Бесекерский (950612), страница 26
Текст из файла (страница 26)
Критерии устойчивости 127 этом снижается предельное значение общего коэффициента усиления А, при котором система еще остается устойчивой. В качестве еще одного примера рассмотрим один из каналов системы угловой стабилизации ракеты, структурная схема которого изображена на рис. 6.5. Отклонение угла рыскания Ч~ (управляемой величины) от его заданного (программного) значения д„измеряется датчиком угла (нотенциометрическим, индукционным илн др.), установленным на гиростабилизированной платформе. Передаточная функция датчика (7, И',(Р) = — ' = 7й . 2цу Для формирования алгоритма управления дополнительно устанавливается датчи» угловой скорости (ДУС).
Напряжение па его выходе пропорционально производной от отклонения. Передаточная функция ДУС в идеальном случае и, туг(Р) = — = ттгР Щ В усилительно-преобразовательном устройстве напряжения и~ и иг суммируются: и1 нг (7т! ~гР)М. Таким образом, в данной системе осуществляется управление по отклонению б»т и производной от отклонения (см. З 2.2). Передаточная функция усилительно-преобразовательного устройства (7 11з(Р) = — = ~г + Игр= йг(7;Р +1), мачт где Т, = 1тг,%ь Усиленное ло необходимого уровня (усилитель на схеме не показан) напряжение и подается па рулевой привод. Его передаточная функция б в И (Р)= — = э (7 Тгр+1' гле б — угол отклонения управляю|них органов ракеты. Передаточная функция управляемого объекта (ракеты) по управляющему возлействню в простсй1пем случае может быть, например, такой: 0(Р) = г г о — б Тгрг 1 Псрелаточная функция объекта по возмущению ~у ~т'(Р) г г Р Т„'Р'-1' Корни характеристического уравнения объекта Т Р -1=6 г г Р,, -+1,гТо.
128 Непрерывные линейные системы авгоматичесяога управления Наличие положительиого корня Р, - ч.1/Тя свидетельствует о том, что сам объект неустойчив, пли, как говорят, ста|ичсски неустойчив. Ои ведет ссбя подобно шару па рис. 6.1, 6, Иными словами, прп малейшем отклопсиип, вызванном, иапримср, возмущаюигим воздействием, стартуюп1ая вертикально ракста без системы автоматического управления опрокилывастс я. Псредато шая1!г)шкция разомкпутой спстсмы раева произвслсцию псрсдаточиых функций, вхог!я~них в контур от точки размыкаиия ло точки размыкапия (см.
рпс. Гьб): !! (Р) = )(з(Р))!ч(Р)!!о(Р) =, г К(7;Р~1) В(Р) (Тзрч.1)(ТагР'-1) Г(Р)' где К =- Ег, ага, — коаффиписпт передачи разомкнутой системы. Передаточная функпия !)гг(р) в указанный контур пс входит. В характеристическом иолппомс разомкиутой системы С(Р) б.шголаря обт скту также имеется цоложитсльиый кореш, Р, - -~1гг7ы т. с. разомкнутая система неустойчива. Характсрпстичсскос уравцсцис замкнутой системы можно получить, приравняв иулкг сумму полииолшв числитечя и зиамсиатсля передаточной фуикцпи разомкнутой системы: О(Р) = В(Р)+ С(Р) = Т~тТтрз ~~Ра ~()гТ, — Т; ) Р ' К вЂ” ! = О. Коэффициенты аг — — 7а Тг и и, =Т1 всегда положи гольцы.
Положительность ко"г" эффиписгггоя аг-КТ, Тг и аз= К- 1 обссцечивасггя, соли КТ, > Тг, К> 1. Это и ость исобходимыс условия устойчивости, 7(ггя системы трс гьсго порядка должцо выполняться дополпитсльиос условие и,ат > ааа;, которое сволптся к неравенству Т, > Тг.'! аким образом, иеобходимыми цдостато шыми условиями устойчивости замкнутой системы будут; КТ,>Т' К>1; Т,>7е Первое из иих при выполиепии двух лругих всспаа вьшолпястся. Слслуст обратить внимание ца то, что если бы уиравлсиис осупюствлялось только по отклонению (Кг = О),то Т, = О,акозффициептиг - — Т, < О. Вэтом случасзамкиугаясистема была бы исустойчивой ири лгггбых значениях К, Тт и Тм г. е.
являлась бы структургго яеустойчивой. 1(рп К = 1 и КТ, > 7г система находится иа аисрподичгской границе устойчивости, а ири 7', 7: и К > 1 — ца колебательной гранило. 5 6.3. Построение областей устойчивости. Р-разбиение При расчете и проектировании системы автоматического управлсиия шюгла бывает иеобхолимы и исследовать влияние ее различных параметров па устойчивость. г(ля решения атой задачи служит построеиис областей устойчивости, т. е.
опрслслсцпе таких оГгластсй зиачсппй параметров, цри которых система оказывается усто!пгиво(к Различают постросшю областей устойчивости в плоскости опп ого параметра и в плоскости лвух параметров, Ниже будет рассматриваться только построение облас- Глава 6. Критерии устойчивости 12с той устойчивости в плоскости двух параметров. Для постросш>я таких областей ис плоскости лвух параметров Л н В необходимо нанести л инни, соотвстствуюпшс тра. опце устойчивости. Тогда область, ограниченная этими линиями, будет представлять собой область устойчивости.
Для того чтобы окон'>атсльцо убедиться в агом необходимо для:побой точки,.>ежашей внутри полученной области, по какому-лпбс критерию проверить устойчивост>. Если устойчивость для отой точки будет нмстс место, то она будет выполняться п для всех других точек, лежащих в втой области. Для построения границ области устойчивости используются все трн признак" суп>ествусощнх типов границы устойчивости. Для границы устойчивости перво> с типа зто будет равенство а„= О. Для границы устойчивости третьего типа — раве»- ство ао = О. Для получения условия, соответствукпцсп> гран ицс устойчивости второ> о типа (колсбатслыюй), можно исш>льзовать различные критерии устойчивости.
Для систем, описываемых уравпс>шем нс" вы>пс четвертою> порядка, может прп. меняться критсрий Гурвпца. В атом случае колебательной грщпще устойчивости соответствует равенство нулю предпоследнего определителя Гурвица: с>„> = О. Для уравнений высокого порядка условия, соответствующие колебательной гра. нице устойчивости, могут быть получены следу>ощнм образом. Рассмотрим отдельно левую часть характеристического уравнения (6.9), которая прслставляет собой характеристический полипом замкнутой системы: 0(Р) - аоои ч- а>1>" ' —: ., ч- а„,Р ь а„. 0(тю) = 1 ь И'(!со) - Х(о>) ну'У(со) = О.
(6. 16) Предположим, что два рассматриваемых параметра снсгемы управле>шя А и Ь' входят линейно в характеристический ксжшлекс, Тогда для границы устойчивости колебательного типа уравнение 0(1со, А, В) = О рас падается на два уравнения: Х(со, А, В) = О;~ У(со, А, В) =О.) (6.17) Два последних выражспия про сстапляют собой параметрические уравнения границыы устойчивости при соблюдении дополнительно> о условия отрицательности вспсественных частей всех остальных корней, кроме чисто мнимых. Полная же совокупность всех кривых ца плоскости параметров, разбивающая вен> плоскость на области с определенным Распределением корней, называется 0-разбиением плоскости параметров. Обы >по практическое значение имеет лишь часть кривых В-разбиения, соответствующая гран н це устойчивости.
Для уп Род>синя выделения гран>ш области устойчивости из всего комплекса кривых 0-разбиения на сщоскости двух параметров вводится штриховка зтпх кривых. производимая по правилу, которое будет приведено без доказательства. 1!еремсща- Если система находится па колебательной границе усы>йчивости, то, как быгп. показано вылив, дпа корня згого полинома попадакп пз ощ мнимых: р,д - ч.)со, где о> — угловая,>астота колебаний, соответствующая чисто мппмому корню. Тогда характеристический ко.иысскс 130 Непрерывные линейные системы автоматического управления ясь вдоль кривой в сторону увеличения сх па;го щтрихова гь ес с левой стороны, если будет положительным определитель, составленный из частных производных (6.17): ЭХ дХ дА ЭВ ЭУ д (6. 18) ЭА ЭВ Если же определитель отрицателен, то кривую надо штриховать справа, ! !ри соблюдении этого правила штриховка булет направлена внутрь области устойчивости, если параметр А отложен цо осн абсцисс вправо, а параметр  — по оси ординат вверх.
В качестве иллюстрации рассмотрим следящую систему, схема которой изображена на рис. 6.4. Для этой системы было получено характеристическое уравнение Т„Тира + ( Т„+ 7'„)р~ + р + К = О. Предположим, что электромеханическая постоянная времени двигателя Т„является заданной величиной н требуется построить область устойчивости в плоскости двух параметров: общего коэффициспта усиления /г и постоянной времени усилителя Т, Характеристический комплекс 7)(то) - К ч-.гго — гов (Тг ч Т„) — )ю~Т„Ты. Уравнсггия, опрсделяюцгис границу устойчивости, Х= К-го'(Т е Т,;) 0; у-ст-гозТ,.Тч О.
Решая их совместно относительно параметров К и Т, получим Т = —; К= — +Ты. 1, 1 2 7;, 7'„, По полученным данным строим кривую 0-разбиения (рис. 6.6). Кривая имеет 1 гиперболический вид с асимцтотами К= — при го = 0 н 7;. - 0 при ат-ч Т„ Лля ианссспия штриховки найдем знак определителя (6.18). Нсобходимыс для этого ч асти ыс производи ыс будут при А - К н В - 7': к дХ дХ в — =1; —,=-ю; ЭК ЭТч дг з — =0; — =-го Т„. ЭК дТг Определитель получается равным 1 -от 2 3 т =-го Т . 0 -оэ Т„ Глава 6. Критерии устойчивости 131 Пр>ь изменении частоты в пределах от О ло определитель будет отрипательным. Поэтому нри движснии по полученной кривой сверху вниз (от О ло ) необхолимо штриховать область, лсжап>у>о справа от кривой.
Область устойчивости практически уже сформировалась. Так как параметры К и 7' должны быть положительными, область устойчивости будст ограничиваться полученной кривой и положитсльдыми направлениями осей К и Т . Это можно показать и на основс непользования лвухоставп>нхся условий устончивости.
Граница устойчивости первого типа будет получена, еслн приравнять пулю своболный член, а„= О, что дает условие К = О. Это условие выполняется на оси орл>гнат. Гранина устойчивости третьего типа получается прн ае - О, что дает условно'~,, - О, Это условие выполня- ется на оси абсцисс, Таким образом, область устойчивости в плоскости параметров К и 7;, получена окончательно. Для лк>бых значений К и Т можно сразу ответить, устойчива нли»с- устойчива система, смотря но тому, попадает или нс попадает точка, онрепслясмая этими значениями параметров, в область устойчивости. Лля системы угловой стабилизации, структурная схема которой изображена па рнс. 6.5, область устойчивости црслставлена на рис.
6.7. 9 6.4. Критерий устойчивости Найквиста В 1932 голу Найквист предложил принципиально новь>й критерий устойчивости. В отличие от критерия Гурвица, который устанавливает принадлежность корней клевой цолуплоскости лля любого полинома или алгебраического уравнения, критерий Найквиста предназначен лля исследования устойчивости только замкнутых систем. Критерий Найквиста — это графоаналитичсский критерий. Характерно>)сто особенностью является то, что вывод об устойчивости или неустойчивости замкнутой системы делается в зависимости от випа амплитудно-фазовой (а.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
