Бесекерский (950612), страница 28
Текст из файла (страница 28)
При А(Й) = 1 замкнутая система находится иа колебательной грана(е устойчивости, а Й вЂ” зто частота незатухающих колсбаиий, >и>зиикаюших в с>ютемс (см, рис. 6.2, г). Фаза >р(о>), как вид> ю из выражения (6 22), зависит от значений постоянных времеви. Величииа модуля, кроме того, пропорциоцальиа коэффициенту передачи разомкиутой системы К В гл. 7 булет показа>к>, что увсличсиие К благоириятио влияет иа точность системы. Однако одиоврсмеино увеличивается и модуль Л(Й). При некотором критическом зпачсиии К = К„р замкпутая система нападает иа колсбатсльиую грапицу устойчивости, а ири К > К оиа становится неустойчивой. кг В случае, изображенном иа рис.
6.11, с, замкнутая система устойчива ири сколь угодно большом значении коэффициента передачи разомкнутой системы. Олпако практически всегда существуют псучтеииые в передаточной фуикции (6.22) малые постоянные времспи, из-за чего реальная а ф. х. разомкнугой системы будет такой, как показано пунктиром, а л(й>) замкнутая система стапст кри- л((>г) гичиой к увеличению К.
> На рис. 6.12 изображен л(г>э) более сложный случай, когда ! замкпутая система может а () стагь неустойчивой как при 1 2 ()з 0 >э-.ээ о>=0 увеличении, 'гак и при уменьшениии коэффициента передачии разомкнутой системы. 1!ри Л(Йз) < 1, Л(Й2) ) 1 замкнутая система устойчива, При увсличсиииКоиа станет неустойчивой, если Л(Йз) > 1, а Рис. 6.12 при уменьшении К вЂ” соли Глава 6.
Критерии устойчивости 137 А(ьа>) < 1, А(ь)>) > 1. Если жс А(>1>) < 1, то замкнутая система вновь станет устойчивой, Следует отмстить, что если разомкнутая система устойчива, то устойчив н сам управляемый объект, так как его характеристический полипом Се(р) согласно (5.13) входит в состав полипома С(р). Поэтому система автоматического управления созластся не для обеспечения устойчивости объекта, а лля придания системе свойств, отличающихся от свойств объекта, например, для повышения точности поддержания управляемой величины (температуры, лавлшшя и т.
п.) на заланном уровне прп наличии возмущений, Од»ако если алгоритм управления и параметры управлякнцсго устройства выбраны неправильно, то система автоматического управления может стать неустойчивой. Впервые такая ситуапия возникла с>пе в ХЪ'П! в. при создании регуляторов скорости вращения вш>ов паровых машин (см. рпс. 1.12). И сра.>у жс, как отмечено в в 6.2, появилась необходимость в разработке критериев устойчивости. Снимем теперь первое ограничение па корпи характеристического пол и пома разомкнутой системы С(р). Будем полагать, чж> в нем кроме корней с отри нательными ве>пествсннымп частями есть пулевые корпи, т. е, в выражении (6.22) >.е О При наличии олного пулевого корпя (> = 1) в знаменателе (6,23) появится сом пожитсль|со, молуль которого равен е>, а фаза равна —.
В результате па частоте ш = 0 модуль частотной перслаточпой фупкпин ра:юмкпутой системы (6.23) Л(0) =, а и фаза >!>(0) = —, т. с, амплптулпо-фазовая характеристика разомкнутой системы бу- 2. дст иметь разрыв пспрерыв> юсти (рис. 6.13, а).
Для получения определенности в холе а. ф. х. заменим пулевой корень р,:" 0 бесконечно малым всщсствсшьым отрппатсльпым корнем р, = — а. Тогда вмсстоуш получим сомпожитсльуо е а, модуль которого ш А (ш) =; да + ша при ь> = 0 стрел>ится к нулю, а фаза >!>> (е>) = агстй — изменяется от ! 2 я нуля при и> = 0 ло —, при е» вЂ” О, Прп атом модуль (6,23) А(0) булет стремиться к 2 бесконечности, а фаза будет изменяться от нуля ло— 2 133 Непрерывные линейные системы автоматического управления Таким образом, а. ф, х.
рааомкнутой системы при г - 1 (см. рис. 6.13, а) дополнится по иагоеой стрелке четоерть>о окрузккости с радиусов К> — >, начало которой нахолится ца вещественной оси, и разрыв непрерывности будет устранен. Крох>с того, так как нулевой корень аал>енен вещественным отрицательным корнем, то разомкнутую систему можно считать устойчивой. Все это означает, что лля исследования устойчивости замкнутой системы можно применять приведенную выше формулировку критерия г!айквиста. При наличии лвух нулевых корней (г = 2) на частоте о> = 0 модуль частотной передаточной функции (6.23) г1(0) -, а фаза >!>(0) = -л.
Аналогичными рассуждениями можно нокааать, что в этом случас а. ф, х. разомкнутой системы следует дополнить по часовой стрелке полуокружпостью с радиусом у э (рис. 6.13, 6). л В общем случае при любом > дополнение цроизволится на угол — г —,. 2 Знаменатель передаточной функции рааомкнутой системы (6.22) может иметь и чисто мннмыс корни. Пусть, например, г= О, но имеется пара мнимых корней, что соответствует налц гню в цолиноме С(р) сомножителя '! ~р~+1 В атом случае (см. 1 табл. 6.1) на частоте о>= молуль И'()со) равен бесконечности, а фаза скачком измеТз нястся на — я. Для устранения неонрелс»енностн можно, как и я нрелылун1их случаях, отнести мнимые корни к левой нолуплоскости, заменив указанный яьпцс сомножитель на Тз р + 2сг>Тзр+1, глеб — бесконечно малая положительная величина. Тога ла разрыв устранится за счет дополнения а.
ф. х. полуокружностью бесконечно болыного радиуса цо часовой стрелке так, как показано ца рис. 6.14. В случае рис. 6.!лц а замкнутая система устойчива, если А(Я) < 1, так как црн этом условии а. ф. х. разомкнутой системы нс охватывает точку ( — 1;)0), н неустойчива, если Л(Я) > 1. В случае рнс. 6,14, 6 замкнутая система неустойчива. В качсствс иллюстрирую>цсго примера рассмотрим следящую систему, структурная схема которой изображена на рис. 6А. Для этой системы была получена передаточная функция разомкнутой системы )у(р) = К р(1+ Т„р)(1 + Т„р) Глава 6.
Критерии устойчивости 139 Модуль частотной перелаточ ной функпии разомкнутой системы (см. табл. 6.1) А(<о) =~йг(у<е)~ = и фаза п <в(Т +Т„) вг(<в) = — — агс(й<вТ< — агсгд<оТ„, = — — асс<8 2 2 1- Тт, и При <о = 0 модуль А(0) =, а фаза ч<(0) = —,. По морс увсличспия <о фаза изме- и 8и нястся от —, до — при <а - . Это означает, что а.
ф, х, разомкнутой системы рас- 2 2 полагается в трстьем и втором квадратах комплексной плоскости. Модуль с увеличением <е уме<1ьв<ается и при <в = ~ становится равным пуд<о. Таким образом, с учетом дополнения четвертью окружности и радиусом 7? — ь а. ф, х, выглядит так, как показано на рнс. 6.13, а. Частоту 11, на которой фаза Чг(й) = — и, найдем из условия ьа(Т„+Т ) и 'ж 1 аз? Т, 2 откуда Подставив это значение в выражение для модуля, получим: КТь Т„ А(ьа) = Тт +Т„ Заь<кпутая система устойчива, если А(ь<) ( 1, Таким образом, условие устойчивости замкнутой система< 1 1 К< — +— Тт 7;, совпадает с найденным ранее условием, вытекающим из критерия Гурвипа.
Обратимся теперь к более общему случаю, когда знаменатель передаточной фупкнии разомкнутой системы содержит корпи, лежангис в правой полуплоскости. Это соответствует неустойчивой в ра;икки<путом состоянии системе. Появление неустойчивости разомкнутой системы может вызываться двумя при. чипами. Во первых, зто может 6ьггь следствием наличия пеус! ойч иных звеньев, подобных рассмотренным в 6 4.8, в том числе и неустойчивости самого управляемого 140 Непрерывные линейные системы автоматического управления объекта. Во-вторых, это может быть следствием потери устойчивости звеньев, охваченных положитсльшеми пли отрицатс;и ными обратными связями (см., например, рис.
5г!). Налично неустойчивости системы в разомкнутом состояшкн нс означает, чзо система булст неустойчивой в замкнутом состоянии. Она может быть как устойчивой, так н неустойчивой. Однако форму.шровка критерия устойчивости Найквиста црп этом несколько меняется. Пусть знаменатель передаточной функции разомкнутой системы (0.22) солержит ! корней в правой полуплоскости и и — ! корней .— в левой. Тогла при изменении частоты от 0 гн> лля устойчивости в замкнутом состоянии системы результирукнций угол поворота годографа вектора Иг(птэ) относительно точки ( — 1,70) должен составить !!! = Лг1 — Лгз = и — (и — !) — -! — =! 2 ! 2 21 т. е.
амцлнтулпо-фазовая характеристика должна охватить точку (-1,70) столько раз, сколько корней в правой полуплогкости солсржцт знаменатель передаточной функции разомкнутой системы. Иными словами, в самом обц!ем случае для устойчивости замкнутой системы псобхолнмо и достаточно, чтобы амплитудно-фазовая характеристика разомкнутой системы при изиспсп ин частоты от 0 до» охватывала гпочку (- 1, /О) иа угол 7л против часовой стрелки. ! ! рпведсц раисе формулировка критерияя Пайквиста для случая, котла ! - О, вытекает ото~ода как частный случай, Таким образом, црн использовании критсрия Найквиста необходимо проверить, имстотся ли в знал спэтсле передаточной функции разомкнутой системы корпи, лежащие в правой полунлоскости, п сколько имеется таких корней.
Если в системе яме~отея мсстныс обратпыс связи, например, такого типа, как зто изображено ца рис. 5.6, то необходимо убедиться в том, что по цепи местной обратной связи пс нарушена устойчивость при разомкнутой главной обратной связи. Проверка устойчивости по цепи местной обратной связи может быть слелапа посредством использования лккбых критериев устойчивости, в том числе и посрслством критерия Найквиста, который может применяться для разомкнутой местной обратной связи обычным путем построения лля этой цели амплитудно-фазовой характеристики. В случае, если лля местной обратной связи булет получено указание па ее неустойчивостьь, необхолимо определить число корней, лсжап!их в правой полуплоскости. Слслует заметить, что, хотя теоретически вся система в замкнутом состоянии может быть устойчивой при наличии неустойчивости по цепи местной обратной связи, практически такой случай является нежелательным и сто надо избегать, стремясь использовать только устойчивые мсгтныс обратные связи.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
