Бесекерский (950612), страница 25
Текст из файла (страница 25)
Это значит, что при положительности всех коэффициентов систем амолсео< быгаь устойчивой, но нс исключается возлюжность ес неустойчивости. Окончательный вывод можно сделать применив, например, критерий 1урвица (см. в 6.2). Если же не всс коэффициенты положительны, то система наверняка не может быть устойчивой и никаких дополнительных ь<сслсдовю<ий не трсбуе< ся.
Необходимость ноложитслы<ости всех коэффнниептов характеристического уравнения системы любого порядка устанавливает критерий Гурвина. Для систем первого и второго порядков необходимое условие является и достаточным, в чем нетрудно убелиться прямым «ахождением корней уравнспия. Исследование устойчивости любой системы всегда полезно начинать с проверки выполнения необходимого условия.
В качестве иллюстранни рассмо грим три и римера. Система второго порядка, характеристическое уравнение которой Т<'р'+йТ р+й-)=0, всегда устойчива при <г > 1. Система третьего порядка, характеристическое уравнение которой Т< Тр" +Тзр +ЯТв-Тт)р+Й вЂ” 1=0, может быть устойчивой, если в > 1, )<Т< > Тэ Система, характеристическое уравнение которой Т,Тзр" ч (,Т, ТДрз+р'+)<=О, стРУктУРно неУстойчива, так как коэффициент аз - 0 и не может стать положительным ни нри каких значениях нарамстрон, )(ля обсспсчення устойчивости такой системы необходимо изменить ее структуру, например, за счст введения корректирукк<пих звеньев (см. гл. 10), что приведет к изменению характеристического уравнения. Глава б.
Критерии устойчинссти 123 9 6.2. Критерий устойчивости Гурвица ал1 аз ~ аз.'; ... О ае а2~ ал! ... О О а, аз1 ... О О ... О (6.11) О О О ... а„, О О О О ... а„2 а„ Эта таблица составляется следующим образом. По диагонали от левого верхнего до праного нижнего углов выписьлваются все коэффициенты по порядку от а, до а„. Каждая строка дополняется коэффициентами с нарастающими инлексами слева направо так, чтобы чередовались строки с нечетными и четными инлексами, В случае отсутствия данного коэффициента, а также если индекс его меньше нуля пли больше н, на месте его пишется нуль. Критерий устойчивости сводится к тому, что при ае > О должны быть больше нуля нсе и определителей Гурвица, получаемых из квадратной матрицы коэффициентов.
Определители Гурвица составяются по следующему правилу (см. (6.11)): лтл =а, >О; (6.12) а, аз 222 = >О; ао ан (6.13) а, аз аз (6.14) ае а2 ал >О; О ал аз Задача отыскания критерия устойчивости лля систем, описываемых дифференциальными уравнениями любого порядка, была сформулирована Максвеллом в 1868 году. Эта задача была впервые решена в алгебраической форме Раусом в 1873 году для уравнений четвертой и пятой степени и н 1877 году — полностью.
Поскольку критерий Рауса дан н форме алгоритма, определяющего последовательность математических операций, необходимых для решения задачи, использование его в практике является неудобным. Поэтому большее распространение получил алгебраический критерий устойчивости, сформулированный в 1895 году математиком А. Гурвицем. Этот критерий был найден Гурвицем по просьбе словацкого профессора Стодолы, заниманшегося исследонанием процесса регулирования турбин. Ниже критерий Гурвипа приводится без доказательства.
Для характеристического ураннения (6.9) составим квадратную матрицу (таблипту) коэффициентов, содержащую и строк и п столбцов: 124 Непрерывные линейные системы автоматнчесьюгс управления Последний определитель включает в себя всю матрицу. Но так как в цослсл~ем столбце матрицы нее элементы, кроме пцжисго, равны пулю, то последний определитель 1урви па выражается через предпоследний слслующим образом; (6.15) Для атого уравнения критерий Гурвица ласт ао > О, Ь< - а<< > О. т.
с. ковффициеиты характеристического уравнения лолжцы бьп.ь положительными. 2.Уравнение второго порядка аор о а р <- а, = О, Для этого уравнения критерий Гурв<гца требует ао>0; Ь< -а< >О. Послсл<шй онрслслитсль, как отх<ечат<юь выше, снолится к условшо положительностии цослслисго ко:>ффицисита; ад > О. Таким образом, и лля уравнения второго поряд<<а неоохолцмым ц достаточным условием устойчивости является положительность всех коэффициентов характеристического уравнения. З.Уравнение .<ре.<ьсго порядка аор' ь а,р ни,р ь а, -- О.
д д г(г<я зтого уравнения получаем условия 1а< ад Ьз =~ ' =а,ад аоад >О. 1ао иг ао>0; б< =а, >О; 1рстий (послслций) опрслслитсль лд ласт условие ид > О. Условие гьз > 0 при ио > О, а, > 0 и ид > 0 может выполняться только> цри иг > О. Следовательно, лля уравнения третьего порялка уже недостаточно положительности всех коаффициецтов характеристического уравнения. Требуется сше выполнение оцрслелспиого соотношения между ковффициецтами; а,аг > аои<. Однако и устойчивой сььстсь<е ирслиослслиий оцрелелитель тоже должен быть положительным.
Позтому условие положительности цослелисго определителя свалится к условик> а„> О, т. с. к положительности свободного члена характсристичсс<,ого уравнения. Условия иахожлсцця системы на границе устойчивости можно полу ц<ть, приравнивая иулк> последний оцрелсли гелос Ь„" О, при положительности всех остальных определителей. Ко<с сг<елуст из (6.15),:>то условие расцаластся на лва условия: а„= 0 и <д„< = О.
Первое условие соответствует границе устойчивости первого типа (ацериолическая граница устойчивости) и второе — границе устойчивости второго типа (колебатсльная граница устойчивости). Раскрывая овраг<с>и<тели, фи< урирующие в обшей формулировке критерия устойчивости 1урвица, можно получь<ть в виде ча<'тиых случаев критерии устойчивости лля системы первого, второго, третьего, четвертого и более высоких цорялков. 1.Уравнение первого порялка аор а, -О. Глава 6. Критерии устойчивости 125 4.
У р а в и с и и с ч с т в с р т о г о порядка а„р ' алр' л- аар л- азр л- и„ = О. л. з г На основании критерия Гурвица можно получить, что лая уравнения четвертого порядка, кроме положительности всех коэффициентов, требуется выполнение условия и, (а лиг — иэа л) — ал аг > О.
5.Уравцецис пятого порядка иаэз ~а гйл — «гдз л- иадг л «„Р ~ аз = О. Для уравнения пятого порядка, кроме положительности всех коэффициентов, должцы выпал пяться сщс два условия: и,иг — азиз > О; (а~«г — аэа,) («зал - огиз) — («,а,, — ас«з) > О. г Как вилцо, уже Лля уравнспия пятой степени условия устойчивости ио крллтсрию 1урвица получаются достаточно громо цки ми. Поэтому использование этого критерия практически ограцичивастся уравнениями четвертого порядка. Существенным недостатком критерия! чрвица является также то, что для уравэеиий высоких порядков в лучилсм случае можно полуяви ответ о том, устойчива или неустойчива система автоматического управления 1!рн этом в случае цеуггойчивости системы критсрпй нс дает ответа на то, каким ооразом надо цзмсиллть параметры системьь чтобы сдсл пь ее устойчивой.
Это обстоятельство привело к поискам других критериев, которые были бы более удобными э ццгкслгсрноГл ц)гактикс. Для иллюстрации применения критерия Гурии па рал смотрим пример иа онредл— ление устойчивости дистанционной следящей системы. Прииципцальиая и струкгуриая схемы изображсцы на рис, 6.4. В качестве чувствитс.н ного элемелгта использованы лва ссльсица (СД и СП), вклкилснные цо трансформаторной схеме. Передаточная функция сел ьсииов равна коэффициенту передачи схемы: глс д = д, — дг - ошибка, равная разности углов поворота командной и исполнительной осей. Передаточная функция усилителя; )1 2 (р) из (гг и~ 1л-Т,р где Йг — коэффииисцт усиления и ҄— постоянная времени усилителя.
Персдаточ лая функция двигателя (Д): дд йл йгз(р) = — = ил р(1 ь Т„р) 1З Непрерывные линейные системы автоматического управления ~Р л11 где lтз ~ ~ — коэффициент нсрслачи две атсля по скорости, а ҄— алек~ ромеханна ~Н,с1 чсская постоянная времени двигателя совместно с окопе шахт каскадом усилителя, Передаточная функция редуктора (Р) равна его коэффициснту передачи, определяемому передатояньци отношецисьт: 112 рг() 2 Од Так как цепь унравлеция состоит из включенных последовательно звеньев, то передаточная функция разомкнутой цепи будет равна нротгзветтению передаточных функций отдельных звсгн св: К (Р) )К(Р)((2(Р) 3(Р)~~4(Р) р(1 ~- Т,, р) (1 + Т» р) ~1~1 гце К = утфтугзйь ~ ~ — общий коэффициент усиления разомкнутой цепи.
Характеристическое уравнение: 1+ Нг(р) = О. Пос:к;д подстановки й'(р) получасы 7'„Тт рз + (7' ь Тч)рт + р и К = О. В данном случае характеристическое уравнение имеет третий порядок. Нетрудно видеть, что условие цоложителытости всех коэффициентов выполняется всегда, если выполнено условие К> О, что будет при правильном согласовангии направления вращения двиньтсля со знаком рассогласования. дополнительное условие а,а2 > аоаз, накладываемое на коэффициенты характеристического уравнения, сводится цри цодстановкс значений коэффициентов (ао = ТТ„; а, - Тт ь 7;;, аа = 1 и аз = К), к неравенству 1 1 Кс— Т 7; которос н является условием устойчивости рассматриваемой системы. Из этого неравенства, в частности, можно заметить, что увеличение кажлой постоянной времени сказывается отрицательно на устойчивости системы, так как нри Глава 6.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
