Самарский - Введение в теорию разностных схем (947501), страница 57
Текст из файла (страница 57)
Основным является вопрос о выборе регуляризатора гс. Так как условия устойчивости имеют вид операторных неравенств, то в качестве гг естественно выбирать операторы возможно более простой структуры, энергетически эквивалентные оператору А. Пусть, например, А и Ао — энергетически эквивалентные операторы с постоянными у1 и уо (см, гл. 1У, $2, п. 4), так что у, Ао «( А «( уо Ао, у, > О, у, ) О. Полагая затем тт' = ОАо, получим устойчивые схемы при ! О)~пото (или О)~Обуз) в случае (109),О) 4 у, в случае (110). Простейшим видом )т' является оператор Р=ОЕ (АО=Е). Условия устойчивости выполнены, если О,Р ао!1А1~ для (109), о > 4 1~ А !! для (110).
При мер 1. Рассмотренная в $2, п. 7 явная трехслойная схема Дюфорта и Франкела для уравнения теплопроводности принадлежит семейству схем у. + От'уп+ Ау О, и > — 11 А !(, А = А' > О. (112) В самом деле, Ау = — Лу, Лу у... !! А !! = — „, сов' — < — „,, 4 оиа 4 ! ! о= — „,, т. е.
условие о) 4!!А!! выполнено. Эта схема Обладает условной аппроксимацией 0(Ь') при т= 0(Ь'). Нетрудно написать явную устойчивую схему для уравнения теплопроводности с переменными коэффициентами — = — ! Ь (х, !) — ), О < с, » ~Ь (х, !) ~ (со; ! ) О, О < х < 1, ) ' 1 (1 1З) и(0, !)=и(1, !)=О, и(х, 0)=ио(х).
В этом случае о = с,/Ьо, Ау = Для многомерного уравнения Р а ! и !г = О, и (х, 0) = ио(х), — Лу, Лу=(ау„) . теплопроводности х=(х„..., х )я б, (114) б — параллелепипед (О <х <1, со = 1, 2, ..., р), О< с!-ь.." <Ь <со, следует положить Р Р Ът ! ъч а = с, Т вЂ”,, АУ = — »Р (а,У„) ! а а=! ахах где Ьа — шаг сетки о!л = (х = (х!, ..., х„)еи С) по ха. Пусть Ао = А! + Аь где А! и Ао = А! — сопряженные или «треугольные» (с треугольной матрицей) операторы, так что (Аоу, у) = 2(А!у, у) = 2(А»у, у).
Полагая !г' = оА! или )! = ОА9, получим схему (109), устойчивую при оР 2уооо. Пример 2. Асимметричная схема В. К, Саульева [1] для ди д'и уравнения теплопроводности — = — принадлежит семейству д! дх! «треугольных» схем. Она имеет вид: у,+ — '„'у„„=лу, Лу-у„„. (11о) Здесь Ау — Лу, !Ту = — „уги А А, у, = уо = 1. Схема (1!5) о устойчива при Ьо о~~! —— 2Т и условно аппроксимирует уравнение с 0(Ь) при т = 0(Ь»). Для уравнения (113) следует положить уо = со,Ау — (аух), и I а! Тсу — у и взять о~со!! — — 1.
Ь х 2сот ! ' 9! 4 9. Клхссы устОйчиВых тРехслОЙных схем 347 348 гл. те геоеия устопчииости Рлзностных схем ио В случае задачи (114) имеем Р %1 ! )1у=о у — у или )ау= — о йа а 'т 1 уха уг = см "а а ! а ! о » «сг ~1 зтз ) ' а-~ а Важно отметить, что при построении схемы Дюфорта и Франкела [1) в качестве исходной бралась явная неустойчивая схема У.=ЛУ, так что 11 оАа+ о~тА,Аг.
Так кзк (А~Агу, у) = (Агу, Агу) =11Агу11г) О, то эта схема устойчива, если о '-угоа. Перемежающиеся схемы В. К. Саульева (1) фактически эквивалентны схеме с факторизованным оператором В указанного вида. Схемы с факторизованным оператором В = (Е + соВ,) (Е + огас), % % применяются в качестве итерационных схем для решения урав- нений Ау = ~р (см. гл. Ч111).
10. О работах по устойчивости разностных схем. Остановимся кратко на работах, в которых рассматривается принципиальные вопросы теории устойчивости разностных схем н получены достаточно общие результаты. Отметим, что данный обзор никоим образом не претендует иа полноту. Многочисленные литературные ссылки чнтатель аюжет найти в книгах В. К. Саульева (Ц, которая имеет аппроксимацию 0(т'+ Ьг). Чтобы получить устойчивую схему, в выражении для Лу значение уг заменя. лось полусуммой 0,5(у!+'+ у,'-'), что приводило к явной схеме (112) с о = 1/Ьг.
Это преобразование, таким образом, соответствует введению регуляризатора простейшего типа. В дальнейшем, после введения в практику формул прогонки, стали широко рассматривать двухслойные неявные схемы (схемы с весами), для которых Р = ОА. Очевидно, что эти схемы являются частным случаем схем с В = ОАа. Укажем еще один способ выбора К. Пусть А,=А, + А, А,= А;)О. Выберем В так, чтобы двухслойная схема имела факторизованный оператор В =(Е+отА,)(Е+ отА,) = Е+т(оА,+о'сА,А,), 9 з, клАссы устопчивых тнехслопиых схем 349 10! С. К.
Годунова и В. С. Рябенького [Ц, Рихтмайера н Мортона [Ц, В. Вазова н Дж. Форсайта [Ц, Н. Н. Яненко [5], ]7], Б. Л. Рождественского н Н. Н. Яненко [Ц. Понятие устойчивости разиостной схемы, по-видимому, впервые астре. чается в статье Неймана и Рихтмайера [Ц в 1950 г„где устойчивость опре. делается как ограниченность всех гармоник решения разностной задачи. Более подробно этот спектральный критерий взложен в обзоре С'Брайена, Хаймана и Каплана [Ц. Независимо от этих работ в !952 г.
была опубликована статья В. С. Рябеиького [Ц (см, также В. С. Рябенький и А. Ф. Филиппов [Ц), где даны ма. тематически строгие определения устойчивости для разностных схем, аппроксимирующих задачу Коши для системы уравнений с частными производными. Устойчивость определялась, по аналогии с понятием корректности для систе. мы дифференциальных уравнений, как непрерывная зависимость в сеточной норме С или Гр решения разностной задачи от начальных данных, причем эта зависимость должна быть равномерной относительно шагов сетки. Было показано, что из устойчивости и аппроксимации следует сходимость ревностной схемы.
Различные определения и способы исследования устойчивости были предложены в работах Н. Н. Мейманв [Ц, Л, А. Люстериика ]Ц, Коллатца [2), Джона [Ц, Дюфорта и Франкела [Ц и др. Существенный шаг был сделан в !955 году А. Ф. Филипповым [Ц, который ввел общее понятие устойчивости разностной схемы как непрерывной зависимости (в разных нормах), равномерной относительно шагов сетки, решения разностной задачи от начальных и граничных данных и от правой ча.
сти. Это определение включает в себя определения, предложенные ранее, и относится к схеме общего вида, не связанной с каким-либо конкретным уравнением. А. Ф. Филиппов вводит определение аппроксимации и показывает, что из устойчивости и аппроксимации следует сходимость схемы. Работы В. С. Рябенького и А. Ф. Филиппова получиля развитие в их книге (см. В. С. Рябенький и А.
Ф. Филиппов ]Ц), где рассмотрены и некоторые способы исследования устойчивости. например, метод разделения переменных, который иллюстрируется иа ряде конкретных примеров. Другой подход к теории разностных схем дан в работе Лакса н Рихтмайера [Ц (см. также Р. Д. Рихтмайер ]Ц), поторые рассматривалн в бана. ховом пространстве абстрактную задачу Коши — +.ч.и О, О»»г»(гр, и(0) ир, рт'и рт! где и(!) рм Н для всех ! рм [О, (р], лУ вЂ” постоянный линейный оператор со всюду плотной областью определения Я)(ю) рм Н.
Задаче Коши ставится в соответ. стане двухслойная схема Улар=птур Ур=ирг и О, 1, где у у(! ) щ Н, ! = лт, 3 — ограниченный линейный оператор, зависящий от параметра т, с областью определения, совпадающей со всем пространством Н. Функция у„ рассматривается как элемент того же пространства Н. которому принадлежит решение и(!) исходной задачи. (Предполагается, что шаги й по другим переменным являются функцинми шага т по времени, й а*А(т).) Устойчивость схемы определяется как равномерная ограниченность степе. ией оператора перехода Зтр )]$вт1~М, п-1,2, ..., (»(Рр 350 ГЛ. У|.
ТЕОРИЯ УСТОЙЧИВОСТИ РЛЗНОСТНЫХ СХЕМ гю где М сопа1 > 0 ие зависит от и и т, Отсюда сразу следует оценка ][,„11 (М)[,.), выражающая устойчнвость по начальным данным в Н. В работе Лакса и Рихтмайера [Ц было показано, что еслв исходная задача корректна и схема аппроксимнрует эту задачу, то устойчивость необходима и достаточна для сходимости схемы, В книге Р. Д, Рихтмайера [Ц для периодической задачи Коши получены некоторые необходимые и некоторые достаточные условия устойчивости. Зтн условия сформулированы в виде ограничений на спеитр преобразования Фурье (называемого также символом или матрицей перехода) оператора перехода 5.
Работа Лакса в Рихтмайера [Ц положила начало ряду исследований по спектральной теории устойчивости. Так, Крейс [2] полу шл необходвмые и достаточные условвя устойчивоств (ограниченности спектра степеней матрац перехода) для шврокого класса разностнык схем. Эти же вопросы рассматря. вали Ьуханан [Ц, Мор~он и Шехтер [Ц, которые упростили некоторые доказательства Крейса [2]. Результаты работ Крейса [2), Буханан [Ц, Мортона и Шехтера [Ц взложены в книге Рихтмайера и Мортона [Ц. Ряд необходимых признаков устойчивости несамосопряженных краевых задач получен с помощью нзучення спектра семейства разностных операторов в работах С. К, Годунова и В. С.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
