Бесекерский (950612), страница 46
Текст из файла (страница 46)
Максимальное аначение мого модуля и представляет собой показатель колебательиости (имеется в аиду наиболыний максимум) 226 Непрерывные линейные системы автоматичвсьзго управпения Залаваясь различными значениями М от 1 до, можно построить семейство таких окружностей (рис.8.20). На каждой окружности написано значение ордипаты амплитудной частотной характеристики. При М = 1 окружность вырождается в прямую линию, параллельную оси ординат и проходящую слева от нее на расстоянии 0,5. Прн М вЂ” > окружность вырождается в точку, совпадающую с точкой ( — 1,уО).
Для значений ординат амплитудной характеристики, лежащих в пределах 0 < М < 1, получается семейство окружностей, расположенных справа от линии М - 1, симметрично с первым семейством. При М - 0 окружность вырождается в точкз, совпадающую с началом координат, Для построения амплитудной характеристики (рис. 8.19) достаточно в тех же координатах, где построены окружности М = сопле, нанести амплитудно-фазовую характеристику разомкнутой системы.
Точки пересечения атой характеристики с окружностями будут онредслять точки амплитудной характеристики с соответствующими значениями орли пат, равными М. Для определения показателя колсбательностн можно не строить амплитудную характеристику, так как достаточно знать одно максимальное значение ординаты М ее определяемое по наименьшей окружности М = сопев (М > 1), которой коснется амплитулно-фазовая характеристика. Если при проектировании системы ставится условие, чтобы ее показатель колебательности бгял не болыпс некоторого заданного значения, например М .„„- 1,5, то для выполнения этого необходимо, чтобы амплитудно-фазовая характеристика не заходила в область, ограниченную соответствующей окружностью (рнс.
8.21). Лмплитудно-фазовая характеристика может только коснуться этой окружности. В атом случае показатель колебательностн булет как раз равен заданному значеньпо М„,.„„,. Таким образом, окружность М„„,„ограничивает запретную зону лля амплитудно-фазовой характеристики разомкнутой системы. Эта зона охватываег точку (-1, Ю) и обеспечивает получение заданного запаса устойчивости, Величина показателя колебательностн может быть определена и в случае использования логарифмических частотных характеристик. Для атого отобразим занретнук~ зону (рнс. 8.21) на логарифмическую сетку. Рассмотрим отдельно окружность заданного показателя колсбатсльности (рнс. 8.22). На окружности возьмем произвольную точку В и построим вектор, соединяющий зту точку с нача- Глава 8.
Оценка качества управления 227 лом координат. Установим для этого вектора связь между его модулем Л и запасом по фазе р, Из треугольника ОВО, но теореме косинусов находим Л,С Вз совр = 2ЛС Далее можно найти ГМе~з М и окончательно Л~+С р = агссоз 2ЛС (8.86) Из рис. 8.22 нетрудно видеть, что зависимость (8.86) существует только для модулей, лежащих в пределах М М <Л< М+1 М-1 (8.87) М М В случае, когда Л < — или Л >, запас по фазе может быть любым, так М+1 М-1 как в этом случае конец вектора пе может попасть в запретную зону (рис.
8.22). Задаваясь различными значениями показателя М = сопзц а следовательно, и сопвс (8.84), по выражепи|о (8.86) можно построить графики р " Г(Л), которые носят название р-кривых. Эти графики строятся обычно таким образом, что модуль Л откладывается в децибелах (рис. 8.23). 228 Непрерывные линейные системы автоматического управления Из выражения (8.86) можно найти, в частности, максимальный запас но фазе обычцьгм моголом отыскания максимума: 1 ~/М'-1 р,„= агссоэ — = агссоэ . (8 88) ,г'С М Этот максимум получается, котла модуль А = згС .
Если имеется построенная л, а, х. (рис. 8.24), то цо имеюшимся р-кривым и при занан нем значении М можно достроить требуемое значение запаса по фазе лля каждого значения молуля. Это построение Лолжно делаться для модулей, лежагцих в нрелелах (8.87). В результате булст получена запретная область лля фазовой характеристики. Чтобы показатель колсбатсльности был не болынс заданного значения, фазовая характеристика не лолжна захогттгть в эту область. Нетрудно вилль, что оцрслсленне качествснцого показателя, характсризуюшсго запас устойчивости, леластся здесь одновремеш<о с онрслелением устойчивости, Удобство показателя колсбатсльности определяется также тем, что запас устойчивости характеризуется здесь одним числом, ихтсюпгим для лостаточцо широкого класса систем сравнительно узкие нрсйслы (1,1+1,5), Если в полиноме числителя нерелаточгюй функции разомкнутой системы йг(р) нет корней с гныгожтттсльпой вещественной частью, то возможность получения требуемого запаса устойчиностн замкнутой системы может быть црслварительно установлена неиосредственшт по виду л.
а. х. разомкнутой системы. Такая возьггэктгость существует, если л. а. х. в окреслностях частоты среза отч, (рис. 8.25, а) или вблизи нее (рис. 8.24) имеет аснмптоту с наклоном -20 дБудек (или с нулевым наклоном, ч го встречается гораздо реже), На рис. 8.25, а протяженность эгей асимптоты Ь = оттертое Чем больше Ь, тем болгннс ожидаемый запас устойчивости. Чтобы убедиться в этом, рассмотрим лва предельных случая.
Пусть л. а. х. состоит только нз одной асимптоты с наклоном — 20 дБ/дек (рис. 8.25, 6), что соответствует псрсдато шой фупкцин Н'(р) = Кур. Тогда замкну- Глава 8. Оценка качества управления 229 о>„— рож>напспая частота, соотвстствусощая пшсу а. ч, х,; о>н — частота, соотвстствусощая полосе цропускапия замкнутой системы и определяемая из условия А (со„) = 0,707; со,.
— частота среза, соответствующая условшо А (о>,, ) = 1; со., — эквивалентная полоса пропускапия замкнутой системы, определяемая по выражению о>,= ~( Ф(>со)) Йо, о (8.89) где ~ Ф (тсо)! - А (со) Эссвивалснтная полоса пропускал ия представляет собой основание прямоугольника (рис. 8.19), высога которого равна единице, а площадь равна площади под кривой квадратов модуля ср (>со).
В отличие от показателя колебатсльности, который является некоторой безразмерной характеристикой и лежит в сравнительно узких пределах, приведенные выше характерные частоты, определяющие бь>стродействис системы, имеют размерность н их допустимые значения могут силы>о меняться в зависимости от типа и назначения системы. Здесь наблюдается полная аналогия с критериями качества, основанными на рассмотрении кривых переходного процесса. Допустимос значение персрегузирования и Ж (рис.
8 3) лежит в сравнительно узких пределах для систем самого Различного назначения, а допустимое время псрсходпого процесса г„может меняться от дочей секунды ло нескольких часов н более. Допустимые значения о>, со„, о>, или о>., должны устанавливаться для каждой копкрет>юй системы на основе изуче»ия условий се экс>слуатации. При этом харак- тая система очень хорошо деъпнрнрована, так как запас устойчивости по амплитуде , по фазе р, = 90", а показатель колебатсльностп (см.
Рис, 8.23) М - 1, При наличии дополнительного излома (показано пунктиром на рис. 8.25, о, а также см. рис. 8.24) запас устойчивости умсныпастся, Пусть теперь л. а. х. состоит нз одной асимптоты с наклоном -40 лБулек (риг. 8.25, в), что соответствует передаточной функции Иг(р) = К/р . Нетрудно убе- 2 диться, что в этом случае замкнутая система пахолится па колебателыюй границе устойчивости, а при палишси лополпитсльного излома (показано пунктиром) становится неустойчивой.
Таким образом, если л. а. х. Разомкнутой системы пс имеет асимптоты с па>сюпом — 20 дБ>сдск (или с»улсвым наклоном), то не обеспечивается даже устойчнность замкнутой системы. Более детально связь между запасом устойчивости и протяжеппостьк»> будет рассмотрена в 912.6 Оценка быстродействия может производиться по частотпьсм характеристикам замкнутой н разомкнутой системы.
При рассмотрении замкнутой системы обычно используется амплитудная частотная характеристика (рис. 8.19). Для оценки быстродействия по этой характеристике могут использоваться слсдулицне величины: 230 Непрерывные линейные системы автоматического управления теризовать быстролействие систсмы может как вся совокупность указаннгих выше величин, так и каждая из них в отдельности, При определении быстродействия но частотной передаточной функции В'()та) разомкнутой системы может использоваться частота среза со,„, которая определяется из условия 1пог) 'йт()отгя) - 1 или!. (ы„г) - О.
Эта частота показана, например, на рис 8.2 и 8.2ь Определение частоты среза разомкнутой системы может быть сделано на диаграмме, изображенной на рис. 8.18, цо точке пересечения а. ф, х. с окружностью единичного радиуса, центр которой расположен в начале координат. Резонансная частота замкнутой системы ш„близка к частоте колебаний системы в переходном процессе.
Значение шр может быть приближенно определено по точке а. ф. х. (рис. 8! 8), которая ближе всего расположена к точке (-1,)0), Частота среза шч, во многих случаях близка к рсзонансной частоте системы шк Удобной и наглядной мерой быстродействия системы являстгя такяге частота атк (рис. 8.2), прн которой задающее воздействие вида я = 8,, аш со„.г отрабатывается системой с амплитудой ошибки це б<>лес х„„„.. Хотя приведенные вьнпс частотные критерии запаса устойчивости и быстродействияя могут рассматриваться нсзависимо от свойств системы во временной области, представляется полезным провести некоторос приближеннос сопоставление частотных н временных характеристик.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
