Бесекерский (950612), страница 35
Текст из файла (страница 35)
Построение кривой переходного процесса 171 Для остальных начальных значений выполняются соотношения Ш-> <л-> о Ь хо =- .о ио х 1„„»,„,» Ь,, и, Г Ы.„> Г„>~ ~о -о =х + — 1- — ~х ' — х '1- +о -о о о (7.12) ш-я+2> гю-и-:-2> 1>а ° иа Г хв-т> хи-т> ~ и> Г (и-п~+>> (л-лн>>] ! х ~.о -о =х '1 -о -о > 1 о -х -о по~ ио ио ио- " Для простоты примем, что переменная х является безразмерной величиной. Ре- шая характеристическое уравнение 0,05р е 0,4р + 1 =. О, находим корни: 2 Р> г у -+.Р' '1 ~ 72. Согласно заданным условиям х о - 0 и х'о = О.
Так как в данном случае п = 2 и т .=- 1, то начальные значения для г = +О в соответствии с (7.11) и (7.12), будут 0,5 х'„, =хо+ — 1=Ос — '=-10 с ио 005 х =-х -О, ~о ° о Определяем установившееся значение искомой координаты: х,, - Ь„,/и„1 = 1. Введем новую переменную г (г) = х (г) — 1. Начальныс значения для новой переменной: х о =х;о — хгит = 0 — 1 = — 1; г„о =х~о = 10 с ', На основании табл. 7.1 для и = 2 и случая комплексных корней имеем з=(Всоз)г+ Сз>плг)е ", где В= = — С=ух,о+г.о -4+10 — 3 Х 2 Эти формулы по>газь>ва>от; что только при ги = О, т. с.
для диффсрснпиального уравнения г>(р) х(г) = Ь 7(г) при скачке г(г), начальные значения при г = + 0 соответствук>т начальным значениям прн г - -О. В формулах (7.12) лшо>китель 1 имеет размерность всличггныт(г). Голи воздсйствис прикладывается в виде скачка, пе равного сдншще, то вместо! гледуст поставить величину скачка. Н р и м с р. Найдем реакцию системы на единичную со упенчатую фупкпин> прп пулевых начальных значениях, т.
с. псрсходну>о функци>о, если дифференциальное уравнение имее'> вид (0,05рв 0,4р 1) х(г) = (0,5р+ 1)Яг). 172 Непрерывные линейные системы автоматического управления Таким образом 2 = ( — соз 2г+ 3 зга'2()е "'. Возвращаясь к исхолцой координате, получаем переходную функцию гг(г) =х(() = 1+2(г) = 1 — (сов 2( — 3 гйп 22)е ('. Аналогичным ооразом можно осуц(сствить цсрсхол от неоднородного дифференциального уравнения (7 4) к уравцсцьцо без правой части цри воздействии тина импульсщ>й функции.
В этом случае установившееся зцачсцис х,„, = О, так как в случае /(г) =б(г) цРи ( — ) бУ>тот/( ) = О. ПозгомУ цст нУжды внодить новУю сысп((г>ц>У>о величииух(г) цзадачазаклк>частсятольковотыскациицзчальныхзначеций прис =. О. Так как единичная импульсная функция является производной от единичного скачка б(г) - 1'(г), то формулы пересчета начальных значений можно получить из (7.11) н (7.12), если заменить в ннх т ца гл 1 и положить >гт,( =- О. Тогда вместо (7 11) лля первых л — и — 2 начальных значений получим -о хо "-0' (7.13) (и-и-2) (и-а-2) Х 0 Х-0 и вместо (7,12) лля всех остальных начальных значений (и- -1> ( — -1> ОО 1 -т-о х-о + "о (и — т) (и-т) 1>1 Ог Г (и-т-1) (и-т-1)~ +о = -о -х а( ао ~- (и-тиг) (и-т-1) 2 О2 Г (и-т — 1) (и-т-\)3 О( Г (и-т) (и-т) ~ х ах ге -0 '( +о --о 3 'Г 0 -0 Х.
-х оо оо ао (7.14) .( -1> х( -О+г> 1 о Гх( — -1> г( -1>) "1 Г ( -2> .( -2>) х-о + ' ~а+о ' о > - .т,о х-О оо по 1. ((О В формулах (7.14) единица имеет размерность импульса вс.шчицы Г(1), т. с. размерность|((), умцожсицук> на время. Если возцействис поступает в вице иеедицичцого импульса, то в зтн формулы вместо единицы необходимо полстанить заг(аииук> величину импульса, Как видно цз (7.14), цри воздействии в вилс импульса, вотличие от скачка, даже лля дифференциального уравнения вида Т)(р) х(г) = Ьо)(г), не будет равенства начальных значений для г =- +О и г = — О, так как булст скачок в значении (и — 1)-й произволцой.
Скачок жс первой производной х', т. е. перелом кривой, булег уже при Ог = гг — 2, а скачок самой величины х — при гп - гг — 1. Глава 7. Построение кривой переходного процесса 173 П р и м е р. Найдем реакцию системы па единичный импульс при пулов»ях начальных значениях, т. е.
функцию веса лля дифференииаль»ило уравнения, приведенного в ирсдыдун»ем примере, Так как в рассматривасмол» примере пт = п — 1, то в соответствии с (7.14) получим х,о--х о+ — 1=0+ — '=10с Ьо 0,5 ио 005 Ь, аг з 1 04 и х.'о =х о+ — 1- — '~х ~-х ~~=0+ —.1- — ' 10=-60с и~ ио 0,05 0,05 В соответствии с табл. 7.1 для и = 2 и комплексных корней х=(Всов2г+Св1п2»)е и, где В=х, =10с'', С=ух,о+х,'о 4 10-60 -10г г. ) 2 Окончательно получасы функцию веса ге(г) =х(г) = 10 (сов 2г — втп 2»)е Этот результат можно было получить также непосредственным путем для Ь(г), полученного в иредыдуп»см примере, гак как те(т) = Ь (!) .
в 7.4. Использование преобразований Фурье, Лапласа и Карсона-Хевисайда Как известно, периодическая функция времени, по»»чиня»оц»аяся условиям Д»е рихле, может быть разложена в ряд Фурье: /(г)ждо+ ',» (Л»е1пЬ»се+В»южЬ»ог), »=! где Ь вЂ” порядок гарлюники, а о» = 'Ы/Т вЂ” основная круговая частота. Этот ряд может быть представлен также в колп1лскспой форме: дг) = ) С»е)»и' »=- где комплексный коэффициент С» определяется выражением 174 Непрерывные линейные системы автоматического управления Таким образом, периодическая функция времени можст быть представлена ввиде совокупности дискретных гармоник с интервалом по частоте между соседними гармониками, равным основной частоте оэ, Непериодическая функция времени может рассматриваться как периодическая с периодом, стремящимся к бесконечности.
В атом случас вместо приведенных формул получаются два интегральных уравнения Фурье, связывающих оригинал, т, с. функцию времсциЯг) и се частотное изображение Щьэ), которое называется также преобразованием Фурье: г(ута) = ~ Яе)е ~ ~ й, (7. 15) У(г) = — ~ г(7тв)е" Йо. 2к (7. 16) ~Иг)! (г< . От этого недостатка свободно преобразование Лапласа, связывающее оригинал и изображение следующими интегральными уравнениями: Г(з)= )/(г)е " Й, а (7.17) 1 7(г) = — ~ г(з)еяй, 2п (7.18) причем функция времени должна быть равна нулю (г(г) - О) при г < О. В отличие от преобразования Фурье здесь изображение функции времени является функцией не частоты, а некоторой комплексной величины з - с +7ек Вещественная часть ес представляет собой так называемую абсциссу абсолютной сходнмости, которая выбирается так, чтобы удовлстворялось неравенство ~~/(т)1Е о сус < о В отличие от разложения в ряд Фурье здесь получается разложение в непрерывный спектр чистот с интервалом по частоте между соседними гармониками, равным бесконечно малой величине Йо.
Недостатком интеграла Фурье являстся то, что он принадлежит к числу несобственных цптегралов и может цримспяться для так называемых абсолк~тпо иптсгрнруемгях функций времени, т. с. для функций времени, удовлетворяющих неравен- ству Глава 7. Построение кривой переходного процесса ! 75 Для большинства функций, с которыми приходится иметь дело в управлении, абсцисса абсолиотиой сходимости равна ну><ю, т. с. с = О. Поэтому лля этих фуш<ций преобразование Лапласа переходит в ирсобразованис Фурье, осли произнес < и подстановку т =уо.
Уравнения (7.17) и (7.18) часто записывают в сокращенном виде: Г(л) = Е (7(г)], у(г) т. <!Л(л)] . (7.19) Иногда вместо буквы .т применяется буква р, т. е. изображение Лапласа записывается в вице Р(р), но в этом случае р представляет собой нс опсратор дифференцирования, а колшлсксиу>о всличииу; р = с я-уо . В связи с этим формулы (7.19) и (7.20) могут быть записаны в виде р(р) - 7 Йг)] Ф) = 7- 'Т(р)] (7.20) В некоторых случаях, особенно в задачах электротехники, используется ирсобразоваш<с Клрсона-Хсвисайла, которое отличается от прсобразовапия Лапласа лополигпг >ьиым умножением на величину р: <р(р) = р]у(г)е"<кй, с (7.21) !'(г ) = — ] — <!р.
1 <р(р) с-> (7.22) Таким образом, между преобразованиями Лапласа и Карсена-Хевнсайда сушсствует соотношение <р (р) - рр(р). (7.23) Прсобра:>ование Карсона-Хсвисайла нашло распространение наряду с преобразованном Лапласа. Это объясняется тем, что исторически первым лля решения дифференциальных уравнений был использован так цазывасмьш операторный метод Хсвисайла, который, по сути дела, использовал преобразования (7.21) и (7.22). Кроме того, удобство преобразования Карсопа — Хсвисайла закл<очастся в том, что изображение постоянной величина<>1, точнее, ступенчатой функции т! 1(г), равно самой постоянной величине, что лсгко доказывается ис>шльзованисм выражения (7.21).
Поэтому во многих случаях преобразование Карсона — Хсвпсайла сливается с операторной записью дифференциальных уравнений. Основнос достоинство преобразований Фурье, Лапласа и Карсоиа-Хсвисайла заключается в том, что операции дифференцирования и интегрирования оригинала заменя<отся алгебраическими действиями по отцов<сник> к и;шбражсииям. В табл, 7.2 привалены основныс формулы и свойства изображений Лапласа н Карсона — Хсвнсайла. Изображение Фурье м<гкет быть получено из изображения Лапласаа подстановкой р =у<о.
< н лальнейыем и>ло копии при использовании и«ог>ражепия Фуикипи времеви комплскспая вслп <ипа булат обоапа иться буквой р. Олпако прп атом исоблолимо пс «утат а<у всличииу с оператором лпФФ<- рсипироваиия р-.4Ф1<, которьп| примепяется при испол<смявши Фуякпии времени (оригипаловр 176 Непрерывные линейные системы автоматического управления Орнгинзх Изображение Лапласа Изображение Карсонаымезиеаяла Наименование ЯР(р) Р,(р) ° Ра(р) —.'Ю Свойство линейности ЯТ(с) Л (с) ь .са(с) у (ас) Теорема подобия Лс-тс) е Т(с) е ч"р(р) У(р ьЛ) Теорема запазлынания Теорема смешения в комп лскспой плоскости — ср(~ Л) Р р-~-Л Р"о(Р) Ш- Т()"ь Правило интегрирования при нулевых начальных значениях Р(р) ю(т ) р !пп РЕ(Р) з-в !1пт РР(р) !!сп ср(Р) р О Теорема о конечном значении !1щ ср(р) я Теорема о начальном значении б(с) Единичная импульсная функция Кдипи'шая ступенчатая функция 1(с) Я 1(с) 11еедипичпая ступенчатая функция с" 1(с) 1 е ас, 1(с) и! я Степенная функция Экспонента р р+и 1(1-е ') 1(с) и Смещенная экспонента 1 р+а Синусоида ! Мп ЛС 1(С) Косипусоида созЛс 1(с) е "гып Лс 1(с) Затухаюсссая синусоида )а а е тс соз ЛС 1(с) Затухщощая косипусоида Рчу (р+у) +Л (р+у)'~Ла Таблица 7.2.
Преобразования Лапласа и Карсона-Хевисайда ,се) Правило ди4к!>ерешснровз- 1 у (С) ния прн нулсных начальных значениях 1 Р Л Р и! «ь! 1 р+и Р(Р а) а Ла р р -~- Л Л Яо(с) сч(р) сра(р) ® е " ср(р) Лр Р еЛ Р р +Ла ЛР (р+у) +Ла р(ржу) Глава 7. Построение кривой переходного процесса 177 ~/'(г)е "'й =с я 7'Я~ +рог)е ей= рр(р) — ЯО), о о (7.2л ) где Г(р) — изображение самой функции, Аналогично для второй производной (7. 25) 1.~У (г)1= р'Р(р)- р((О)-('(О) и для производной л~обого порядка Цу"'о(г)~ - р"р(р) — р" ' /'(0) — ... — 7т" "(0). (7,26) При нулевых начальных значениях ЦУ" (г)1 "р" Г(р) (7. 27) илп Р"'( ) .='рч Г0», (7.28) т. е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
