Бесекерский (950612), страница 34
Текст из файла (страница 34)
В качестве типовых используются воза>уща>ов>ие воздействия в вндс сянничной ступенчатой фун>сцни7'(г) 1(!) и в вцле единичной импульсной функц>н> >'(г) =- Ь(г). Эти типовые возмущения изображены на рнс. 7.1. Вхолная функция мерного типа часто встреча> тся в системах авгома>ч>чсского регулирования и прслставляет собой внезапный скачок возмущающего возлействня на некоторую постоянную величину, нанример увеличение тока нагрузки генсра>ора, увеличение момента нагрузки двигателя и т. и. Реакция системы ва такое возлсйствие, построенная лля управляемой величины нли для оп>нбки.
отличающихся только знакамн (т(с) - -у(г)), црелставляст собой переходнук> функцию системы л >я данного возму>пения, Входная функция второго типа также встречается в системах автоматического улравления в виде кратковременного улара нагрузки, например при коротком замь>- канин электрического генератора, которое орекращаетгя через нсболыной промежуток врсмепи системой защиты (плавкие нрелохраннтелн, макснмальныс автоматы я Глава 7. Построение кривой переходного процесса 167 т.
п.), при кратковременном возрастании момента нагрузки двигателя и т, д. Реакция системы на воздействие этого типа представляет ес функцию веса. В следящих системах лля построения переходного процесса могут приниматься типовые задающие воздействия (риг 7.2) в вилс единичной ступенчатой функции я(г) = 1(() нл и в виде возле йствпя, измспякнцсгося по линейному закону д(г) = - иг 1(г).
Бозлсйствис первого типа соотвстствуст, например, в слсдян!их системах воспроизведения угла быстрому повороту командной оги на некоторый угол. Реакция системы у(Г) на такое задающее воздействие прелставляет собой ее переходпу[о функцию Лля залающего возпсйствия. Воздействие второго типа является характерным для следящих систем воспроизведения угла, кой!а командная ось внезапно начинает двигаться с постоянной скоростью. Возможно изучение повеления системы управления и в том случае, когда входное возлсйствне представляет собой пе детерминированную (опрслелспную), а случайную функцию времени.!)тот вопрос булст раш мотреп в главе 11.
Вторая трудность — пспрнппнпиальпого характера — заключается в том, что обычно системы описываются дифференциальными уравнениями сравнительно высокого порядка. Это усложняет практические расчеты; потому для облегчения залачи построения кривой переходного процесса во многих случаях приходится применять вычислительные устройства непрерывного действия и цифровые вычислительные машины. ,Чля сложных автоматических систем в настоящее время этим методам отдастся прелпочтсние.
Важно отмстить, что прн использовании вычислительных машин часто можно обходиться без составления дифференциальных уравнений тех звеньев автоматической систем ьп лля которых имеются действующие макеты. Тогда лля остал ьпой части звеньев набираются их дифференциальные уравнения на вычислительной машине, к которой подклк>чаются нмсюп!исси лсйствукнцнс макеты. Это свойство можно использовать для испытания и нас гройки систем в лабораторных условиях. Ниже будут рассмотрены наиболее распространенные методы построения кривой переходного процесса.
К пим относятся метод непосредственного реп!синя линейных дифференциальных уравнений, или так называемый классичсскнй метод, исцолыювапие преобразований Фурье, У!апласа и Карсопа-Хсвисайда, и использование вычислительных машин. В дальнейшем изложении будем рассматривать построение персхолного процесса для ошибки х(г).
Однако методика остае гся единой и для других случаев построения переходного процесса, например для отыскания у(г) прн д(Г) и О. ! 88 Непрерывные линейные системы автоматического управления 9 7.2. Непосредственное решение исходного дифФеренциального уравнения Пусть система автоматического управления описывается линейным дифференциальным уравнением с правой частью (аор и,р' <+ ...-и„,рэ и„)х(с) =-(Ь„р + Ь<р + ...
+ Ь„))(с), (7А) Для отыскания н<ишого решения этого уравпсш <я нсобхолимо найти част«ое или вьшужлснное решение уравнения с правой частью х„(с) и онрелелить корни характсристи <еского уравнения и<р" + и<р" ' + ... + а„<р + и„= О. Как указывалось вы<не, полное решенно будет иметь вид х(с) = х„(с) < С<е»к +Сэеги< +... +С„е»"', (7.5) Дальнейшим и<агом является отыскание произвольных постоянных интегрирования Сн ..., С„. Для атой пели иснользу<отел пачальныс значения: при с -0 х(0) = ха, х(0)=хе, ..., х<в 0(0) =хе<" '~.
Начальныезцачс«ил наклалываютсянаоснованиифизических соображений или нахолятся из дифференциального уравнения (7А). Дифференцируя уравнение (7.5) цо времени и — ! Раз и используя начальные значения, получают и алгебраических уравнений, куда входят и неизвестных постояннь<х интегрирования, Совместное решение этих уравнений ласт возможность оцрсяслить искомые ностоянныс интсгрировшшя Сн ..., С„. Операции вычисления корней и совместного решения алгебраических уравнений являются трудоемкими.
Это особенно относится ко второй операции, так как вычисление корней может быть слслано довольно быстро прн ломов!и стандартных программ лля цифровых вычислительных машин. В связи с этим использование этого мстояа построения кривой лсрсхолного процесса ограничивается случаем сравнительно невысокого порядка дифференциального уравнения, обычно нс выше третьего. Расчеты получаются более простыми в том случае, когда правая часть (7.4) равна пулю, т. е. имеется одноролнос лиф<!>ерсцциальцое уравнение. Тогда частное рсшспис равно нулю н полное решение (7.5) приобретает оолее простой вид: х(С) = С,е»" +С,е»с +...+С„е»"<.
(7.0) В этом случае переходный нроцесс опрсясляется только вилок< корней и начальными значениями, В табл. 7 ! лля этого случая приведены формулы лля получаюшегося переходного процесса нри различных степенях Лиффсрспциального уравнения л (от ! ло 3) и корнях различного вила.
В таблице приняты следу<ошие обозначения: <хн ав <хз — абсол к<тные значспи я веще< тасиных некратн ы х кор ней; т и ) — абсолютныс значения веществснн<н! и мнимой частей комплексного корня; ха — начальное значение исследуемой координаты; хе — начальное значение скорости изменения исслсдуслшй координаты; хс — начал вы<те значение ускорения.
Глава 7. Построение кривой переходного процесса 169 Таблица д! Вещественные корни Каыкасксные карнн х=хое -ая х = А,е""' + Аге" а" х=(ВсозЛгеСмпЛг)е к агхо +хо А1 = а,-а, В=хо а,х +х' Аг а,— аг у о+хо Л х — А е аз сА а~з+А е аи х=Ае "" с(ВсоаЛт+СзпзЛС)е т' (у — а,) +Л игазхо + (аз + аз )хо + хо (аг — а,)(аз — а,) а,аз то+(а1+ из)хо+хо' '(г = (а, — г)(аз — ) и~(а~ 27)хо+2)ио (у — а )г+Л' С а ~~'— ':~-'',~а Л1(у-и )г+Л'! (а," — уг+Лг)х„'+(а, -у)х,", сс,ссгхо+(а, сиг)хо'+хо' Аз = (а, -аз)(аг -из) у[(у-а,) су ) (7.7) х( ) = хтс„= Ь,ха„1. Это устаповивп|ееся значение прелставляст собой частное или вынуждснззос Решение неоднородного уравнения (7А), т.
е. ха(г) = те, 5 7.3. Сведение неоднородного уравнения к однородному Ддя типового входного воздействия вида единичной ступенчатой функции решение нсолпоролного уравнения (7А) может быть сведено к рсшснюо уравнения без правой части переходом к другой переменной. Примем, что /(с) = 1(с), причем слинипа имеет размерность псрсмснтнзй, стоящей в правой части (7А) Тогда установившееся значение переменной х ори г — о можно найти из (7А), положив вес произволные равными пулю: 170 Непрерывные линейные системы автоматического управления Ввслем новую переменнук> 2(г) = х(г) — хи(г) - х(е) — х.„. (7.8) Решение цеодпородш>го уравцения (7Л) лля г(г) может быть записано в виде г(Г) = х(Г) — хти, — С>ег>( ->С, е""!' Я...е Сии'"', (7.9) что подобно решеии>о тица (7.6).
Этому рсшеник> соответствует исходное диффе- рснциальцое уравцспис без правой части (и 1(и- !) а(> еа,, ~.„->вил =О. 1 и 7 (и-!) (7,10) ио= ко -' го — хв (и.!) (и-0 зо = ко х>и ' После нахождения рсн(сиия для цереыеццо>1 г по формуле (7.8) можно легко всриуться к исходной переменной х смс>цснием решения на величину х„„, Однако зги рассужлспия пока справсяли вы Лля случая, когда стсцсиь операторного и погочлеца в правой части (7А) равна нулю (гл = 0) и дифференциальное уравиепис (7А) имеет вил Это ироисхолит потому что, вообще говоря, необходимо различать начальиые значения, которыесущсствовали в сисгемсло приложещш возмушепия, т, е. при времени г = -О, и непосрсдствсшю сразу после его приложения, т.
е. при времени г = ч О. Остаповимся па этом вопросе более полробнп в случае приложения возмущения типа ступенчатой функции. Для простоты расчетов для времени г - -0 иочти вссгла принимают пулевые начальные зпачеиия, т. е. х е = О, х о = О, х в = 0 и т. л.
В дал ьнсйп)см ноя нулевьы(и яичальныяи зничеянями булсм понимать ииспцо ати равенства. Началы>ыс значения, которь(с Г>удут иметь место непосредственно после приложения ступенчатой функции, т. е. ири г - + 0 (обозначим их х с = О, х,'з = О, х,'д = 0 и т. л.), можно определить из исходного дифференциального уравнения (7.4). Ие останавливаясь ца доказательстве, приведем коцо'цц~>с результаты.
Для первых и — л> начальных значений имеют место равенства Х„>кк ), х,е — — х е, (7.11) (и-и-!) (и — е-!) хс =ко Таким образом, для самой коордицаты и первых (и — я> — 1) производиых иулсвыс начальные значения сохраняются и после приложения ступенчатой функции. Из уравнения (7.8) нетрудно оцределить связь между начальными значеицями для нсхолпой цсремеияой х и новой переменной упри г = 0; Глава 7.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
