Бесекерский (950612), страница 47
Текст из файла (страница 47)
Если показатель колсбательцостн М > 1, то замкнутую систему можно аппроксимировать колебательным звеном (сы. 6 4.5). Тогда передаточная функция замкнутой системы может быть представлена в видс (8.90) Для этой передаточной функции сравнительно просто найти, как зависят величины, которые определя1от запас устойчивости нерсрегулирование а%, показатель колсбатсльности М и запас устойчивости по фазе ц„от параметра затухания ~.
Соответствующие кривые привелсны на рис. 8,26, а. На рис. 8.26, б дастся зависимость между псрсрегулированисм о% и показателем колебательности М для той же передаточной функции (8.90). Кривые, приведенные на рис 8,26, в некоторой мере характеризуют связь между цоказатслями качества и в более сложных случаях, чем выражение (8.90). Глава 8.
Оценяа качества управления 231 я л Я юя О)ч, (8.91) Если нсреходный процесс в системе заканчивается за 1-2 колебания, то время переходного процесса можно определить но приближенной зависимости Га =(1ч2) — =(1ь2) —, 2я 2я юя оэср (8.92) Сравнение формул (8.71) и (8.89) показывает, что эквивалентная полоса пропускапия ю, совпадает с точностью Ло постоянного множителя с интегральной квадратичной оценкой 1'. определяемой формулами (8.67) и (8.68). Совпадение будет полным, если рассматривать всю эквивалентную полосу пропускашия от — ю, .= -2я/., до +а, - 2пг'., и измеря гь се в Герцах.
Тогда получаем д1 21" э ~ ~ ф(1ю)~ 2г(ю 2 (8.93) 9 8.9. Чувствительность систем управления Действительные значения параметров системгя управления практически всегда отличаются от расчетных. Это может вызываться неточностью изготовления отдел ьпых элементов, изменением парамстрон в процессе хранения и эксплуатации, изменением внешних условий и т. л. Изменение параметров может привести к изменению статических и динамичсс. ких свойств системы. Это обстоятельство желательно учесть заранее в процессе проектирования и настройки системы. Степень влияния изменения отдельных параметров на различные характеристики системы оценивается посредством чувствительности. Чувствительностью называется некоторый показатель, характеризующий свойство системы изменять режим работы при отклонении того или иного ес параметра от номинального или исхолногозначения.
В качестве оценки чувствительности используются так называемы< Функции чувствительности, представляющие собой частные производные 1-й координаты системы по вариации1зго параметра,. (8.94) Так как резонансная частота юр приблизительно соответствует частоте колебаний замкнутой системы в переходном процессе, то время достижения первого максимума г„, на переходной характеристике (рис. 83) может быть определено по приближеннойй зависимости 232 Непрерывные линейные системы автоматического управления или частные производныс от используемого критсрия качества) по~-ыу параметру, (8.95) Нулевым индексом сверху отмечено то обстоятельство, что частные производныс должны приниматься равными значениям, соотвстствуюнснм поминальным (расчетным) параметрам.
Функции чувствительности временных характеристик. Посредством зтих функций чувствительности опснивается влияние малых отклонений параметров системы от расчетных аначений на врем енпыс характеристики с истемы (псрсхопную функцию, функцию веса н лр.). Исходной системой называют систему, у которой все параметры равны расчетным значениям и пс имтот вариаций. Этой системе соответствует так называемое основное движение. Ва)/аиро!/анной системой называют такую систему, у которой произошли вариации параметров.
Движение се называют вирьироввнньия движением. Допел/!ите/!ьиым движением называют разность между варьированным и основным движением. Пусть исходная система описывается совокупностью нелинейных уравнений первого порядка йх! =г(х!""х! с"!" с! ) (!=1,2,...,л). (8.96) Рассмотрим мгновенные вариации параметров Ьа, (/ = 1, ..., т), так что параметры приняли значения а + Ла.. Если изменения параметров не вызывают изменения l !' порялка дифференциального уравнения, то варьированпос движение будет описываться совокупностью уравнений Ых; — '=г;(х!,...,х„, а, +Ла!,...,а +на ) (! =1,2,,и).
(8.97) Для дополнительного движения можно записать лх,(г) =хс(г) — х;(г), (8.98) При условии лиффсрснцируемости х,(г) и х,(г) по параметрам а (! - 1, ..., т) дополнительное движение можно разложить в ряд Тейлора. Для малых вариаций параметров допустимо ограничиться линейными членами разложсния. Тогда получим уравнения первого приближения лля дополнительного лвнжсния (8.99) бх.(б 1Ха,,...,оа„) =,/ — ' Оа, = Хи'оай /=! !' /=1 Глава 8. Оценка качества управления 283 Частные нроизводцые, нахолящиеся в скобках, должны бьгп равны их значениям прп Лау -О, Таким образом, первое приближсписдля пополнитечьпоголвижспия может быть найдено при известных функциях чувствительности.
Заметим, что использование функций чувствительности удобнее лля иахожлепия дополнительного движения по сравнению с прямой формулой (8.98), так как последняя во многих случаях может дать большие ошибки вслелствие пеобхолимости вычитать две близкие величины, При значительных вариациях ьау может оказаться необходимым исшкльзовапив второго приближения с удерживанием в ряле Тейлора, кроме линейных, также и квадратичныхх членов Дифференцирование исходных уравнений (8.96) по а; приводит к так называемым ууививииям чувствительности (8.100) да,(, г(Г,) кй~ да;) й „мдхь дау (1=1,2, ..., и; ) =1,2, ..., т). Решение этих уравнений дает функции чувствительности и, . Однако уравнения (8.100) оказываются сложными и решение их затруднительно, Более целесообразен путь структурного построения моделя, используемой для нахождения функций чувствительности 140, 82~. Обратимся тецсрь клппейным гистсмам.
Нс снижая общности рассужлсний, можно рассматривать случай изменения одного~-го параметра. В некоторых случаях фуцкпни чувствительности получаются дифференцированиемм извсстпой функции времени па выходе системы. Так, сели цсрелаточпая функпия сисч емы соответс гвует апер иодичес кому звену второго лорал к а, то (ем. табл 4,2) 1 у(г) = .
8(г) (1+Т р)(1+ Т р) При поступлении па вход ступенчатой функции «(г) =- яс 1(г) па выходе будет у(г)=де 1 — в з + — ав " 1(г). ~3 Тк ~3 ~4 Пусть, например, вариацию претерпевает постоянная времени Тз. Тогда диффереьц!провацис поглсдцего выражения по Гз ласт функцию чувствительности по отому параметру ву(г) ((Тз — 7» )г — ТзТ~ 1в ' -Т~ Т„в Дополнительное движение при зтом будет Лу(г) =- и(г) ЬТз, глс ЬТз — вариация постоянной времени Тз.
234 Непрерывные линейные системы автоматического управления Пусть рассматриваемая система описывается совокупностьк! уравнений первого порядка П ! — г=~~~ де-тт+,') ЬчУч(Г) (! =1 2 и) (8.101) т=.! ч=! где ей и Ьй — постоянные коэффициенты, х; — фазовыс координаты, ау!(г) — внешние воздействия. 11ачальпые условия в системе; при ! = 0 т! = х; (! -1, ..., и). Ураво пения чувствительности получаются из (8.101) дифференцированием цо варьируемому параметру ал от которого могутзависстькозффициенты ае и Ь;„: !тил ! !! ганг — =5'аоие!+',!" сох!, +~~! !(и! Iд(г) (; 1 2 (8.102) ь-! ь ! ч ! д а, ~ д а, ~ ~ д а, Здесь ввелспа функция чувствительности передаточной функции ~,(р) = дФ(р, а!)~ ! д а, (8.105) которая определяет первос приближение лополпительной передаточной функции, равной разности варьируемой и исходной цсрслаточпых функций при вариации параметра аг! ЬФ, (р, а,) = Ф (р, а,) - Ф(р, а,) - з,(р) Ла! .
(8.106) дае дЬ;„ гле сй = — '" и гу„, = — '" — частные производные от коэффициентов системы уравда, '" да, пений (8.101) по варьируемому параметру аг Уравнениям (8.102) соответствуют нас д.; О чальпые значения и = — (! - 1, ..., и), Если начальныс значения х нс зависят от да ! ! параметра а;, то уравнениям (8.102) соответствугот пулевые начальные условия. Лля решения (8.102) необходимо предварительно решить совокупность уравнений (8.101) н опрелстить походное движение т; (!) (!' - 1, ..., и).
Для нахождения функций чувствительности и дополнительного движения улобно использовать передаточные функции системы. Пусть, например, управляемая величина у (г, а ) связана с задакпцим возлейсгвисм зависимостью у (г, а;) - А ') у(р, а,)) = Ь ') Ф (р, а,) С (р)), (8.103) где 6(р) — изображснис задаюпгсго возлсйствия. Функция чувствительности может быть получена иэ (8.103) дифференцированием но параметру а,: Глава В. Оценка качества управления Зб дФ(Р а,) да, д!пФ(р, а,) о (р)= ' » Ф(р, ау) ау д)па,1, > (8.107) Формула (8.107), строго говоря, может использоваться в тех случаях, когда Ф(р, а) н а представляют собой безразмерные величины.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
