Бесекерский (950612), страница 44
Текст из файла (страница 44)
В том случае, когда лг = п, формула (8.61) заменяется следующей: 1= ~л ЫС= г (Впдд+Вд~-А, ~ ч-...+Вглг'»ВЬ,)- " .",, (865) и„-» и.-з а„-г — и и.ч -а» в и„э и»-л 216 Непрерывные линейные системы автоматического управления где В;, =(,г каг "-~ п»о 2 а .,-г ".-г ' = г — '-г — '-г -2~ — "-~-~-~ — '-з — '-з+2 ~ о — '-4 (866) к=ь( —," — ") .
Г!ри поступлении на вход системы слгшичного иъщульса 8(г) - 1'(г), изображение которого по Лапласу равно 1, изображение управляемой величины можно также представить в вилс дробно-рациональной функпии (8 60). Раз пипа будет заключаться только в том, что степень числителя т возрастает па единицу, а последний коэффициент чпслитсля 6,„ = О. Это обусловлено тем, что получение реакции системы па единичный импульс (весовой функции) эквивалентно дифференцированию переходной функции, получающейся цри действии единичного скачка, В области изображений это эквивалентно умпожсщпо па комплексную величину р. В связи с этим квадратичную интегральную оценку при лсйствин единичного импульса можно рассматривать в впле выражения г'= Ггег(г)г(г= (1т(г)1ггуг, о о (8.67) глс ы(г) — весовая функция системы по задающему или возмущающему возлсйствию, х(Г) — отклонение управляемой величины от нового установивгпсгося состояния в переходном процессе при действии единичной ступеньки задающего или возмущающего возпействия.
Таким образом, тсхника вычисления оцспкн г' полностью совпадает с вычислениемм оценки! по формуле (8.61) или (8.65), Совпаласт при этом и значение опрелелителя Ь (8.62). Отличаться в вычислениях будут определители ос, ..., о„п козф- Глава 6. Оценка качества управления 217 фипиентыВс,,В или Ве, ..., В'„, чтообусловлсноповьинснисмстспени я>ввыражсиии (8,60) на единицу при вычислении 1' по сравнению со случаем вычисления 1. Интегральная оценка 1' также может использоваться в безразмерном виде аналогично формуле (8.57): (8.68) 1 .
а 1 ')ха(г)хг = — ~~Х(1то)~ г1ш= — яХ(7тв)) г7о>, т. е. интегрирование квадрата функции но времени в пределах от нуля до бссконс >- ности можно заменить интегрированием квадрата модуля изображения Фурье этой функции по всем частотам. Прн нахождении интегральной оценки 1, соответствуя>- шей реакции системы на входное зада>ошее воздействие типа 1(г), изображение Фурье исследуемого отклонения х(г) = у( ) — р(г) будет Ф(0) — Ф( усе) уш где Ф(1гв) — частотная передаточная функция замкнутой системы. Тогда 1 г!Ф(0)-Ф(уш)~ о>е> (8.69) „3 В астатическнх системах и статических системах с исслииичной обратной связью или с масштабированием (см, 9 9,3) установившееся значение у ( ) = 1 и Ф (О) - 1.
Тогда формула (8.69) будет иметь вид 1 ~! Фх(1)о)! "о (8.70) где Ф;(до) - 1 — Ф(1ге) — частотная переда>з>чная функция замкнутой системы по ошибке. Лн алогичным образом для входного задающего воздействия тина един ич ион> и и~ульса 8(г), изображение которого равно 1, изобра>кение Фурье исследуемого откло- Интегральные оценки 1и 1' (или выражения квадратичных динамических ошибок) применяются для выбора структуры и параметров систем автоматического управления.
При этом наилучшими параметрами считаются такие, при которых величина 1 или 1' имеет минимальное значение. Вычисление квадратичных интегральных оценок 1 и 1' можно также производить на основании так назь>ваелзой формулы Рслея, которая будет доказана ниже, в главе 11. Здесь она будет приведена без доказательства. Если Х(1тв) есть изображение Фурье функции времени х(г), то существует зависимость, опредсляемая теоремой Парссваля 218 Непрерывные линейные системы автоматического управления нсния х(т) -. — у(г) равно частотной передаточной фупкпии замкнутой системы: Х(~ю) = Ф(тв) 1.
В резугп тате получаем Г = — ~ ) Ф( Гтв) )~г7ш 1 "с (8.71) 7„= ~(хе+Т х )гх, (8,72) о где Т вЂ” некоторая постоянная времени Выясним, какой вид переходного процесса будет получаться при выборе параметров системы по минимуму улучшенной интегральной оценки (8.72). Для этого проделаем слсдуюшис преобразования; 7, = ((»+7»)'щ- ~27»»,71 = г(»+ т )зйг тх' с = т»сз ~ ((»+7»)',(г, о о с о гле»с — начальное значение отклонения в псрсходнолт процессе. Подобные выражения могут быть получены и для входного возмущаюшсго воздействия, если вместо частотной передаточной функпин Ф(пе) использовать передаточную функцию по возмущающему воздействию Фл Отв), Педостатком интегральных оценок является то, что здесь пичем не ограничивается форма кривой переходного процесса.
Оказывается, например, что три совершенно различных но форме процесса, изображенных па рис. 8.15, имеют одно и то жс значение квадратичной интегральной опенки (8.56). Часто оказывается, что выбранные по минимуму этой оценки параметры системы соответствуккт сильно колебательному процессу, ибо отмечавшееся ужс прн этом стремление приблизить процесс к идеальному скачку вызывает большую скорость процесса при подходе к установившемуся значению х = О. Это получается вследствие того, что оценка (8.56) учитывает только величину отклонения и быстроту затухания и никак не учитывает олизость системы к колебательной границе устойчивости.
Если, например, подать на вход системы единичный скачок, то огпибка в переходном процессе определится эапп рихованной частью на рис. 8.16, и. Очсвидпо, что величина интегральной оценки (8.56) будет тем меньше, чем ближе будет кривая переходного процесса к ломаной линии АОВС. Но приближение процесса к этой липин требует увеличения угла наклона кривой в начальной стадии процссса (приближение части кривой 00 к отрезку ОВ). Увеличение жс начальной скорости может вызвать значитсльпос псререгулирование и, следовательно, малый запас устойчивости.
Поэтому применяется сщс другой вид интегральной оценки, в которой ограничение накладывается пе только на величину отклонения х, но также и на скорость отклонения х. Эта улучшенная квадратичная интегральная оценка имеет вид Глава 6. Оценка качества управления 219 Наименьшее значение последнего выражения будет при выполнении условия Тх + х - (Тр + 1) х - О. Это есть дифференциальное уравнение первого порядка, решение которого имеет внд (8.73) х=хое г у = уа (1- е т ) где уо - хо — установившееся отклонение управляемой величины. Этот процесс изображен па рис. 8.16 пунктиром. Следовательно, выбирая параметры системы по минимуму улучшенной интегральной оценки (8.72), можно приблизить переходный процесс к заданной экспоненте (8.73) с постоянной времени 7; которая носит в этом случае название экстрсмали.
Из зтпх соображений можно заранее задаться определенной величиной Т. Выбор параметров системы по улучшенной квадратичной интегральной оценке приводит к менее колебательным процессам по сравнению с использованием обычной квадратичной интегральной оценки (8.56), Методика вычисления интеграла (8.72) сводится к тому, что правая его часп разбивается на лва слагаемых: 1 — Яс+Т ~х г1г о о При входном воздействии тина единичной ступенчатой функции первое слагаемое последнего выражения соответствует интегральной оценке 1, а второе — Т 1 . Поэтому для этого случая получаем 1„=1+ Т 1'. (8.74) Улучшенная интегральная опенка 1„может также применяться в безразмерном виде аналогично (857) и (8.68); ько 1 о = к б,г к (8.75) где Йо — среднегсометрический корень характеристического уравнения, а С вЂ” некоторая величина, имеюгцая размерность у(Г), например статическое отклонение у( ).
Недостатком приведенных расчетных формул для вычисления как 1, так и 1„является их вьгражение через определители, которые трудно бывает раскрывать в буквенном виде при высокой степени характеристического уравнения. В этих случаях 220 Непрерывные линейные системы автоматического управления можно использовать имеюшнеся спепиальпыс приемы числовых расчсгон. Сам определитель о (8.62), как старший определитель Гурвица, согласно 6 6.2 имеет внл Ь = ˄— аз(а,аз — араз) при п= 3, Ь = сь„ = абаз(асаа — араз) — асас~] прин=4, о - Ь„= аз((асар — арах)(аза„— азав) — (а,а„— араз)з] прн п - 5. Несколько сложнее вычисляется только оп рслслитель о, когда первый столбец л (8.62) с одним элементом а„заменяется столбпом (8.63) с лвумя элементами а„., и а„. Вес остальные определители оказываются проще.
здобство интегральных оценок состоит в том, что онн дают слиный числовой критерий качества. 1! едостаткоьс является то, что одному и тому жс зпачснисо интегральной оценки могут отвечать разные формы переходного процесса, что создает пслостаточнусо онредслснностс рсшюшя задачи. В принципе нозможссо иссюльзованне более сложных выражений, чем (8.72), в которые кроме первой производной от отклонения будус входить вторая, третья и т. Л.
производные. Тасс, например, ограничившись прн подаче ступенчатого воздействия а(Г) илн /(Г) отклонением х, первой производной х н второй производной х, получим иптсгральнусо оценку в вилс 1, =](х +Тзх +Т~х~)с)г, р Эта оценка будет характеризовать приближение переходного процесса к экстре- мали, определяемой решенном дифференциального уравнения Т„х+Т, х+х=О, 2- Экстремаль в данном случае будет соответствовать более сложной кривой, чем экспонента, что позволяет точнее задать жс:шсмый виЛ переходного процесса. Однако нахождение интегральных оцсцок вида 1, = 1+ТзТ-; Т~" с', к которым сводится вычисление интеграла (8.76), сопряжено со значительными трудностями, что ограничивает их применение. Определение минимума интегральной оценки. Пусть требуется исхоля из минимума какой-нибудь интегральной опенки, выбрать два каких-нибудь параметра сс н ]) запанпой автоматической системы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
