Бесекерский (950612), страница 36
Текст из файла (страница 36)
операция дифференцирования оригинала заменяется для изображения умножениемм па комплскспуго величину р. Аналогично для преобразования Карсена-Хсвисайда 7"'(г)г 'рср(р) — р/'(0), (7.29) ГРО«) ае р" р(р) — р'Г(о) — ... — рот"-0(о). (7.30) При нулевых начальных условиях Хоп(г);-'7 "Ю(Р). Аналогичным образом можно найти изображение интеграла от функции врсмс- ни: ~Ф)й е— а ' — ~р(р)+4 '~ р (7.31) где 1,' ' представляет собой значение интеграла, находящегося в левой части (7.31).
прис=О: Я и =~~Г(г)й~ Для пулевых йачальных значений выражение (7.31) упрощается: ~ Г(г)йле —, .Р(р) р г)тормулгя для дифференцирования и интегрирования ерш инала ланы для случая нулевых начальных значений. Для ненулевых начальных значений из (7.17) можно получить изображение по Лапласу производной оригинала (з заменено пар): 178 Непрерывные линейные системы автоматического управления т. с. интегрированию цо времени оригинала соответствует деление на изображение на комплексную величину р. рассмотрим теперь использование изображений для решения дифференциального уравнения 1)(р) х(т) = Х(р)/(т) (7.32) на примере преобразования Лапласа. Перейдем в лсвой и правой частях (7.32) к изображениям Лапласа.
При атом оператор дифференцирования р = а',~й в пгычгнюмах Р(р) и%у) заменяется на комплексную величину р - с+72о, а вместо оригиналов х(г) и 7(~) появляются их изображения Х(р) и Г(р). В результате получаем П()т) Х(р) — 7) ()т) = Мя 7(р), где 0 (р) обозначает сумму всех членов, с олержащих начальныс значения. Отек>ла находится изображение искомой величины: т.( ) ~(Р) (т ) ~е(Р) (7.33) О( р) Последнее выражение требуст некоторых пояснений в связи с различными возможными тракт<интами понятия на ~альных значений. Интегральное преобразование Лапласа (7.17), следует, вообще говоря, записать в болсе строгом вндс (цри замене з ца р): Г(р) =11ш) 1(Г)е Р гт .
(7.34) а-~0 Ь а Это даст возможность введения двух несколько отличаюцгнхся понятий преобразования Лапласа (и соответственно преобразования Карсона-Хсвисайда). 1. Преобразование Лапласа по начальным значениям справа. Если в выражении (7.34) цижпнй предел интегрирования стремится к нулкь оставаясь положительным (а > 0), то в изображении производной (7.26) следует брать начальные условия цри ( = «-О, т. е. для момента времени, который будет сразу после приложения к системе внешних воздействий.
В этом случае 7 Итп)(г)! = рпН ? Рп 1Л+О) ....7тп ы(эо) Лля использования последней формулы необходимо знание начальнглх значений справа, что оказывается не всегда удобным и требует расчета но формулам в 7.3. Заметим, что даже в тех случаях, когда до приложения воздействия система находилась в покое, начальные значения справа льогут быть ненулевыми и полипом 1)е(р), как правило, отличен от нуля. Кроме того, если рассматриваемая функция времен иДт) имеет при т = 0 особеит'ости тина б-функции, то это обстоятельство нс булет учтено в найденном изображении. 1ак, например, изображение самой б-функции н се производных оказывается цри атом равным нулю: ~б (г)е мг7г = )гбрв(г)е мй =О.
о +О Глава 7. Построение кривой переходного процесса 179 Расчет получается более цроск ым, так как прсдиачальиые зпачсиця должны бьгн известны всегда и никаких доцолнительпых операций здесь ие требуется. В частном случае, когда до приложения воздействия система пахо;шлась в покое, прслцачальиыс значения нулевые и выракксиис (7.33) приобретает вид у( ) Х(р) = 7 (р) = Й (р)Р(р) О(р) (7.35) Только это выражение и позволяет строго сформулировать понятие передаточной функции Иг(р) как отношение изображений входной и выходной величии ирц нулевых цредиачальиых значениях. Кроме того, преобразование Лапласа в случае, когда нижний предел нвтсгрировапия стремится к нулю, оставаясь отрицательным (а < 0), позволябт учитывагь наличие в рассматриваемой функции цри ~ 0 особенностей типа 6-фуьскции.
Так, пацрцмер, изображение единичной 6-функции оказывается равным единице: ~ 6(г )е " г'( -- 1, -о а изображение ее производной и-го порядка ) 6< ~(г)е ~ г7г = р". о Влияние особегиюстсй 7(г) и сс первых а производных, гле гл — порядок цолииома )у(р), ва изображснис М(р) /(г) в этом случае и ~ проявляется в виде автоматическо- ~ о учсз а начальных значений, которые будут иметь место справа (ори г = +0) в самом изображении Щ) Кр) без авеле ция дополнительного члена 0е(р) яр ц нулевых и рсл1~ачальиых значениях или беэ его изменения ври ненулевых прелначал ьн их значенияхх.
В связ~ ~ с этим 6-фуикция иногда пазы внстся также груяхцией вачьльлыхзпичепий. В дальнейшем изложении цод црсобрааоваиисм Лапласа будет цоциматься именно этот случай (и < 0). Зная изображение искомой величины Х(р) в виде (7 33) или (7 35), можпо найти оригинал х(г). Это и будет решением исходного дифференциального уравнения (7.32). Для отыска ци я оригинала х(г) во его изображению Х(р) мож>н~ пользоваться таолипами изображений и сушсствующими теоремами, в частности теоремой раэложе. 2. 11реобразоваиие Лапласа по начальным значениям слева. Если в формуле (7,34) цижпий предел интегрирования стремится к нулю, оставаясь отрицательным (и < 0), то в выражении для изображения производной (7.26) следует браз ь пачальиыс значения при г - -О, т. е.
лля момента врсмсцц, который булст непосредственно цредшествовать ьюмситу цриложсиия воздействия. Такие иачальцыс значения называются также предцачальяььни В этом случае (.У'"'(г)1= р" Цр) рь-'/(-0) — ... -/'". и(-0) 180 Непрерывные линейные системы автоматического управления ния, которая устанавливает слелуюшсе. Если изображение Лапласа имеет вид отно- шения двух многочлеиов х(Р) = ха(р)' (7.36) то при отсутствии нулевых корней знаменателя к(,) ~ Х~(рв)еяр к г Ха(рв) (7.37) х(р) х1 (Р) РХз(Р) (7З8) Тогда оригинал может быть найден по формуле х,(о) х,(р,) хз(о) тм р,х.;(р,) (7.39) Аналогичным образом теорема разложения моукет бьггь записана и для преобразовании Карсопа-Хсвпсайда, Так, например, если изображение искомой величины может быть представлено в виде отношения двух полпномов чт(р) Х(Р) х,(р) Хз(р) (7АО) то при отсутствии нулевых и кратных корней знаменателя оригинал будет опреде- ляться выражением х(г) = — + ~~к еш, х,(о) " х,(р,) х,(0) ,, р,х;(р„) (7.41) Это выражение полностью совпадает с формулой (7З9), так как изображения Лапласа (7,38) и Карсона — Хсвисайда (7.40) отличаются на множптель р.
Использование изображений часто называют также операшорпыммептодом, хотя в действительности операторному методу, разработанному Хевисайлом, оказывается полностью аналогичным использование только преобразований Карсона-Хсвисайда (7.21) и (7,22). Метод использования изображений обладает тем преимушеством, что в пем полностью сохраиястся лишь одна операция — вычисление корней характеристического уравнения (знаменателя изображения). Что касастся определения произвольных постоянных интегрирования, то зта операция отпадает, потому что начальпыс значсния автоматически учитьтвакттстг в процессе решения с самого начала (при нахожде- где рь — некратные корни знаменателя (7.36), Если знаменатель изображения Лапласа (7.36) имеет нулевой корень (ро 0), то изображение надо представить в виде П>ава 7.
Построение кривой переходного процесса 181 х(р) = х,(р) х,(р) (7.42) то оригинал выражается формулой х(г) = ~т>(т)хз(г -т)с(т, о (7АЗ) где т представляет собой вспомогатсльпое время ицтсгрировапия, В частности, пусть лля некоторой системы с церслаточпой функцией И'(р) известив реакция иа елипичпую импульсиую функцию 6(г) Ф 1, прсдставлякпцую собой функцию веса и связанную с И>(р) преобразованием Лапласа И'(р) = )>о(Г)е г'Й.
о Если ца вход этой системы поступает некоторая функция времеви Яг), изображение которой Г(р), то изображение выходной величины будет Х(р) = Иг(р) Г(р). '1огда >руикция времени иа выходе может быть найдена по иитсгралу свертывавия (7.43): г с х(г) = ~>в(т)Я вЂ” т) >>т= ~7(т) ю(г — т) г(т. (7А4) о о Если входная фупкпия определена только для положительного врсмспи (прцк>гадывается иа вход в момент врсмспи > = 0), то функция Дà — т) отлична от пуля только при т < г. В этом слу >ае верхний прслсл интеграла в формуле (7А4) лижет быть замеиси иа бесконечность и опа приобретает вид х(г ) = ~ м(т) Яг — т) г>'т. о (7 А 4') 5 7.5. Использование вычислительных машин За послслпсе время для исследования систем автоматичсского управления и, в частности, для построепия цсреходпых пропсссов стали широко применяться вычислцтельпыс ма>пивы непрерывного действия и цифровые вычислитсльпыс машины.
Удобство первых заклк>чается в том, что физическому процессу, протекающему в исследуемой системе, соотвстствует протекание в вычислительной машине (мололи) некоторого лругого «аналогового» процесса, описываемого теми жс дифферсп- иии изображения искомой величины).! 1озтому этот могол оказывается удобным и его часто применяют в задачах теории управления. Практически важпой для отыскания оригинала рсшсппя является ешс теорема сверть>вопия. Оиа гласит следуюшсс. Если изображепие представляет собой произ- ведение 182 Непрерывные линейные системы автоматического упрашеиив циалыпями уравнениями, что и исходный процесс.
Это позволя<"т изучать процессы в системах унравлспця наиболее наглядно, так как каждый обобщенной координате в нсслелусмой сцстсме соответствует некоторая переменная в вычислительной ма- |нине, например злектрич<скос напряжение. Моделирукнцис или аналоговые вычислительныс машины позволяют модели- ровать как всю систему в целом, так и отдельные ее части. Так, например, часто вы- числительная машина используется для моделирования объекта, например самоле- та, корабля, паровой турбины, двигателя внутреннего сгорания и т. и,, а само управ- ляюп|сс устройство может быть реальным.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
