Бесекерский (950612), страница 43
Текст из файла (страница 43)
Диаграмма Вышнеградского получила дальнейшее развитие. Для более точной оценки характера переходного процесса па пей можно нанести вспомогательные линии, разбиваклцис области 1, П н П1 на сщс более мслкис части, что позволит иметь более полное суждение о быстродействии и запасе устойчивости. Ниже будут рассмотрены паиболсс распрострапенпые способы уточнения диаграммы Вышнегралского посредством нанесения линий равной степени устойчивости (для оценки быстродействия) н линий равного затухания (лля оценки запаса устойчивости).
Для нанесения линий равной степени устойчивости обратимся к нормированному характеристическому уравнению (8А9). Для получения смещенного уравнения введем новую переменную, определяемую соотношением т) = тт, — т1, где т! обозначает степень устойчивости для нормированного уравнения. Для исходного уравнения (8А7) согласно (ВА8) степень устойчивости будет ~ аз т1=т)окко =т1о ~~ —. 1! по Смещенное уравнение имеет вид ттт ч А% е Агт)ч Аз 0 з (8.50) В результате совме- стного решения последних трех равенств получаем после псклкщения а и 8 нскомос уравнение, соответствующее граничному случаю. 2Аз — 9АВ 27=0, А<З. а второе даст в 1 В = Ат1о т)о +— Чо (8.52) Коэффициенты этого уравнения.
А~ Лис+А Ав- Зт1о — 2Лт1ю" В Лз = — -т1о + Лт1о 3 2 ! 1римепим к смешсппому уравненино условие гранины устойчивости. Колебательная граница устойчивости, соотвстств)пешая чисто мнимым корням смешепного уравнения (8.50), будет при выполнении условия Л,А, = Аэ. Апериодическая граница устойчивости (нулевой корень) будет при Аэ - О. Первое условя~с прн подстановке значений коэффициентов приводит к уравненнго 1 В = +2т)о( — 2т) ) (8,51) Л-2т)о Глава 8.
Оценка качества управления 211 212 Непрерывные линейные системы автоматического управления е 8.7. Интегральные оценки Интегральные оценки имск~т целью дать общую оценку быстроты затухания и величины отклонения управляемой величины в совокушн1стн, без определения того н другого в отлсльности. Простейшей интегральной оценкой может служить вели- чина 11 = ~х(т)Й, о (8.53) тле х(г) — отклонение управляемой величины от нового установившегося значения, которое она будет иметь после завершения персхолного процесса. В устойчивой снстсьгсх — т 0 црн г — > и этот интеграл имеет конечную величину. !еоыст!тически зто будет площадь цод кривой переходного процесса, построенного для отклонения (рис.
8.13, а). Плошаль будет тем меньше, чем бьнтрсе затухает нсрсходтияй процесс и чем меньше величина отклонения. Поэтому параметры системы рекомснлустся выбирать таким образом, чтобы добиваться минимумаа этой интегральной оценки. Для вьшислсния интеграла (8.53) нет необхолимостн в нахождении х(г), так как На основании полученных уравнений, задаваясь различными значениями т! .= сопзц можно построить на диаграмме Вышнеградского линии олинаковых знао чений нормированной степени устойчивости (рис. 8.11). По уравнению (8.51) построены кривые Ло = сонат в области 1, так как там, согласно рнс.
8.9, ближайшими к мнимой оси являются комплсксныс корни. Кривая т!о = О совладает с границей устойчивости. Уравнение (8.52) даст прямые, которые нанесены в областях П и Ш, Как винцо из диаграммьь наибольшая степень устойчивости т!о - 1 имеет место в точке С с коорлнцатами Л = 3 н 8 = 3, Слеловательно, эта точка соответствует наилучшим значениям параметров с точки зрения величины степени устойчивости. Однако, как уже отмечалось, степень устойчивости является приближенной оценкой быстроты затухания нерехолного процесса. Поэтому при выборе параметров системыи управлсн ня практически нет смысла попадать именно в эту точку диаграммы. Можно считать, что наилучшей областью параметров системы будет область, црилегаюнгая к точке С, например внутри замкнутой кривой т!о = 0,5, На рис.
8.12 приведена лигнрамма Вышнегралского с нанесенными линиями равного затухания С = сонзы (Лналнтичсские выклалкн це нрнвоцягся ввиду громоздкости). Эти жс лицин являются, по существу, и линиями равной колебатсльности !т - сонат, так как колсбатсльность и затухание связаны мсжлу собой формулами (8А1) и (8.42). Глава 8. Оценка качества управления 21 3 Х(р)= ~х(г)е "г(г. о Отсюда следует, что интеграл (8.53) может быть найден посредством предельно го перехода р -+ О: )х(~)о(Г= йпо Г)х(Г)е ~'г(Г=!ппХ(р), о о, о о (8 51) Неудобством интегральной опенки вида(8 53) является то, что она годится только для монотонных процессов, когда пс меняется знак отклонениях.
Если жс имеет место колебательпый процесс (рис. 8.13, б), то при воячислении интеграла (8.53) площади будут складываться алгебраичсски и минимум этого интеграла может соответствовать колебаниям с малым затуханием или вообще без затухания. Рак как форма переходного процесса при расчете систем управления может быть неизвестна, то применять интегральную оценку вида (8.53) оказывается практически нецелесообразным.
Поэтому предлагалась другая интегральная оценка: (8.5з) т. е. сумма абсолютных величин всех площадей под кривой переходного процесса. Но оказалось, что вычисление се по коэффициентам уравнения затруднительно. Квадратичная интегральная оценка.
В свете вышесказанного целесообразно перейтии к квадратичной интегральной оценке 1= ~хФ (х — >О прис — о ), о (8.56) которая ис зависит от знаков отклонений, а значит, и от формы персхсгдного процесса (монотонной или колебательной). Величина 1 (8.56) будет тем меньше, чем меньше сумма зщптрихованных па рис. 8.14 площадей (взятых для квадратов ординат), т. е.
чем лучше переходный процесс приближается к идеальному скачку управляемой величины вслед за скачком задающего или возмущающего воздействия. Ниже будет показано, что такая оценка пс всегда является лу пней, по пока остановимся на ней. его можно легко вычислить, используя изображение Лапласа или Хевисайда-1(ар- сона. Действительно, изображение Лапласа определяется выражением 214 Непрерывные линейные системы автоматического управления Заметим, что оценку (8.56) называют сакже квадратичной динамической ошибкой. Ее люжно записать в бсзразк~ерном виде; и» »вЂ” о о (8.57) где х = х(г) обозначает отклонение управляемой величины в переходном процессе от ее нового установившегося значения; х(Г) = у(Г) — у( ); С вЂ” некоторая величина, имеющая размерность управляемой величины, например статическое отклонение у( ); йо — срсднегеомстрическое значение корня характеристического уравнения (8.26). Рассмотрим олин из возможных си особов вычисления квадратичной интегральной оценки (8.56) при скачкообразном внешнем воздействии.
В общем случае лиффсренцпальное уравнение системы (в символической операторной записи) согласно (5.5) имеет вид О(р) у(г) = В(р) а(г) - йЮ/(г). (8.58) Изображение управляемой величины у(г) представляет собой дробно рациональную функцию: б„р +Б,р»' '+...+5„1 у(р) = сор +п1Р +" +о» р (8.60) Отклонение х управляемой величины от попого установившегося состояния в переходном процессе, входящее в формулу (8.56), будет Ь„ х(г)=у(г)-у( )=у(г)- —" 1, и» где у(г) есть решение уравнения (8.59), а также оригинал изображения (8.60).
Для изложенных условий при ги < и ниже без вывода приводится формула [89), по которой может быть вычислена квалратичцая интегральная оценка; (Виет ч Вщ, ~дщ ~ +... +ВвЬв +В~д~ -~. Водо) з (8 61) в 1 ~М~-~ О 2а,',д глс у(г) — управляемая величина или сс отклонение, 8(г) и/(г) — задаюгцес и возмушаюп1се воздействия. Степени мпогочленов В(р) и Х(р) обычно ниже, чем О(р); в некоторых случаях они могут иметь ту же степень, что и полипом ()(р).
Пусть псрсхолпый процесс вызывается спин ичным скачком 1(г) либо функции у'при 8 = сопзц либо функции д при / = сопят, Положим, например, что рассматриваем скачок залающе1 о возлейсгвия 8(г) = 1(г). Изображение Лапласа такого скачка будет С(р) = 1/р. Перейдя в форьтуле (858) к изображспиям, получаем 1)(р) У(р) = В(р) 1/р. Глава 8. Оценка качества управления 215 где Л есть следующий определитель и-го порядка (равный старшему определителю Гурвица, но записанный в несколько иной форме); и -г О -и„ О О (8.62) и„-з О О О О ... а, 11а границе устойчивости Л = О н 1 » Через о» (Ь = и, гл — 1, ..., 2, 1, О) в формуле (8.61) обозначены определители, получающиеся путем замены в определителе (8.62) (ш — Ь+ 1)-го столбца столбцом (8.63) Коэффициенты В, В ю, вычисляются по формулам: В =Ь, (8.64) В» — — Ь» -2Ь»ыЬ» ~ +2Ь»,гЬ» г +...+2(-1)"Ь~Ьг»-~ Во =Ье. В онредслитсле (8.62) заменяются нулями все буквы с индексами мсньцгс цуля и больше п, а в формулах (8,64) — с индексами меньше нуля и болыпс т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
