Бесекерский (950612), страница 40
Текст из файла (страница 40)
в том случае, когла передаточная функция разомкнутой системы может быть представлена в внле 196 Непрерывные линейные системы автоматического управления 1> 1+ )Р(1>) (8.9) хуст >. то Второе слагаемое (8,9), как и рапсс, даст статическую ошибку.
Первое слагаемое (8.9) нмсст смьи:л только при астатизмс второп> порядка, когла передаточная функция разомкнутой системы может быть прсдставлс»а в виде К,(1+l>,т >Р+...+1>г>Р"') в Р (1'"гт>-зР+ - ьсоР ) где К, = К вЂ” коэффициент передачи разомкнутой спс>смы, называемый добротпос гьк> по ускорению, Тогда выражс>шс (8.9) приводится к виду в хуст +тест з> +хст' Первое слагаемое (8.10) представляет собой добавочную ошибку от постоянного ускорения, Как и в предыдущем случас, качество системы может быпгь оценено величиной добротности по ускорспн>о К; = в>тх .
(8.11) Этот типовой режим используется только для систем с астатизмом второго порядка, главным образом следящих систем, 4. Движение по гармоническому (синусоидальному) закону. Такой режим использустся весьма часто, так как он позволяет наиболее полно оцепить динамические свойства системы управления. Задающее воздсйствис принимается изменяющимся но закону (8.12) К(т).=Ь>тт,ля>п ы>» В зависимости от конкретного вида системы возмуптающис воздействия в рассматриваемом режиме могут оставаться постояпнымп нли меня>ься, Случай постоянства возмуша>ощих воздействий приводит, как и в рассмотренных вьппс типовых режимах, к появлепик> некоторой постоянной ошибки хм, 3. Движение с постоянным ускорением.
В качество трстьсн> типового режима используется режим установившегося движения системы г постоянным ускорением в = сопзк В этом случас залакнпсс воздействие мснястс:я по закону 8(г) = вт",>2. Возмущающие воздействия принимак>тся постояш>ымн, как и во втором типовом режиме. Этот режим имеет смысл только в слсдяптпх системах и системах программного управления. Лна:н>гнчпо изложенному выше, установившееся значенис ошибки в этом режиме может быть найдено из выражения Глава 8.
Оценгл глчества управления 197 Более вероятным является случай, когда возмущающие воздействия нрн лвижсыни системы в этом режиме меня к>тся во времени. Это объясняется тем, что ыри движении ло гармоническому закону непрерывно будет меняться направление движения системы. а следовательно, одноврсмен<н> будет меняться направление действуя>щих в системс сил сухого трения. Этот случай является довольно сложным, и он может рассматриваться только в приложении к конкретным системам.
Рассмотрим ошибку, онрсдслясму>о только первым слагаемым выражения (5.19): Ю 1>1 (р) (8.13) Точность системы в этом режиме может быть оценена ыо амылитулс о<нибки, которая может быть найдена нз (8.13) на ос<к>ванин символического метода подстановкой р = )с>~.' я 8<,<их )1>11<Цсоь) (8.15) '!ак ка<с «р< л полагается, что амплитуда он < ыбки значительно мснынс амплитуды входного воздействия: х„„„« я„, „, то, следовательно, модуль знаменателя (8.15) значительно больше единицы. Это позволяет с б<>лысой точностью выражение (8.15) заменить приближенным н <У йм» йп<.о )'й>(уш<,) А(о>>) (8.16) где Л(е>>) — модуль частотной передаточной функции разомкнутой системы нрн о> = о>>.
Последняя формула позволяет легко вьы<ислять амплитуду ошибки в устал<>вившемся режиме. <!><я этого необходимо располагать либо аналитическим выражением Лля передаточной функциы разомкнутой системы, лиГ>о иметь экспериментально снятую амплитудно-фазовук> частотну>о характеристику разомкнутой системы. Формула (8.16) широко используется также нрн расчете систсмь< методом логарифмических амплитудных частотных характеристик (л.
а. х.). В этом случае модуль А(со>) в децибелах, т. с. 1(о>>) - 20 !8 А(с>>), равен ординатс л. а. х, нрн частоте ы = ы> (рис. 8.2, а). Простота выражения (8.16) позволяет легко решить обратыу<о задачу, т.с. сформулнрова> ь тре- В линеаризова<щой снстел<с нри гарм<выноском залшощем воздействии (8.12) оны<бка в установивв>сь«я режиме буд< т также меняться но гармоническому закону г частотой ыр к - х„, „эщ (<о>< -ь >н) (8.14) 198 Непрерывные линейные системы автоматического управления ь(а>») — 20 18 Л(с>») - 20 !8 8ч,м,ух,„,„. (8,17) Это значение молуля необходимо отложить на логарифмической ссткс прн частоте управляющего воздействия ш ы».
Полученная точка А» (рис. 8.2, 6) обычно называется контрольной точкой для л. а. х. Для того чтобы амплитуда ошибки в системс цс превосходила допустимого значения х„ч.„, л. а. х. должна прохолнть не >гиясе контрольной точки Ал. Если л. а. х, пройдет через зту точку, то амплитуда ошибки будет как раз равна допустимому значению. Если л. а.
х. пройдет ннжс точки А», то ошибка будст больше допустимого значения. 5 8.3. КоэФфициенты ошибок Рассматриваемый метод может примсцяться как для задагогцсго 8(г), так и для возмущающего г(г) возлсйствий. Нс снижая общности рассуждений, рассмотрим случай, когда имеется только задающее возлействие. Если функция времени йг(Г) имеет произвольную форму, но достаточно плавную вдали от начальной точки процесса в том смысле, что через некоторое время существенное значение имеет только конечное число тл производных 18 ~РД туг',у~2 "' Жт ' то ошибку системы можно определить слелуюшим образом. Из формулы (5.19) можно найти изображение ошибки Х(р) = Э,.(р)С(р) = С(р) 1+)(г(р) (8.18) где г»>,.(р) — передаточная функция замкнутой системы по ошибке, С(р) изображение задающего воздействггя.
Разложим передаточную функциго по ошибке в вьгра>ксггии (8.18) в рял но возрастающим степеням колшлсксной величины р; Х(р)= се+с,р+ — р + — р' +... С(р), сг г сг з 2! 3! (8.19) схоляцгийся при малых значениях р, т. с. нри достаточно болыних значениях време- ни г, что соответствует установившемуся процессу изменения управляемой вели чи- ны при заданной форме задающего воздействия. бования к л. а. х., которые необходимо выполнить, чтобы амплитуда оцгибки в ус.гановивнгсмся режиме была нс больше заданной. Лля этого необходимо ио заданному зггачснию амплитуды задакнцсго воздействия 8„...„>г допустимой амплитуде ошибки х,,„вычислнть требуемое значение модуля частотной передаточной функции разомкнутой системы в децибелах: Глава 8. Оценка качества управления 199 Переходя в выражении (8.19) к оригиналу, получаем формулу для установившейся ошибки х „=сея(г)+с,— +=' (я(г) с., (тя(г) гй 2! г(ге (8.20) Величины сэ, сэ сэ ...
называются коэффициеитгьни ошибок. Они могут определяться согласно общему правилу разложения функции в ряд Тейлора по формулам =[Ф,.( )1; с,= "' р; ...; с„,= Так как передаточная функция по ошибке представляет собой дробно-рациональную функцию, то коэффициенты ошибок можно более просто получить делением числителя на знаменатель и сравнением получающегося ряда с выражением (8.19). Коэффициент сэ может быть отличным от нуля только в статических системах и то только в тех случаях, когда нс принимаются меры по устранению первой составляющей статической ошибки посредством масштабирования илн использования неелиничных обратных связей (см.
9 9,3). В системах с астатизмом первого порядка сэ = О, а коэффициент с, связан с добротностью по скорости соотношением с, = 1/К,, В системах с астатизмом второго порядка сэ = 0 н с1=0, а коэффициент ст связан с добротностью по ускорению соотношением с г 2 = 1(((е (8.22) и'(р) = р(1+ Т, р)(1 + Т1 р) При исследовании ошибки от возмущающего воздействия можно получить асе коэффициенты нс равными нулю при астатизме любого порядка, так как астатизму по задающему воздействию может соответствовать наличие статической ошибки по возмущению.
Если задающее воздействие я(г) имеет ограниченное число производных, то ряд (8.20) будет иметь ограниченное число членов. Предположение, что коэффициенты ошибок представляют собой постоянные числа, обусловливает применение этого метода для сравнительно медленно меняющихся входных воздействий 8(г) или Лг), когда можно пренебречь влиянием переходной составляющей процесса и рассматривать только вынужденное движение системы. П р и м е р. Определим первые три козффиписнта ошибки по зэлаю1цему воздействию, если передаточная функция разомкнутой системы имеет вид 200 Непрерывные линейные системы автоматического управления Передаточная функция по онгнбке 1 1,Тзр' +(Т, +Тт)р~+ р Ф,(р)— 1 )У(р) Тт,рз,(Т;,Тз)рз.,.К ' Деля числитель на знаменатель, получаем ряЛ 1 Т1 +Та 1 з, Т~ +Те 1 Ф„(р)= — ре ' — — р + ТТз-2 + — р' +... Сравнение этого ряда с (8.19) даст 1 са Т, +Т, 1 сз '21Тз Т, +Тз 1 со = 0; с1 - -—, — —— К ' 2 К Ка' 6 К К2 Кз так, например, если задающее воздействие н этой системе меняется по закону ст' о(г) =оо ч пег+ 2 то установившаяся ошибка булст На основании изложенного вьппе можно сделать вывод, что ненулевые составляющиес ошибки как от задакт щего, так и от возму сдающих возле йстн ий (кроме ошибки чувствительного элемента х„) но всех типовьгх режимах можно уменьшить за счстувеличения коэффициента передачи разомкнутой системы К.
Однако, как было показано в гл. 6, в большинстве случаев цри увсличснци К замкнутая система приближается к колебательной границе устойчивости, т. е. уменьшается ее запас устойчивости. При некотором значении К> К„„замкнутая система становится неустойчивой. 5 8.4. Определение запаса устойчивости и быстродействия по переходной характеристике Оценку запаса устойчивости и быстродействия можно произвссти по виду кривой переходного процесса в системе автоматического управления при некотором типовом входном возлсйствпи, которым может быть как залающсс, так и нозмуптающее воздействие.
В качестве типового входного воздействия рассматривается обычно единичный скачок. В этом случае кривая переходного процесса для управляемой величины будт т представлять собой переходную характеристику системы (рис. 8 3), Опа может строиться лля величины у(г) или для ошибки х(г). Глава 8. Оценка качества управления 201 Склонность системы к колебшшям, а следовательно, и запас устойчивости могут быть охарактеризованы максимальным значением управляемой величины у„,.„или так называемым перерегулировиссиезс где сс( ) Ф 0 представляет гобой установившееся значссшс управляемой величины восле завершения псрехоЛиого процесса.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
