Бесекерский (950612), страница 45
Текст из файла (страница 45)
Указанные два параметра входят в коэффициенты лифферссгциального уравнения системы. Прежде всего по вышеприведенным формулам находится выражение ссютветствующей исстсгральссой оценки. Это выРажение, если вес параметры системы заданы, кроме сс н ]), имеет вид !=1(а,]з). Для определения значенигс а и ]з, соответствующих минимуму А вычисляем частныс производные по сх и ]3 и приравниваем нх нулю. В результате получаем два уравнения: ()(,» 0 ~7(,8) 0 с7а сс']з Глава 8. Оценка качества управления 221 (иоРз + аср'+ агр + аз ) У(Г) = Ьо >У(с) (8.77) тле >!>(Г) — нхолиое задающее или возмущая>&>се воздействие. !! усть входное нозпсй- ствие >!>(с) = 1(г). Тогда изображение по Лапласу управляемой величины будет з Ьо 1 аоР' +а>Р +иврч аз Р Установившееся значенис управляемой величины злссь будет у( ) = С = ЬоУаз.
Вычислим для этого случая иптсгральнусо оценку й Так как и = 3, а и - О, то в соответствии с формулой (8.61) имеем Т 1,зос В~ло 2а>~Ь Далее по выражению (8.62) находим опрслелитсль — а О из ио — и и з аз О О = с>з(и>аз азиз) с двумя неизвестными сс и ~3, Ото>ода и определяются искомыс значения параметров сс и р, Чтобы убедиться в том, что зто лействительпо минимум, а пе максимум, можно вычислить зцачсипс >' при полученных значениях и и !>, а затем при каких-нибудь сосслних. Послелнис должны оказаться больше. Аналогично можно поступить и при выборс нескольких параметров по минимуму интегральной оценки. Функция ! (сс, В) пе всегда облаласт минимумом >ю рассматриваемым параметрам, Тогла нужно выбирать их по цаименыпсму значению интегральной опенки ! внутри области, назначаемой из пру гих соображении. Важ>ю также иметь в зилу, что выражение интегральной оценки через выбираемые параметры системы в буквснпом виде может в ряде случаев оказаться сложным для исследования в общем виде.
Б таких случаях можно поступить иначе: залавать несколько числовых значений одного пз выбираемых параметров (при жестко заданных всех остальных) и вычислять для каждого из иих значения! (или 1,). В результате будет вилно, прп каких значениях даши>го параметра получается Т,„„, (можно лля наглядности построить график всличипь> 1 в зависимости от выбираемого параметра). Лна»огично нужно поступить и с пругими выбираемыми параметрами системы.
В конкретных расчетах всегда следует учитывать, что олповрсмсино с таким выбором параметров нужно, во-первых, обеспечить хорошис статические свойства системы и, во-вторых, проел слить, чтобы оптимальная точка не оказалась ел шиком близкой к границе устойчивости, так как всегда пало иметь некоторый запас устойчивости. Рассмотрим в качестве примера лиффсренпиальвос уравнение третьего порядка 222 Непрерывные линейные системы автоматического управления Для нахождения Ьо необходимо первый столбец определителя Ь заменить на (8.63): а —, 0 = аг(а,аг аоаз)+аза,.
г аз аг ао 0 По формуле (8.64) находим сдицствснный коэффипиепт Во = бвг, В результате получаем значение интегральной квадратичной оценки: оо(а, а, 2аз~ ( аз айаг аоаз (8.78) "~ = А л! ао аз аг = В Ч 'аоот Подставив зто выраженис в (8.78), получим: Оо зпо В+ ёайлелз безразмерную оценку 1о в соответствии с формулой (8.57). Подставляя а =зг значение среднегеометрического корня лзо = з и б = получаем 1, =-'(В+ — "1. 2( АВ-11 (8.79) Г1ри 1о сопзс это дает на плоскости параметров Вышнегородского кривую А~ + (АВ 1)(В 21о) = 0 (8.80) Построенные по этому уравнению кривые постоя нных значений оценки 1о нанесены на диаграмме (рис. 8.17).
Там же пунктиром папсссны кривые, взятые из диаграммы Вышнегородского (рис. 8.9), показывающие области колебатсльности (1) монотонного (П) и апсриодического (И1) процессов. Минимум интегральной оценки находим, приравнивая нулю часа пые производпыс: Ло т1А т(В Это выражение и служит для выбора параметров системы, входящих в коэффициенты ао, ап аэ аз, пз условия минимума всличины 1. Построим диаграмму квадратичной интегральной оценки ца плоскости параметров Вьпннеградского А и В. Согласно в' 8.6 Глава 8. Оценка качества управления 223 что дает АВ-2-0, (ИВ 1)з Аз=0 откуда находим А = 1, В = 2.
Следовательно, минимум квадратичной интегральной оценки 1а = 1,5 имеет место в точ- «е Р (рис. 8.17). Эта точка лежит, однако, слишком близко к границе устойчивости, что может не обеспечить необходимого запаса устойчивости (см., например, рис. 8.12). Практически лучше брать параметры системы нс точно в точке О, а несколько правее и выше. Этот результат имеет смысл, однако, только в тех случаях, когда 6„, а;, ао остаются постоянными, а выбираемые параметры системы входят только в коэффициенты а, н аа уравнсния (8.77). й 8.8. Частотные критерии качества Пол частотными критериями качества будем понимать такпс критерии, которые не рассматривают вида переходного пропссса, а базируются на некоторых частотных свойствах системы. Частотные критерии качества особенно удобно применять прн использовании частотных методов расчета, так как при этом получается нанболсс простое решенно задачи, Частотные критерии наиболее разработаны в отношении оценки запаса устойчивости замкнутой системы.
Разумеется, что при этом система должна быть устойчивой. Запас устойчивости замкнутой системы можно определять по удалению амплитудно-фазовой характерис ~ ики разомкнутой системы (рис. 8 24, а) от точки (-1,)0). Лля этой цели вводятся понятия запаса устойчивости по ампкитуде (модулзо) и запаса устойчивости по фазе. Для случая, изображенного на рнс. 8.18, а, удаление а. ф, х. от критической точки определяется величинами (г, и (гэ выражснныьш в децибелах; 7 = 20!8 —, Е~ = 20!8(гх. 1 (), Запас устойчивости замкнутой системы но амплитуде раасн минимальной из них: Е, = ш!п(Ео Ех).
чем больше Е„тем больше запас устойчивости по амплитуде. Система считается хоРошо демпфиРованной, если (с, составлЯет пРимеРно 6- 20 лБ, что соответствУет 2 ' 10 в линейном масштабе. 224 Непрерывные линейные системы автоматического управления Из рис. 8.18, а видно, что даже при У> << 1, Етя » 1 точка (> может оказаться вблизи критической точки ( — 1,)0). 11оэтому дополнительно к запасу устойчивости по амплитуде Е„вводится запас устойчивости цо фазе р,: р.=180 +ту Здесь тр> — аргумент (фаза) частотной передаточной функции разомкнутой системы йг(ло), соответствукнций ее модули> л(о>), равному единице (точка ь на рис.
8.18, а): >1>> =' Ш(со)>~ло 1-> Запас устойчивости замкнутой системы цо фазе тем больше, чем больше 1с>, В хорошо демпфированных системах он составляст около 30 - 60". Величины Е> и р, могут быть определены и прн использовании логарифмических частотных характеристик разомкнутой системы. На рнс. 8.18, 6 изображены л.
ч .х., соответствусощцс рис. 8.18, а. Тасс как Е(о>) = 20 1й ))у(Гсв)1 то в указанньсх на рис, 8,18, а точках имеем: Е.„< О, тв, - -180"; Е>,=0, — 180" <чт>,< — 90'; Е, > О, тв,.- — 180". При со= модульЕ - —,а фаза >1> = -270". Величины Е> и Ев определяются в точках церехола л. ф. х, через с>сь абсцисс, а величина р, — на частоте среза л.
ф. х, а>, Недостатком рассмотренного критерия является то, что для оцрелелення запаса устойчивости необходимо задать лва числа: Е> и рк В зтом отношении более улобно опрелелять запас устойчивости по показашелю колет>ап>ель>сося>и. Показателем колебатсльцостн иазывастся максимальное значение орлинаты М„...„амплитудной характеристики замкнутой системы (см.
рис. 8.19) цри начальной орлинате, равной единице, т. е. относительная высота резонансного пика. Физически зта характсристнка представляет собой следующсс. Если залаюшее воздействие меняется цо зал<сну и = 8 .,„в)п о>г, то управляемая величина в рсжиме установившихся вынужденных колебаний булст меняться цо закону у,„„.„- у,„,„ ейп (а>г е тр). Относнснис амплитуду„...„и Л„„.„ определяется моЛулем частотной псредаточцой функции замкнутой системы: — '"'" = тост Ф( тсо) = гной ., (8,81) У»- .
)У(уш) 8»»> 1-'; НГ0со) ' Глава 8. Оценка качества управления 225 М„, „= ~Ф(уе>)~ ь>ьх (8.82) Как видно из этих рассуждений, ноказатсуц колсбатсльности олрслслястся поср>щством задания зада>ощсго воздействия 8 =8„, „з>п о>г. В принципе возможно определение показателя колебатсльности системы щ>средством задания возмуща>ощсго возлсйствияу = у,мь з>п о>у и отыскания относительной величины резонансного пика. Чем меньше запас устойчивости, тем больше склонность системы к колебаниям и тем вьппс резонансный пик, >2опусзимос значение показателя коу>сбательп»сти определяется на основании оньпа эксплуатации систем управления.
Считается, гго в хорошо дсмпфированных системах показатель колебательцости нс должен превосходить значений 1,1 —: 1,5, хотя в некоторых случаях можно допускать величины до 2+ 2,5. Для отыскания показателя колебатсльности пет необходимости строить амплитудную частотную харщстеристику (рис. 8.19) или отыскивать максимум (8.82). Существуют приемы, позволя>ои>ис найти показатель колсбательности цо виду амплитудно-фа:к>вой характеристики ра:юмкнутой системы. Возьмем иа амплитудной характеристике (рис.
8.19) нскотору>о точку а, которой соответствует ордината М, и отобразим агу точку па комнлсксиу>о плоскость частотной иередаточиой функции разомкнутой системы. Для этого рассмотрим уравнение пюс1Ф(уц>) = = М. И'(уто) ! + И>(у)е) Сделаем подстановки (У = Кс И>(уо>) и )У= 1ш И'(ущ). Тогда (У+у'1У ~ Р+(>Я = М. Возводя в квадрат правую и лсвук> части и освобождаясь от знаменателя, восле алгебраических преобразований получим ((у+ С)'+ (у' = Ф, (8.83) где Ма МЯ вЂ” 1 (8.84) М Мз 1' (8.85) Это есть уравнение окружиосз и с радиусом у2 и с центром, смещенным влево от начала и>ординат на величину С, у где Иу(уц>) — частотная передаточная функция разомкнутой гистсмь>.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
