Бесекерский (950612), страница 42
Текст из файла (страница 42)
3та склонность может характеризоваться отноьпепием мнимой части корня (угловой частоты колебаний) к всгпсственной (коаффициенту затухания), которос пазывастся колебиглельгеоспгью: (8.39) 11айдем затухание амплитуды синусоидальпого колебания за один период. При некотором времени Е = Е, эта амплитуда равна С, =Се ~'. Через одни период Т-. 2лД) 2я1 а 2л — гг+— -2л- Зигпугеаниен эи период назтявают величину (8АО) Зта величина обычно выражается в процентах. Подставляя значение амплитуды С2, получаем 2л ~=1 — е л (8А1) 2л 12 =— 1 1п— 1- г", (8А2) Обычно в системах автоматического управления допускается затухание за один период не менее чем 90 98%.
Так, например, если г,% 98%, то допустимая колсбательность при этом составит 2л л р = — — =1,57, 1п50 2 Колсбатсльпость связана с другим корневым показателем запаса устойчивости— с так называемым затухонг|елг. Комплексные сопряженныс корни лакгг в выражении для переходного процесса члсн вида х(е) = Се ~ гйп(1)е е вг). Глава 8. Оценка качества управления 207 Соответственно при Г = 90% получаем р = 2,72. Залап неопределенной колсбатсльпости заставляет ограничивать область расположенияя корней двумя лучами (рис. 8.8, сс), которые составляют с осью вещественных угол <р = агс<8 ф/<х) = агс<8 ц.
(8,43) У(р)=Ф(Р~С(р)= (,' С(р). ЧЪР) 1+ 1г'( р) 11ередаточная функция замкнутой си< тсл<ы представляет собой дробпорациональпую функцик> В(Р) (<аР + б< Р Ф(р) = 1)(р) а,р" +а,р" '+,,+а„ раскладывая числитель и знаменатель (8А4) па множители, получим (8А4) ае(Р У< НР Рг) (Р Р ) а(Р- Р,)(Р- Рз) ..(Р- Р„) (8А5) Колебатсл<я<ость системы можно определить без нахождения корней характеристического уравнения подобно тому, как это было сделано выщс по отношению.
к степени устойчивости. Идея метода закл<очастся в том, что используется подстановка р -7зе Оч, которая соотвстствует повороту координатных осей (рис. 8.8, б) против часовой стрелки па угол и/2 — <в. 11ри этом по крайней мере од<ш корень попадает на мнимую ось и затем оп отыскивается, Ввиду громоздкости этот метод почти нс имеет практичс<я<ого значения. 1! ри задании допустимых значений колсбатсльпости и степсни устойчш<ости область расположения корней должна ограничиваться также вертикальной прямой, проходящей параллельно мнимой оси на расстоянии и (рис.
8,8, б). Расположению корней в этой области соответствует выдерживание требуемого запаса устойчивости, опредслясх<ого величиной колсбательности ц или затуханием, и требуемой степени устойчивости ть характеризующей быстродействие системы. Для определения параметров системы, при которых обеспечивается нахождение корней характеристического уравнения в заданной обла< ти, можно воспользоваться 1)-разбнснием.
В азам случас в плоскости двух параметров системы может быть построена область, аналогично построен<по области устойчивости (см, гл. 6). Использование корней характеристичсского уравнения для опенки качества управления является нс совсем полным, так как вид персходпого процсссаопредсляется нс только лсвой, но и правой частью дифференциального уравнения. Для того чтобы учесть это обстоятельство, рассмотрим, например, зависимость между управляемой величиной и задающим воздействием, записанную посрелством псредаточ- пой функции замкнутой систел<ы (5.20): 2()8 Непрерывные линейные системы автоматического управления Корпи числителя Р,", ..., Р" иазыва>отея нулями передаточной фуикции, так как в точке Р— Ро псрслаточиая функция обрапгастся в нуль. Корпи знаменателя Ро .., Р„являются корнями характеристического урависиия, и оии цазывак>тся иол>осами псрелаточиой функции.
В иолкюс, т. е. ири Р = Р,, исрелаточиая фуикция обращается в бесконечность. Полк>сы»ерелаточиой функции характсризук>т левую часть лифферси циальиого уравиеиия, а пули — правую. В частном случае, когда исрслаточиая фуикция (8А >) ис имеет пулей, правая часть диффсрсициальиого уравнения имеет вил Л(Р) Г(<) =. = Ь„г(<) и формула (8А5) сводится к выражению г>„, Ф(Р) = оа(Р Р>)(Р Рг)-.(Р Р ) (8А6) 5 В.б.
Диаграмма Вышнеградского рассмотрим характеристическое урависш>е третьего порядка асрз е и>Р "- а>Р е а > = О. (8А7) ! )ривепем его к норм ирова»ному виду. Для этого разделим все члены ца а, и >п>елем новую переменную р д = г»>! —. >> "з <>а (8А8) Злссь испо:>ьзоваио гищятис срелисгеомстричсл<ого корня (8.26): Яо --а — '. у оа В этом случае вил перехолиого процесса определяется только распот>ох<опием пол>псов, Задание области расположения полн>сов и пулей позволяет более полно оцепить вил псрехолиого процесса. Пе останавливаясь иа полробиом анализе, приведем б>ез доказательства общие рскомсилации, которых желательно ирилсрживаться ири выборе расположения полюсов и пулей перелаточцых функций !70!. 1.
Желатсльио располагать нули вблизи области расположения полк>сов. Уггалсиие пулей от области полюсов аслот к увеличению амилитул собственных колебаний в персхолиом процессе. 2. Для умса ьщеиия отклонений в псрсхолщ>м процессе часто бывает выголцо улалять полюсы лруг от прута. 3. Приближение друг к лругу ис прслставляст опасности лля тех полюсов, которые расиоложсиы Лалеко от мнимой оси. Кроме этих рекомендаций сохраняют < вою силу ограиичсиия иа область расположеиия полюсов, иаклалываемыс в связи с трсбоваииями обсспе гелия определенного запаса устойчивости и быстролсйствия (см.
рис. 8.8, 6). Глава 8. Оценка качества управления 289 В результате нолучим1шрмированнос уравнение су ч- А(у ч- В(у .~- 1 = О, (8.49) тле коэффициенты г д! В "г" ко аг аз Д аз ф дг называются паримегпралки Вышнеграйского. На нлоскости параметров А и В нанесем границу устойчивости. Условия устойчивости системы третьего порядка были внервыссформулированы Выщнеградским сщс в 1876 году, до появления в 1895 году критерия Гурвица. Эти условия: Л > О, В > О и АВ > 1. Уравнение границы устойчивости (колебательной): Рис.
9,9 ЛВ - 1 цри А > О н В - О. Это есть разнобокая гннербола, для которой оси координат служат асимнтотами ((янч 8.9). Область устойчнвостн системы, согласно написанным вьнне условиям, лежит выше этой кривой. Разобьем область устойчивости на отдельные части, соответствукнцнс различному расиоложе1(шо корней характеристического уравнения. Заметим, что в точке С, где А = 3 и В - 3, характеристическое уравнение (8А9) принимает ннд (гу ' 1)з = (), Следовательно, в этой точке все трн корця равны: ку, = дг = дз = -1. Прн этом для походного характеристического уравнения согласно (8А8) нояучасм р, — рг = а рз з ~сч з ~ 3)то уравне|ни дает на плоскости параметров А, В лвс кривыс: СЕ и С7 (рис. 8 9).
Внутри области ЕСЕдискрнминант положителен. Следовательно, в этой области имеется трц вещественных корня (область П!). В остальной части цлоскости лискРимнцацт отрицателен, что соответствует наличию нары комплексных корней. Существенное значение имеет взаимное расположснис вео(ествсцного и комнлексных корней. Будем различать здесь Лва случая:! — пара комплексных корней лежит ближе к мнимой оси, чем вещественный, и П вЂ” вещественный корень лежит ближе к мнимой оси, чем|~эра кохцьчсксных. Границей между этими двумя случаями являстся расположение всех трех корней на одинаковом расстоянии от мнимой оси.
Уравнс|шс этой границы можно найти, положив значения корней су, = -с(, и дкз" " — а +78. Тогда характеристическое уравнение (8А9) будет гу~ + Акуг + Вд + 1 - ((у + а) (уч- а -78) (ту+ а +78) - (уз мЗагугм(За + 8 ) ц м ч. а (а'+ 8г) - О. В обц(ем случае возможны два варианта: 1) вес трн корня веществе~ цчыс; 2) один | корень вещественный и г(ва комплексных. Граница между этими двумя случаями определяется равенством нулю днскримннацта уравнения третьей стсцсни (849), который могкст быль получен, например, из формулы !(ардена для решения кубичссконк уравнения А  — 4 (Лз + Вз) м 18АВ - 27-0.
210 Непрерывные линейные системы автоматического управления Уравнивание козффпциевтов при одинаковых степенях даст А = За В = За' - 8' 1 = а(а' ч- (1з). Написанное равенство дает на плоскости параметров кривую СВ. В результате область устойчивости разбивается на три части: 1, П, П! (см. рис. 8 9), Этот график называется диаграммой Вьпинеградского.
Он постросн им в 1876 году в работе, которая положила па чало развитию теории автоматического управления. На рисунке показан характер расположения корней внутри каждой из зтпх частей области устойчивости В области П1, где все корни вещественные, в зависимости от начальных условий получим апериодический переходный пропссс в одной из форм, показанных на третьем графикс рис. 8 1О. Область 1П носит название области апериодических процессов.
В областях 1 и П, где имеется один всщсствеппьп( корень и два комплексных, переходный процессбудет иметьсоответствспноформы, показанные напсрвыхдвух графиках рис. 8.10. В области 1 быстрее затухает экспонента и переходный процесс в основном будет определяться колебательной составляютцсй, Это будет область колебательных процессов. В области П, наоборот, быстрее затухает колебательная составляющая. Это будет область хюнотонных процессов.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
