30). 1!остроенис л. ф, х. можио су >исствеиио упрости> ь, если зараиее будет иодготовлсн >иаблон лля одной из ука«>аи- иых зависимостей. 146 Непрерывные линейные системы автоматического управления Аналогичное построение л, а, х.
и л, ф, х. может быть сделано при лк~бом значении т; Разница будет заключаться в наклоне первой асимптогы л. а. х. и величине первого слагаемого выражения для фазы (6.27). При г = 0 первая асимптота прохолит цараллслыю оси абсцисс на расстоянии 20 !8 К. При г> 1 се наклон равен — г 20дБ/дск, а еечастотасреза ю,, = Г1К. В тех случаях, когда в нередапгчной функции разомкнутой системы (6,22) имеются сомножители типа тгрг+ 2сср ч- 1 и 7гр е 2гТр+ 1 с комплексными корнями, построение асимптотической л. а. х, при нпипиалы~о нс отличается от рассмотрецно- 1 1 го выше.
Соцрягаюшим и частотами для них будут ю = — и ю = —. На первой л. а. х. т 7' дополнительно изламывается па +40 дБ/дек, а на второй — на — 40 дБ/дек. Однако при малых значениях параметра затухания 7, отклонение действительной л. а. х, от асимптотической оказывается значительным. Поэтому цри с < 0,3 в асимптотическую л. а. х, следует внести поправки в соответствии с рис. 4.15 нли рис. 4.16 (для первого из указанных сомножителей они берутся с обратным знаком). Аналог ично изложенному выас строится и л. ф. х. Для построения составляющих фазовой характеристттктт, соответствующих сомножителям с комплексными корнями, можно использоваты рафики, приведенные на рис. 4.15. Обратимся теперь к исследованию устойчивости замкнутой системы но построенным л. а.
х. и л. ф. х. разомкнутой системы. Для этого воспользуемся последней из приведенных выше формулировок критерия Найквиста, связанной с прохождением а. ф. х. через критический отрезок. На плоскости а. ф. х. разомкнутой системы критический отрезок (см. рис. 6.16) представляет собой отрезок вещественной оси, на котором фаза т!т(ю) = — 180', а мо- дульА(от) >!. На плоскости л ч. х. разомкнутой системы фаза от(от) = — 180'на всей оси абсцисс, а модуль А(от) > 1 там, где б(го) - 20 !й А(ю) > О. Например, ца рис. 6.!8 эти условия выполняются на отрезке оси абсцисс, расположенном левее частоты среза л. а.
х. от,. Таким образом, для устойчивости замкнутой системы необходимо и достаточно, чтобы сумма переходовлогарифмической фазовой характеристики разомкнутой системы через критический отрезок была равна —, где1 — число корней с положнтель- 2 ной вещественной частью в знаменателе передаточной функции разомкнутой системы )('(р). Как и прежде, переход сверху вниз считается положительным, а снизу вверх — отрицательным.
Так, на рис. 6.18 л. ф. х, не пересекает критический отрезок (персходов нет), в знаменателе передаточной функции (6.28) корней с положительной вещественной частью нет (1 =0) и, следовательно, замкнутая система устойчива. Аналогично обстоит дело и с замкнутой системой, л. ч. х.
которой в разомкнутом состоянии изображены на риг 6.19, а. В обоих случаях ~~ри увеличении коэффициента передачи разомкнутой системы л. а. х. будет сдвигаться вправо параллельно самой себе, а л. ф. х. из- менЯтьсЯ не бУдет. ПоэтомУ (см. Рис. 6.19, а), когда частота сРеза л. а. х. юг станет равной частоте Й, замкнутая система попадет на колебательную границу устойчивости, а при юг > ьг появится -1 переход через критический о~резок и замкнутая система станет неустойчивой. Глава 6. Критерии устойчивости 147 На риг. 6.19, б изображены л, ч, х„соответствуютцис второй из а. ф.
х., показанных на рис. 6.16. В этом случае замкнутая система устойчива, так как при 1= 1 имеется +~>>з перехода через критический отрезок на частоте е> = О. Его наличие обьяспястся тем, что фаза >р (0) = — 180, а первая асимптота л, а. х. илст параллсльно оси абсцисс, т, е.
модуль А (О) = /г. Это озпачает, что а. Ч>. х. (см рис. 6.16) при е> = О начинается па критичсском отрезке. На рис. 6.19, а такого перехода пот, так как фаза >у(0) = — 180', но первая асимптота л. а. х. имеет отрицательный наклон и А(0) = На рис. 6.19, е изображены л. ч. х., соотвстствук>щис рис. 6.12. Здесь имеется +1 псрелол на частотс 1зз и -1 переход па частоте ьз>. Замкнутая система устойчива, так как 7- 0 и сумма псрсхолов равна нулю. На рис. 6.19, г показав случай, когда критический отрезок состоит из двух частей.
Одна его часть находится на частотах с> < е>>, а другая на частотах е>т ~ е> < е>ж Так как имеется -1 персхол черсз вторую часть критического отрезка, то замкнутая система псустойчива. Болыцос практичсское прсимунтсство критерия Найквиста состоит в том, что а ф х или л, ч, х. разомкпутой системы могут быть получены пс только расчстпым путем (в том числе и с исиользованисм средств вычислительной тсхпики) при заЛапной псрслаточпой функции разомкнутой системы, но и сняты экспериментально при наличии уже созданных автоматической системы в целом или отпел ьных ес устройств.
Это особсппо важ>н> тогла, когда лостовсрпость исхолиых лифферсициальпых уравнений по тем или иныл> причипам вызываст сомнение. 148 Непрерывные линейные системы автоматического управления 9 6.6. Устойчивость систем с запаздыванием Системы с запазлыванисм (см. 5 1.2) от:шчаются от рассмотренных раисе сис- -гсм тем, что в одном пли нескольких из своих звеньев имеют запазпыванис во време- ни начала изменения выходной величины (после начала изменения входной) па ве- личину т, называемую временем запазлывапия, причем это время запазлывания ос- тается постоянным и во всем последующем ходе процесса, Например, сели звено описывается уравнением , Ихз Т=жхз -— йх, Й (6.30) Т вЂ” +хз(г)=Ь,(г-т) , газ(г) Й (6.31) (апсриоличсское звено первого порядка с запаздыванием).
Такого вида уравнения называ|отся уравнениями с зацазлывающим аргументом. Обозначим х;(г) =х,(г — т), Тогда уравнение (6.31) запишется в обгвк|ювенпом виде: ,, ~(тз Т вЂ” жхз =Йт,. ог (6.32) Так, если входная величинах, изменяется скачком от нуля до единицы (рис. 6 20, а), то нзмсцспис величины х, (1) = х,(г — т), стоящей в правой части уравнения звена, изобразится графиком рис. 6 20, б (скачок на т секунд позже). Используя теперь переходную характеристику обыкновенного апериоличсского звена в применении к уравнению (6.32), пояучаем изменение выходной величины х; в виде графика рпс.
6.20, в. Это и булст переходная характеристика апсрпояпческого звена первого норяпка с запазлыванисм (его ацсриолическое чицсрционноса свойство определяется постоянной времени Т, а запаздывание — величиной т). В общем случае, как и лля (6.31), уравнение динамики любого звена с запаздыванием можно разбить па лва: С(р)ав = В(р)х!, (6 33) х, (т) = х, (1 — т), что соответствует условной разбивке звена с зацазлываннсм (рнс.
6.21, а) па лва: обыкновенное звено того жс поряпка и с теми жс козффиписп гам и и прелщсствующий ему элемент запаздывания (рис. 6.21, б). (апсриояическое звено первого норялка), то уравнение соответствующего звена с за- пазлгяванисм булет иметь вил Раааа 6. Критерии устойчивости 149 Временная характеристика >побого звена с запаздыванием будет, следовательно, такая >ке, как у соответствующего обыкновенном> звена, ио только сдвинута по оси времени вправо па вс:>ичииу т. Примером звена «чистого> запаздь>вания т является акустическая ливия связи (т — время прохождения звука).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
