Самарский - Введение в теорию разностных схем (947501), страница 55
Текст из файла (страница 55)
(51) зз4 Гл. уп теОРия устойчивости РАзностных схем !3 В общем случае, когда условию (49) удовлетворяет каждый из операторов )г(!) и А(Г) в отдельности, имеем )Е)~ (4 (А(у+ У) У+ у)+ т~се [(ггуи У!)+ 4 (Ауи У!)) ~~ (се [1+ — ') 7 !+е при 14> А, где е= сопя() 0 не зависит от Ь и т, так как 4 7> — (Ауи У„) при В=- 4 А.
Тождество (53) дает 2т(ВУ, у.)+7(Г+т) ~~(1+ ' т)7(!)+2т(ф, у.). (57) После того, как написано энергетическое неравенство (57), вывод априорных оценок проходит так же, как и для постоянных А и В. Так, например, при В >0 из (57) для задачи (!а) следует оценка ~1 У (Г + т) Ци, < М, Ц У (т) 11„, если В > — ' А, (58) где М! зависит только от е, се и Ге. Формулируем основные результаты в виде одной теоремы. Т е о р е м а 5. Пусть А (Г) = А*(Г) )~ ЬЕ, б > О, 77 (!) = ге*(1) > ) 0 — переменные операторы, лившиц-непрерывные по Г, и В(Г)> А(!) для всех 0<(=пт<ГМ (59) где е = сопз1> О не зависит от т и Ь.
Тогда для скелюы (1) имеют место оценки Ц 1' (1 + т) Ц(,! < М! 11 1'(т) Ц„! + +Ме и!ах [Цф(г')ЦА 'и!+Цфг(г)ЦА ! '] (60) при В (г) > О, О < 1 = пт < Те, Ц у (Г+ т) Ц<п ( М, Ц у (т) 11„+ М, !пах Ц ф (В) Ц (6!) т~е<! при В Я> йЕ, где е = сопя( > 0 не зависит от т, Ь. Во избежание ненужных повторений, доказательство теоремы опускаем. 3 а меча н и е. Некоторые требования теоремы 5 могут быть ослаблены. Так, устойчивость по начальным данным имеет место при условии А'(1) = А(Г) > 0 (вместо А*(1) = АЯ>бЕ, б > 0).
Для выполнения оценки (61) также достаточно потре- 61 6 х клАссы устойчивых ТРехслоиных схем здз бовать положительности оператора А. Условие В )~ 0 можно заменить условием В > — с,т'А, (62) где с6 = сопз( > 0 не зависит от т и й. Если выполнено (62), то оценка (60) имеет место при т < ть, ть = 1/(4с6). 6.
Схема с весами. Весьма часто встречаются на практике схемы с весами у + Ауы 6»=ф(1), т<г=пт< 16, у(0) =уз, у(т) =уи (63) где уы "»=о,у+(1 — о, — о,) у+о,у; ои о,— вещественные числа, от выбора которых зависит устойчивость и точность схемы. В гл.
У, й 2 схема (63) была приведена к каноническому виду (1) и были найдены операторы В=Е+т(о,— оз)А, )с= ' ' А. Пусть существует оператор А-'. Действуя на (1) с операторами (64) оператором А ', получим Ву. +т йун+ Ау= ф, т<г=пт<1„у(0) =у, у(т) = у„(65) где В=А +(о,— а)тЕ, )г= ' 'Е, А=Е ф=А 'ф. Отсюда видно, что А и )т самосопряженные постоянные операторы. Применим к (65) теоремы 1 и 2.
Справедливы операторные неравенства 1 — !в +в6 11 )с — — А =1 — — 6)Е>0 при а, +о;>05, (66) В= А '+(о., — о,)тЕ>0 при о, >а, и любом А(1)>0. (67) Теорема 6. Если А(1) — переменный положительно определенный оператор и выполнены условия о, ~> оы о~ + аз > О 5, (68) то схема (63) устойчива и для нее верна оценка (~ у (1+ т) 11 (11 у" (т) 11+ )Г 2 (о, + в) ~ т 11 ф (Е)!1, (69) где (~У(1+т)!Г= — 1! У(1+т)+ У(1) К+ — (а1+ а,— — )!!У(1+т) — У(1) Р, (70) ззв ГЛ, Тк ТЕОРИЯ УСТОИЧИВОСТИ РАЗНОСТНЫХ СХЕМ !л До к азат ел ь ст во.
1) Устойчивость по начальным данным. Так как условия Е ) А/4, В ~0 теоремы 1 выполнены, то для решения задачи (65) при ф = 0 имеем 1! У (1+ т) 11 ()1 У (У) )1, У < 1, и„ в частности !1 у (1 + т) 1! ( 1) у (т) 1! где !)У(! + т) !! определяется по формуле (70), являющейся частным случаем формулы (24) при А = Е, Е = 0,5(о!+ от)Е. 2) Устойчивость по правой части. Рассмотрим задачу (63) при у(0) = у(т) = О, Вудем искать ее решение в виде л ул+! = Х туп+к г уо = О (72) л-! где алли, как функция и при фиксированном з = 1, 2, ..., и удовлетворяет уравнению (63) с 1р = 0 при и > з + 1 и начальным данным д,ль л+ 2о!ТАд,+!„—— 2ф„ди, = О. (73) Подставляя (72) в (63) и учитывая (73), убеждаемся в том, что (72) есть решение задачи (63).
Для д„„в силу устойчивости по начальным данным (71), имеем !! Ол+,„1!(1!О,+,„11 при фиксированном з=!, 2, ..., (74) где !! Оле,„)1 выражается через дл„и йл+,„по формуле (70). Из (73) находим де,„2 (Е+ 2о ТА) ф, и, так как Е+ 2о ТА ) Е при о,- О, то 1((Е+ 2о!ТА)"'~(1 н 1!у,+1„!1(21)ф, 11.
По условию ди,= О. Поэтому ! 1 / 11 Олл! АУ 4 1)лллью)! + л 10!+от ф!!й~+$ФР 1 л (о + о ) ))йл+ь !) (2 (о + о ) )1ф 1и т. е. 11 Оп+Ел!1(1!О,+ил!1 у'2(о,+о,) !1ф,)1. Подставляя (75) в правую часть неравенства л 1!У ))~ Х 8 ! получаем для решения задачи (63) с у(0) = у(т) = 0 оценку )1 у (г+ т) !1( )72 (о, + от) ~ Т1! ф(!') )1. (76) Отсюда и из (71) следует (69). 4 2. КлАссы устОйчиВых тяехслои»!ых схем ззт (80) Теор е м а 7.
Если А(1) = А" (1) — положительно определен- ный оператор и выполнены условия (68), то для решения за- дачи (63) выполняется неравенство »»»»;-.»»»«»»».»!» — ', г, »!»»»и»-,„,)», »»»» где 11)'(1+ т) 1~ дается формулой (70). Для доказательства теоремы надо подставить оценки 2т СФ ур) = 2т(А 'Ф, у ) <2т/1у'»1/» И Ф Пл-»»< »2т)уо~ + — !!Ф11„— », 2т(Ву., у.) >2т(А 'у, у ) =2т~у.~( в тождество (18) для схемы (65).
Применяя теорему 2 к схеме (65) с постоянным положи- тельно определенным оператором А, нетрудно получить при условиях (68) оценку Цу(Т+т)~1<ЦТ'(т)~/+»14, !пах (//А 'ф(г)11+(А 'фг(у)/1). (78) Отметим е»це, что оценка (60) имеет место для схемы (63), если А(1) = А'(1) > бЕ, 6 > О, А(1) липшиц-непрерывен по 1 и ! о!)о,—— т »1А11 ' ! — е а оценка вида (61) справедлива при в,)в — —, 0<а~1, 7. Примеры. Рассмотрим несколько схем частного вида. 1. Явная схема ()с = 0) Ву.+ Лу=ф (79) неустойчива при В ) О, А' Л ) О. 2. Схема (1) с оператором В = кЕ и В = Е у + ктху»» + Ау = ф устойчива при ХЕ > Л/4, т. е.
при к) — 11 А 11. (81) Частным случаем схемы (80) является схема Дюфорта и Франкела (схема «ромбэ) для уравнения теплопроводности — — — 0<х<1, т>0, и(х, 0)-ио(х), ди д'и и(0, 1) = и(1, г') О, 333 ГЛ. ЧЬ ТЕОРИЯ УСТОИЧИВОСТИ РАЗНОСТИЫХ СХЕМ ($ Она получается из явной неустойчивой схемы (вида (79)) у + А 0 Лр у(х+ь, 0 — 2У(к, 0+«(х -а () у в результате замены у(х, 1)=у( полусуммой 0,5(у(~'+у(-') = 0,5®+(),), что дает ую ую «с+~ - А+ р.)+ у;-~ 2т 32 (82) Приведем (82) к каноническому виду. Так как «+ у =2у+ + т'Уп, то пРаваЯ часть в (82) Равна У,„— — „,Уго следовательно, т' 4 ТЛИ 4 у + — „, уп+Лу= 0, Лу= — д...
!! А !!= — „, соз' — ( — „, . Сравнивая это уравнение с (80), видим, что х = 1//г'>!!А!!/4, т. е. схема Дюфорта и Франкела устойчива при любых т и й. Нетрудно сразу написать аналог этой схемы для случая, когда Š— любой эллиптический оператор. При этом надо лишь выбрать х из условия (8!). 3. Несимметричная трехслойная схема 2 у.— 2 у.+Лу=ф нли 2 +Ау=ф Зу — 4У+ у применяется для решения уравнения теплопроводности. Пользуясь формулами приведем ее к каноническому виду (Е + тА) у.
+ тх ~ — + — А) уп + Ау = ф, т. е. В = Е + тА, Я = Е/т+ 0,5А. Отсюда видно, что условия 1( > А/4, В )~ Е выполняются при любом А ) О. Если А = А')О, то схема устойчива в норме !(У((+ )!1„~= — (!!У(1+ )!1~+!(У(1)(!4)+~!!У !4. 8. Другие априорные оценки. Наряду со схемой (1) часто встречаются трехслойные схемы, записанные в виде (Е + т'/() уп+ Вру+ Ау ф у(0) ув р(т) = у~ (88) Эта схема формально получается из (1) заменой /( на Я = Я + В/тт, Имея в виду эту замену, нетрудно заключить, что схема (88) устойчива при /( РРА/4, и написать соответствующие оценки, 4 а КлАссы устОЙчиВых тгехслойных схем 339 Составные нормы Пс'П естественно появляются при написании уравнения энергетического баланса.
Они весьма слоукны по структуре. Желательно иметь априорные оценки для решения задач (1) и (83) в обычных энергетических нормах Н„и Нл, Перейдем к выводу таких оценок. Любую трехслонную схему будем записывать в форме Руи+ Ву.+ Ау=<р(1), 0(гена„у(0) =уо ус(0) =уо> (84) где Р = Р(с), А = А(1) и В = В(с) — линейные операторы.
В частности, Р = тест для схемы (1), Р = Е+т'сс для схемы (83). Наряду с (84) будем рассматривать задачи Русс+Ву;+АУ=О, у(0)=уо Ус(0)=Уа Ру,+Ву +Ау=<р(1), у(0)=у,(0)=0. (84а) (84 б) Будем предполагать, что А(1) А*(1) >О, Р(1) = Р'(Г) >О, В(1) >О, (85) А(с) и Р(1) — липшиц-непрерывны по с с постоянной се. (86) Из теоремы 5 следует, что схема (84) при условиях (85), (86) и условии Р-. <+е,А (87) Постоянная М< 1, если операторы А и Р не завясят от 1. Для перехода от (88) к оценкам в Нл и Но иам понадобятся двусторонние оценки функционала Пу +<Пс. Л е м м а 5. Пусть выполнены условия (85) и (87). Тогда Прл П, <ПУ,П (л)+ПУ (1,)ПО( л) (91) П ~п+< П<п< Э~ )с/ < + е П Ул+< 1(4 ( сп) < е П1 л+< П<лсп ь $/ <+е <Пуп+< Пл(с ) +П Ус(~п) По(с ))' (93) (92) (где е > 0 — любое число, не зависящее от т и Ь) устойчива по начальным данным и для решения задачи (84а) имеет место оценка П1 л+< П<л< ~~М<П1 < П<0 (88) где М, М<(ом е, сь)>0 не зависит от т, Ь, и и < С! сс П лп< 11л< 4 П Ул+ уп+< Пл(с 1+ ~1(Р(сп) 4 А(сл)) Ус л~ Ус л) с (89) П1 < П«с= 4 Пуп+У<1<я<с<+'((Р(т) 4 А(т)) ус(0), ус(0)).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
