Бесекерский (950612), страница 41
Текст из файла (страница 41)
Допустимое значение исрсрсгулироваиия для той или иной системы может бьггь установлено на основании опыта эксплуатации подобиых систем, В большинстве ел у сасв считается, что запас устойчивости является лостаточным, если величина перс рсгулщи>ваиия цс прсвьпиаст 10 ч 30%. Олиако в некоторых случаях требуется, чтобы переходный процесс протекал вообпсс без церсрсгулирования, т. с. был монотонным; в ряде других случаев может допускаться псрерсгулировапие 50 —: 70%. Бьсст)>~ле11ствис системы мок«ст сиредсляться ио длится ьиости сссрехолио с о ц 1ссь цссса С„.
Длительность переходного процесса оирсдслястся как время, протекающее от момента приложения иа вход единичного ска пса до момента, восле которого имеет местосссравессство (8.28) глс ос — заданная малая постоянная величина, представлясощая собой обычно донустиксу~о ошибку; величина у( ) в частном случае может равняться иулсо. Допустимое зцачеиис времени переходного процесса определяется на основании опыта эксплуатации систем управления. В следящих системах в качестве единичного скачка принимается мгновенное изменение управляющего воздействиями/) = 1(г). В этом случае пол величиной су обычно понимают пскоторуяк долю входного воздействия, составлясосцую, как правило, от 1 до 5% величины скачка иа входе. Иногда донолнитслыш к величине исрерсгулирования о% (или к величине у„,„к) задается допустимое число колебаний, которое может иаблюд:пься в течение времени переходного процесса.
Это число составляет обычно 1 . 2. В некоторых системах колсбапия могут вообсце ие допускаться, а иногда может допушсаться до 3 -. 4 колебаний. с/ 1рафичсски требования к зацасу устойчивости и оыстролсйствию сводятся ктому чтобы откло- 3 2дур) исние величины пс выходило ири единичном вхолиом воздействии из некоторой области, изображен- 9 иос4 на рис. 8А. Эта область иазьсвастся областью лонустимых отклонений управ:сясмой всличииы в с персходпом процессе. 0 с„— В слслящих системах удобно применять сфор- Рис. вл мулироваииые требования качества к ошибкс си- 202 Нелрерывные линейные системы автоматического управления 9 8.5. Корневые методы Как было сказано выше, вид корней характеристического уравнения определяет характер нереходнь!х процессов в системе автоматического управления, Поэтому можно сформулировать требования цо запасу устойчивости и быстродействн2о системы, нс рассматривая самих переходных процессов, а накладывая онредсле нные условия на корпи характеристического уравнения.
Пусть характеристическое уравнение системы имеет внд иар" + и,р" ' е ... е иьо" ~ ь ... м и„,р «а„- О, (8.25) где р = с+уа комплексное число. Используя понятие среоггегеометрического корпя Ги, ~0 " !р! р2" рп ~ +~« ио (8. 26) стсмы х(г) = д(г) — у(г). В этом случае можно рассматривать область допустимых значений ошибки н при болсс сложных входных воздействиях, например при мгновенном приложении на входе постоянной скорости. Дальнейшее развитие критериев качества, использующих псреходну2о характеристику, приводит к введению доно:!нительных оценок качества (кроме введенных выше гп, у „н о%). К ним относятся следую!цне оценки. !. Время запаздывания г„равное отрезку времени, заключенному между моментом приложения входного скачкообразного сигнала и моментом времени, нри котором осрсднспная выходная величина становится равной половице ее установившегося значения.
Примененный здесь термин «осредисцная> означает, что в случаях, когда на передний фронт выходного сигнала накладываются высокочастотные колебания (это может иметь место в системах высокого порядка), величина Г„определяется по сглаженной кривой, аппроксимирующей реальную переходную характеристику системы. 2. Время нарастания гп, равное отрезку времени, заключенному между точкой пересечения оси времени с касательной, проведенной к осредненной кривой персходной характеристики в точке г - гз, н координатой г точки пересечения указанной касательной с горизонтальной прямой, соответствующей установившемуся значению управляемой величины. Максимальное время нарастания г,',"и" ограничивается требуемым быстродействием. Минимальное время нарастания г,',"'и ограничивается допустнмымн в системе ускорениями и колебательных!и режимами. Уточнеш2ая диаграмма качества переходного процесса изображена на рис.
8.5, Глава 8. Оценка качества управления 203 гле Ро Р,, .„Ри — корпи характеристического уравнения, в формуле (8.25) можно перейти к новой комплексной величине г7 путем ш>Лстаповки Р - йвц. В резулыате получим уравнение гу +Лгч" ...Л>р - ... -Ла ну+ 1 =О, (8.27) в котором безразмерные коэффициенты Л о Аэ,, Л>, ..., А„| определяются выраже- нием Л ггэаО Ф= пэ (8.28) Р> Рэ а ЕГО КОРПИ РаВПЫ ГГГ «Г)О ь«н т.
Д. О О Исхолнос характеристическое уравнение (8.25) при возвращении к прежней комплексной величине получает вид рл+Л>12ОР"-~+.н ьЛОйви-~р"-~+...+йпд =О. (8. 29) Термин «степень устоячивоспг» не ивлястся удачи ик и его, вообще говоря, слслооало м>мани гь тор>нн пом «стснсяь быстродействия»..'> го объясняетси тем, что «степень устойчивости» никак не саянова с удалением снстсмм иг гранины устойчивости, онрслсляеммч по склонности система> к колебаниям. С>лиакг> слог термин используется в литературе, и мм будем его нрилсрмшмться, Срсднсгеометрический корень ьаэ может служить мерой быстроты протекания переходных процессов. Если в уравнении (8.29) увеличить ьев, например, в 10 раз, то на основании теоремы подобия (табл.
7.2) переходный процесс, оставаясь подобным сам себе, будет протекать в 10 раз быстрее. В связи с этим можно рассматривать (8.27) как некоторое нормированное характеристическое уравнение, которому соответствует переходный процесс, построенный для 6>езразкгср>гого времени гв = ьсвь Если качество перехолпого процесса является приемлемым с точки зрения лопустимого запаса устойчивости, определяемого, например, псререгулироваписм (рис. 83), то требуемая быстрота протекания переходного процесса может быть обсснсчспа соответствугощим выбором величины ьдв.
Для увеличения величины ьсв, как слслует из (8.26), псобхолнмо увеличивать свободный член характеристического уравнения ак Напомним, что в статических системах и„- 1 + К, а в астатичсскнх и„= К, где К вЂ” коэффипиепт передачи разомкнутой системы. Следовательно, повышение быстродействия может осуществляться за счет увеличения коэффициента передачи К.
Однако, как уже отмечалось, при этом уменьшается запас устойчивости замкнутой системы. В результате псрехолпый процессс (рис. 8,3) становится более колебательным. Для оценки оыстродействия системы может использоваться понятие степени устойчивости' . Под степе>>Ого устойчипосгпи >1 понимается абсолютное значение вещественной части ближайшего к мнимой оси корня (рис. 8 6), Здесь могут бгять лва случая: когда ближайший корень является вещественным (рнс.
8.6, а) и когда к ьшимой оси ближе всего расположена пара комплексных корней (рис. 8.6, 6). Ю4 Непрерывные линейные системы автоматического управления Корни характеристического уравнения, расиоложсниые ближе всего к мнимой оси, т. е. имеющие наименьшую по абсолкггной величине всщсствешгукс часть, дают в иерехолиом процессе (7.3) члены, которые затухают иаиболсс мсллешнх В большинстве случаев нсрсхолцый процесс можно считать закончившимся тогда, когда затухнет член, опрслслясмый ближайшим к мнимой оси корнем. Если ближайишм к мнимой оси является вещественный корень, то составля1о~цая в переходном процессе, определяемая этим корцем, будет иметь эид хл(с) = С„е "', 1!сложив в конце переходного процесса х (с„) = ЬСгс где Ь = 0,01 + 0,05, можно получить ириближеииую зависимость мссклу стсцсцыо устои швости и временем переходного процесса: 1 1 с„= — !и —.
!) Л (8. 30) Так, например, если принять Л = 0,05, то время иереходиого процесса составит 1 1 3 с„= — 1ц— 005 с! 1 ! с„< — ! и —. !! сс (8.:! 1) Таким образом, и в этом слу ~ас величина степени устойчивогс и будет в какой-то морс определять быстроту затухания переходного процесса. Более строго связь между зилом переходного процесса и величиной степени устойчивости может быть оцрслслсца для слу щя, ко~ ла исходное дифференциальцое уравшшие системы имеет вид (аэр" + а,р" ' э,, е а,) х(с) - 1(с), (8.32) Тогда можцо показать (44), что цри всех всщсствецшсх корнях или одной парс комплексных корней для переходной функции справедливо неравенство 1+ т(ть с) > !1(с) > 1 - с(гь с), (8З3) гс[с 1 + т(т), с) — функция, ограцичиваюсцая й(с) сверху (мажоранта); 1 — н(т1, с)— функция, ограицчивающая Сс(с) снизу (мицоранта).
Если ближа!ццей к мнимой оси является пара комплексных корней — ц +Я), то составляющая в переходном процессе, опредсляемая этими корнями, будет х„(с) = С„е "'э!ц(!)с+ у). Положив в этом ел учао х„(с) = оС„, нельзя в общем виде оцрслсл~п ь время переходного процесса, так как для этой цели потребовалось бы решить трансцендентное уравнение. Однако можем найти верхнюю границу переходного процесса, положив в этом уравнении эц1(рс е с!с) = 1. Тогда получим выражрпие Глава 8. Оценю качества упрввлвния З)5 Вспомогательная функция е(>), т) опрелслястся из выражения у(тьм) = е 'ч' 1+ Пг е е .., + 2! (л — 1)! ~ (8.34) Минора>тта совпадает с псрехопной функцией, если характеристическое уравнение имеет корень р,= -т) кратцосп> л, т.
с. выглялит следующим образом: асРч "'- и,Р" ' -' ... + и„= ив (Р е Ц)" = О. (8.35) (8.36) Из исравепства (8ЗЗ) вытекает, что прп залаппом значении срсдпсгеометричсского корпя ькс =- сопят и вссх вещественных корнях наименьшее время персхолпого процесса булет при всех кратных корнях, т. с. в случае (8,35). На рис. 8.7 приведены мпиорапты, совпалаюшис с псрсхолпыми характеристикамии для случая и-кратноп> корня, построенные в функции оп>оситсльцого времени г = к1вт лля различных зпачспий порядка дифференциального уравнения п. Важным обстоятельством является то, что степень устойчивости можно найти без вь>числепия значений корней характеристического уравнения.
Для:>той цели в характеристическом уравнении (825) >нрсхолят к новой переменной з = р + т). Полставляя в него з = р — т), полу >аем так азы васмос смс>цсппос уравнение ис (г -- т))" + а,(з — т))' е ... е а„, (г — т)) + а„= О. Раскрывая скобки и группируя подобпь>е члены, получасы асг" е Л>г" + ... + Л, >г ь Л„- О. (8.37) Это уравнение соответствует смешению осей иа плоскости корней (рис.
8.6) влево па величину т). Врсзультатеолип(рис. 86,а) или лва (рис. 8.6, б) корпя попадают на мнимук> ось, что соответствует границе устойчивости. >1ля вычисления степени устойчивости»собхолимо применить к емсшспцому характеристическому уравпсии>о (8.37) любой критер»й устойчивости и определить, гй>п каком значении т) получается >раница устойчивости. Напом им, что апериолпч вской гран ппо устойчивостисоотвстствуст равснствопулк>своболного члена характеристического уравнения: Л„- и„— а„д + и„з>)з — и, зйч +., - О, (8.38) Очевидно, что в этом случае п-кратный корень совпаЛаст ео срсдцегсомстричеекпм корнем 206 Непрерывные линейные системы автоматического управления а колебательной границе устойчивости соответствует равенство пулю предпоследнего определителя Гурвица или прохождение амплитудно-фазовой характеристики разомкнутой системы через точку (-1, )0), Обратимся теперь к оценке запаса устойчивости системы автоматичоского управления, Склонность системы к колебаниям будет наблюдаться, сслн в решеггин характеристического уравнения будут присутствовать комплексные корни вида — а + ф.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
