Бесекерский (950612), страница 32
Текст из файла (страница 32)
а. х., а> - ш, (см., например, рис. 6.18). Поэтому пахождспие >о> и >у> удобно делать црп наличии построенных л. а. х. и л, ф, х, Л. а. х. системы с запаздыванием совпадает с л. а. х. исходной системы (без запаздывания). Дополнительный фазовый сдвиг, который надо учесть при построении л. ф. х.
системы с запазлыванием, опрсделяе-ся (6.45). В некоторых случаях могут использоваться ш>алитическпс расчеты. Так, например, рассмотрим статическую систему с олпой постоянной времени. Частотная передаточная функция разомкнутой гистемы имеет вид 154 Непрерывные линейные системы автоматического управления Приравпясм модуль елинице: =1. 4~+юзтт Отсюда находится частота, соответствующая опасной точке: ,/Кт) т Фазовый сдвиг на этой частоте !у, = — лгстяго,Т=-агстя ~к -1. По формуле Г6А6) цахолим критическое запаздывание: и-агстяЧК вЂ” 1, и-агстяЧК вЂ” 1 Гг т,= =т (6Л8) !! о зтоьгу выражению па рис.
6.26 построена область устойчивости в кооряицатах «общий ковффпциент усиления — относительное запаэлыванисьз й 6.7. Устойчивость систем с распределенными параметрами Системой автоматического упранлсиия с рислрег)ютеиныии параметрами называется такая система, орели уравнений которой кроме обыкновенных дифференциальных уравнений имеются уравнения в частных производных. Физически это соответствует учету волновых явлений или гидравлического удара в трубопроводах, учету волиов!ях процессов в длиппых электрических линиях прн перелаче по цим воздействий от ояиого звена системы автоматического управления к другому или жс при управлении процессами в самих трубопроводах или ллипных линиях, Этот вопрос приобретает практичсское зпачсцис чаще всего в некоторых системах управления, включающих в себя воляш !с, масляиыс или газовые трубопроволы (либо в объекте, либо в управляющем устройстве), реже — в некоторых системах телсрсгулироваиия !телеуправления) и т.
и. Известно, например, что водяной трубопровол гилротурбииы описывается без учета потерь уравнениями а. ай ай о' а =К вЂ” ' ас= а..' ас а а' глс г~ — скорость Лвижеиия воды; Ь вЂ” напор в произвольной точке, определяемой коорлинатой х вдоль трубопровода; и — скорость звука в воле. Глава 6. Критерии устойчивости 155 Уравнения длинной алсктричсской ливии без потерь имеют вид: — =( —; а. а' а1 ап — =с —, д>г дг ' а. а. 1 ар — +ге — =- — —, аг а( р а(' (Г>АО) Учтем также условия постоянства массы ар дго др — ер — +и — =О аг аг ' а! = (6.5О) и алиабатичсское уравнение состояния >аза (6.51) В этих уравнениях ю, р, р — соотвстствспно скорость, лавление и плотиоеты аза в текущем сечении трубопровода с коорлп натой! в момент времени г (вся длина тру.
бопровода обозначается через Х); Iг — показатель степени в уравнении алиабатическоп> состояния газа; индексы О вверху (р, р ) означают, что лапные величины отпоо о сятся к установившемуся состоя пшо сис.темы. гле и — напряжение; 1 — ток в произвольнойй точке, определяемой коорпипатой к вдоль ли»ии; >' и с — индуктивность и емкость единицы длины лишш. 1!осле решения указанных уравнений в частных производных с учетом > раничпых условий, определяемых смсжпымп звеньями данной системы автоматического управления, для системы в»слом получая>тся уравнения того жс типа, как и для систем с запазлыванпсм Я 6,7). Рассмотрим вывод уравпепий системы стабилизации павлеппя газа в трубопроводе, схема которой изображспа па рис.
6,27. В данном случае сам объект (трубопровод) является звеном с распрелслсппыл>п параметрами. Для простоты будем считать его прямолинейным, а всех потребителсй — сосредоточспными па конце трубопровода. Управляющее устройство состоит пз чувствительного;>лсмепта 2 (мембранный измеритель давления), усилителей 3 и 4 (струйцая трубка и пневматический двигатель) г жесткой обратной связью 5 и пз управляющего органа б (клапан), Возмущающее воздсйствиеу(г) на объект выражается в изменении по произволу потребителей неко>ерово эквивалентного выходного сечения па кош1с трубопровола. Уравнение управляемого объекта.
Движение газа в трубопроводе полчипястся уравпеппк> 156 Непрерывные линейные системы автоматического управления Продиффсренцировав (6.51), получаем ( р ) 1 др 1 др о (р~~ р, дс ро дс' откуда (6.52) где а — скорость звука в газе, определяемая формулой (6.53) Обычио не учитывают сопротивления движения газа в трубопроводе, препебре- дсв др тая сравнительно малыми члецамц тв — и те —.
Кроме того, ввиду малости величи- ' а) а) пы отклонения давления р в процессе управления от сго установившегося значения можпо считать, что — = 1, а слсдовательпо, согласно (6.51) — „=1. В результате из р р' Р уравнений (6Л9), (6.50) и (6.52) штлучасм а 1 ар 1йе» ар дс. " д( д( росс дс (6.54) ор, — — (О<).<1), р р Е (6.55) а также для отпоситсльного отклонения у скорости движения газа в трубопроводе: ш-те Ьте о Ч»=7» =)» —, тво соо ' (6.56) где те — скорость газа в трубопроводе при установившемся процессе; 7» — показатель о степени е адиабатическом уравнении состояния газа (6.51). Перехоля в уравнениях (6.54) к этим относительным безразмерным переменным и бескоцечпо малым приращсциям, получаем искомые уравнения управляемого объекта (трубопровода) в виде г" ач» дрр.
у 7о дс д) ар ач т„— = —,, а» ай' (6.57) Ведем обозначения для относительного отклонения ср управляемой величипы от сс установившегося значения и для относительной координаты л вдоль трубопровода: Глава 6. Критерии устойчивости 157 где введены два постоянных параметра управляемого объекта: гв у=— и Т„= —; ,а' (658) Первый из них (Та) представляет собой, очевидно, время прохождения газа но данному трубопроводу в устаповившсмся процессе, а второй (у) — отнопгспис устаповившсйся скорости газа к скорости звука в псм. Заметим, что уравнения (6.57) эквивалентны так называемому волновому уравпсншо г гдгар дгар дтг дйг (6.59) которое легко получается, если первое из уравнений (6.57) продиффсрсппировать по )ч а второе — по г и сравнить результаты диффсрсшптровация, Для системы уравпсиий в частных производных (6 57) пало написать граничные условия.
Для этого запишем уравпсппс поступления газа через клапан н начале трубопровода и уравнение потребления газа в коппс его. Используем выражение для скорости газа через его расход, а цмспцо: С ге=в ярГ' (6.60) где С вЂ” расход газа по несу в секунду; Р— площадь сечения трубопровода; я — ускорение силы тяжести. Условимся значения всех псрсмсппых, относящихся к началу и к концу трубопровода, обозначать индексами 1 и 2 соответственно. Расход газа в начале трубопровода С будем считать фупкписй коордипаты иерсмспгсция клапанах, т. с, С1 = С1(х).
(6.61) Эта функция (риг. 6.28) определяется либо аналитическим расчетом, либо из опытных данных. На основании уравнений (6.60), (6.61), а также формул главы 3 малое отклонение тттл~ величины скорости в начале трубопровода от сс устаповивтпсгося зпачсния тв будет ,а то~ — тл = Ьтау = — д(ч +. — ЛР4 = а тт( — г др~ = '=~дС,3 (др,3 '= 'Р,(, )'Т.
(6.62) 158 Непрерывные линейные системы автоматического управления Введем безразмерную величину относительного отклонения уггравяяющсго клапана: х-х Ьх о н -а (6.63) где х„— условное номинальное значение, равпос Со 'й)' (6.64) Кроме того, заметим, что согласно (6.60) Со гв 8р"г (6.65) Подставляя все это в (6.62), с учетом (6.56) и (6.55) получаем уравненис поступления газа через управляющий клапан в начале трубопровода: рг +Чг! =1, (6.66) которос является псрвым граничным условием для уравнений объекта. Расход газа в конце трубопровода у потребителей можно записать согласно (6.60) в внлс (6.67) С другой стороны, известно, что при выходе газа из трубопровода (в случае критического истечения, которым мы для простоты и ограничимся) будет (;, =Ц~~28 —, Гр г'т (6.68) где Я вЂ” площадь некоторого эквивалентного выходного сечения па конце трубопровода у потребителей (ато величина, которая может меня.гься как угодно по произво- (установившиеся значения гс, о, р пишутся без индекса 1, так как оцн одинаковы о,-о о (дС, ~' вдоль всего трубопровода), Величина ~ — ) есть тангенс угла наклона касательной в точке С (рис.
6.28), соответствукнцей установившемуся процессу в трубопроводе, На основании (6,51) и (6.53) Глава 6. Критерии устойчивости 159 лу потребителя; она выражает собой, следовательно, вцсншсс возмущающее воздействие на данную систему); Рг — давление в коцне трубопровода нерея выходом к потребителям; ег — удельный объем газа там жс, уравнение для отклонения величины расхода в процессе управления от сто установивюегося значе1 ~ия в линеаризованном виде на основании (6.67), (6.51), (6.65) и (6,55) булет о 1о (6.69) Р8трО б о =Рйр Агег+ 7зрг = (Фг+'Рг).
„г Выразим Ь('г также из (6.68), 'г. е. через изменение выходного сечения у ногребителя, считая для простоты ог = совзг о: о. Ь17г = — ~ ЛЯ е! — Лрг = 2я — ЛЯ+Я вЂ” „„ЬР . ( дЯ ! ~дрг ! 1Г оа 11'2оора Учитывая, что из (6.68) (6 79) и вводя безразмерную величину изменения выходного сечения, т. е. вцсшпсго воз- мущаюнгсго воздействия У(г) =— ЬЯ 9о (6.71) получим (6.72) Сравнение выражений (6.69) и (6.72) ласт искомос уравнение потребления газа в конце трубопровода: И Чгг = йф(Г) — 1 — — )чгг 2) (6,73) которое является вторым граничным условием лля уравнения объекта (6.Й). Уравнение потребления (6.73) записано для обнгего случая нронесса управления с переменным внсншим возмущающим воздействием, выраженным через относительную величину выходного сечения г'у потребителей.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
