Бесекерский (950612), страница 31
Текст из файла (страница 31)
Другими примерами мо> ут служить система авт<>- магического лозирования какого-либо вещества, псрсмещаслц>го с помощью ленточного транспортера (т — время движения лен.гы на определенном участке), а также система управления толщиной прокатываемого металла, где т означает время движения металла от валков до измерителя толщины. В двух последних ~ ~римерах величина т называется транспортным запаздыза> шем. В первом нриб>л ижсиии онрсдслсп вой величиной запаздывания т могут бьггь охара~ггсризоваиы трубоироводы или длипиыс электрические линии, входя>пис в звсиья системы. Величину заиаздывапия т в звене можно определить экспсримситалыю путем снятия временной характеристики. Паиример, сели»ри подаче па вход звена скачком некоторой величины, принимаемой за единицу, на выхоЛе получается зкснсримептальная кривая для хэ показаниая иа рис.
6.22, б, то можно приближенно описать это звено как аиериодичсское звено первого порядка с запазд>яваиием (661), взяв величины т, Ти >> с экспериментальной кривой (рис, 6.22. 6). Заметим также, что такая жс экспериментальная кривая согласно графику рис. 6.22, в может трактоваться и как врсмепиая характеристика обыкновенного аисрподичсского звена второго ~>орядка с уравнением (7:, рз+Т>р+1)т, =(Т>р+1)(т,р+1). =Ь>, (6В4) иричсм То Тз и >г можно вычислить из соотношений, записаиных в 5 4.5 для дацко>о звена, по некоторым замерам на экспериментальной кривой или другими способами. >1так, с точки зрения врсмсиной характеристики реальное звено, приближсипо оиисывасмос уравнением первого порядка с запаздывакнцим аргументом (631), часто может быть с такой же стсисиью цриближсния описано обыкновенным линг>>е- 150 Непрерывные линейные системы автоматического управления В соотвстстнии с формулой теоремы запазль<нання для изображений функций но Лапласу лля элемента чистого зацаздь>ванин получасы передаточную функцию в виде Ь"(р) =- е '".
(6.35) -и и'(р) = - = ~! + — р (1 ебТРУ' (6.36) Если М вЂ” >, то в нрсдслс получаем И(р) - е "'. Уже при у = 8-.10 передаточная функция (6 36) мало отличается от иере!таточ ной функции звена с зацаздыван исм (6.35). Уравнение лк>оого линейного звена с запаздыванием (6.33) будем теперь записывать в виде Цр)ха = В(р) е <"хн (6.37) 11ерсдаточная функция линейного звена с запаздыванием будет " (Р) - " - т>с(Р)е В(Р) -тс ое С(1>) ' (6.38) где через И'с(р) обозначена передаточная <1>ункгтня соответствующего обыкновенного звена оез запаздывания, Частотная псрслаточная фупкння получается из (6.38) подстановкой р -у<о: М'()<о) = 1><ьЯ<о) е >' = Ас(с>) е>1ч<>< "> 'м1, (6.39) где.4с(<о) и >1>е(а>) — модуль и фаза частотной псрсла> очной функции звена без запазлынанця.
Заметим, что в некоторых случаях наличис большого числа малых постояв>ых времени в системе управления можно учесть в виде цостояшюго зацазлывания, равного сумме этих ностоянных времени. Действительно, пусть сии> ема содержит Мпослсдоватсльно включенных ацсрнодичсских звеньев нсрвоп> порядка с ко;><рф>т><испт том передачи, равным единице, и величин<>й каждой постоянной времени г> < = —,.
Тогда рсзул ьтнрук>шая передаточная функция будет Глава 6. Критерии устойчивости 151 Для устойчивости системы необходимо и достаточцо, чтобы все корни трансцендентного характеристичепсого уравнения (6АО) имели отрицательцыс не>цестнсппыс части. По н отличие от обыкновенного алгебраическом> уравнения здесь нслсдствпс наличия ъшожитсля е те уравнение может иметь бесконечное количество корцсй. К указанным системам приме>гим кри серий устойчивости Пайквиста в сто прежней форму:шронкс (см. главу 6).
Однако здесь вследствие наличия множителя е '"' существенно изменяется очертание амплитудно-фазоной характср исти ки разом киутой цсци, построенной цо частотной цсрелаточцой с1>уикш>и )>'( со)= ~ е ' ' 00то)"' (6А1) цричем размыкание системы производится по опреде;сенному правилу, которое дастся ниже. Как следствие, лля устойчивости линейных систем первого и второго порядка с запаздыванием, окж>ь>настся, уже недостаточно только положительности козффи>сиецтон, а для систем третьего и более высокого порядка с запаздыванием неприменимы критерии устойчивости Выпи>огра>>ского, Рауса и Гурвица. Нижс будет рассмотрено определение устойчивости только цо критсрик> Найк- виста, так как его использование лля этой ясли оказывается цаиболес простым Отсюла получаем слелуктссс правило Для цостросиия амплитугцк>-фазоной характеристики любого звена с запаздынаиием цужцо взять характериствсу соответствующего обьцсцонеииого звена и каждую ее точку сдвинуть влоль окружности цо часовой стрелке иа угол тю, где ц>— значение частоты колебаний н данной точке характеристики (рис.
6.23, а). Так как н цачалс амплитудно-фазоной характеристики со = О, а в конце ц» =, .о начальная точка остастся без измецепия, а конец характеристики асимцтотически цанинастся иа начало координат (если степень операторного мцогочлсца В мецыпс, чем мцогочлеиа С). Вьш>с говорилось о том, что реальные церехолпыс процессы (врсмеппыс характеристики) вида рис. 6.22, б часто могут быть с одииаконой стсцсиыо цриближспия описаны как уравнением (6.31), так и (6.34). Лмплитудцо-фж>оные характеристики для уравнений (6.31) и (6.3Л) показаны ца рис. 6.23, а и 6 соответственно.
Прицципцалып>с отли шс псрной состоит н тол>, что оиа имеет точку 0 пересечения с оськ> Г 5 При сравцс»ни обеих характеристик межлу собой и с зксцсримецтальцой амплитудно-фазоной характеристикой реального звена надо принимать но впцмацис цс только форму кривой, ио и характер распределения отметок частот о> вдоль цсс. Для систем автоматического управления, ихн>ющих в числе своих звеньев олцо знсцо с запаздынацисм, нсе вынслсииые в главе 5 общие формулы для уравнений и передаточных функций оста>отея н силе, сели н цих подстанить з»ачсция передаточных функций н ниде (6.38). Тогда цередаточцая функция разомкнутой системы с запазлынацисм будет такой же, как (6.38), цо теперь й>с>(р) — передаточная функция разомкнутой системы без запаздывания.
Хара>стеристичсс кое уравнение замкнутой систсмь>, как показано н гл. 5, имеет нил е>(р) = С(р) ч В(р) е ч' = О. (6АО) 152 Непрерывные линейные системы автоматического управления Построение амплитудно-фазовой характеристики и исслеловапис устойчивости по критерию Найкниста лучше всего произнолить, сели передаточная функция разомкнутой системы представлена в виде (6.38) Для получения этого необходимо произвести соотвстствук>щим образом размыкание системы. Для случая, изображенного ца рис. 6.24, и, размыкание можно слслать в любом месте главной цепи, например так, как это показано.
Тогда псрсдаточпая функция разомкнутой системы будет И'г(р) И'(р) =- И',(р) е жИ'~(р), "И'>АР (Р) что совпалает по форме с (Г>А1). Для случая, изображенного на рис. Г>.24, б, размыкание главпой цепи дает выражение передаточной функции разомкнутой системы, пеулобиое для дальпсйших исследований: И>(Р) И (р) г(Р) И'г(Р) 1+ И!г(р)И'з(р) е >" В этом случае улобнсе разомкнуть систему но цени местной обратной связи.
Тогда передаточная функция рааомкиутой системы приобретает вид, совпадал>щий с (6.41): И(р)= %'(Р) 1е%(р)И>(р)И',(Р) Наконец, в случае, изображенном па рис. 6.24, е, при раэмыкании системы в указаином месте получаем выражспие, также совпалающсс с (6А1): И;(,) >1> (,) ->и «(Р) >(Р) 1+ И>(Р)И>(Р)йг(р) Частотную передаточную функцию (6А1) можно представить в виде (6А2) И'Ое>) = И'„()го) е '"'". Кроме того, И> ( то) — 1 ( ) >>>о(е> (6А3) где Ае(с>) — модуль и у>е(ы) — фаза (аргумспт) системы без запаздывания. Модуль второго сомножителя (6.43) равен единппс, а е>.о аргумент рдвсн гх>у = а>т.
Поэтому, представив выражение (6А1) в ниде Иг( 'е>) = Л(а>) е>чО 1 Глава 6. Критерии устойчивости 153 получаем значение молуля результирующей ча- стотной пере>гаточной функции )И'(7>о)( = А(о>) = А (е>) (6,>4) и фазы >у(ш) = >Ко(о>) — о>т. (6,45) «Таким образом, наличие звена с запаздыванием пс меняет модуля и вносит только дополнительный фазовый сдвиг, На рис. 6.25 изображена амплитудно-фазояая характеристика, соответствующая (6АЗ).
Сплошной линией показана исходиая характеристика при т - О, а пунктиром — характеристика, которая получается при наличии постоянного запазлывания ты О. Из этих характеристик видно, что наличие лополцительпого фазового сдвига щ о>т «закручивает» годограф, особенно в высокочастотной части, но часовой стрелке. Это, вообще говоря, ухулшает условия устойчивости, так как вся кривая приближается к точке ( — 1,70). Иногда в осоГ>ых случаях цри сложной 4к>рмс годографа Иго(уо>), введение постоянного запазлывания может улучшить условия устойчивости. По имеющемуся годографу Иго()то) можно определить критичсскос зпаченис времени запаздывания т = т„„при котором система оказывается на границе колебательнойй устойчивости. ДлЯ этой Пели па годогРафс ИГо(>а>) отыскиваетсЯ точка, длЯ котоРой модУль Равсн сли~ицс (рис. 6.25).
Частоту, соотвстству>ошую этой точке, обозначим гоп а фазу— >у>, При введении постоянного запазлывапия т = тве условие совпадения этой точки с точкой ( — 1,70) запишется следующим образом: у>> - ш,т«„--п, откуда критическое значение запаздывания и+ >р, т«л = ш> (6.46) К И'л(уш) = 1+ УшТ (6А7) Если полобных «опасцыхь точек булст пссколько, то необходимо слелать расчеты для всех точек и взять паименыпсс значение т„„. Заметим, что частота о» равна частоте среза л.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
