Самарский - Введение в теорию разностных схем (947501), страница 56
Текст из файла (страница 56)
(90) З4О ГЛ. УС, ТЕОРИЯ УСТОЙЧИВОСТИ РАЗНОСТНЫХ СХЕМ (е Доказательство. Обозначим Х = 4 !! ~+ У (!л+ ( (/) 4 А) Ус! Ус) Докажем неравенство (91). /= 4 ((!У!!А+2(АУ, Ф)+!!Ф!!А)- 4 ~!У!!Ас — 9(АФ, У)+!!Ф!!А)+ +(0ус ус) =(Ау, У)+!!Ус !(о. Подставим сюда у =у+ ту,: / = !! У !!А + т (АУ, Ус) + !! Ус Рр ~( !! У !!А + т!! У !!А !! Ус !!А + !! Ус !(р' Используем условие (87): !!Ус!!А( !!у,!!р, так что 2 т)с!+ е / (!! У !1„'+ - —, !! У !1„!! У~ !1~+ !! У~ !!'. < (!! У !1„+ !! Ус !1~)'. Отсюда следует первое неравенство леммы. Заметим далее, что / = (Ау", У)+!! У, !(р'.
Подставим сюда У=У тус: /=(А1), У) — т(А1), у,)+!!у,!!'. Пользуясь снова обобгценным неравенством Коши — Буняковского (Ау, у ) ~<!1 у!!А!1У,4 и учитывая (87), получаем А !! ус !!А + !! ус !!р ~~ !! Рл !1~ — )Г !! У !14 !! Ус !!р + !! ус !!р Применим неравенство: аб (~ба'+ (сс/(46). Тогда /~(1 бл!Ф!(А+(1 А(с+е) )!!Ус!!р' Полагая второй коэффициент равным нулю, найдем 6 1/(1+е) и /), ~ !14!1„'. Вторая оценка леммы доказана. Чтобы получить третью оценку, потребуем равенства коэффициентов при !!у!1„' и !!Ус!!рс в (94); это дает )Г~+в-С е УТ+е ' 1/Г+~ с+В+)Т+е' Так как )Т+е<1+е при любом е)0, то 1 — 6) 2, и 2 (! + е) ()! у !!А + !! Ус !!р) 4 (! + е) (!! у !!А + !! Ус !!р) ' Лемма полностью доказана.
4 в клАссы устОйчиВых тгехслонньсх схем 34 с Подставляя (91) — (93) в (88), получаем оценки для задачи (84а): ИУе+сйл(с 1»<мс')сст (ИУоИл<вс+ИУс(0)Иос,с) (95) И Уеь с Ил (с ) + И Ус ((е) Ио (с ) ~» 2Л4с ')оГ (И Уо Ил ссс + И Ус (0) Ир с~с). (96) Для доказательства устойчивости схемы (84) по правой части воспользуемся принципом суперпозиции и будем искать решение задачи (84б) в виде суммы Уе= Хтйе,в п=1. 2 ° ° Уо=О (97) где й,„как функция и при любом фиксированном з = 1, 2 удовлетворяет уравнению (84а) и начальным условиям (0,5ТВ(1,)+В(1,)) ' ' =ср„д„=О. Предположим, что оператор сгс-с сушествует.
Для этого достаточно потребовать, чтобы 17) ЬЕ, Ь ) 0 (см. теорему 4 нз гл. 1, й 3). Так как В~)0, а 1)=В'ЪЬЕ, то для решения уравнения (05ТВ+В)ис=ср будем иметь оценку Иисйр»»ИсрИ „так что И(йс) Ио(с,)- И ~Ь '(с,) В силу (95) получаем Г с+е „ / !+е Ийе+с,в Ил(с 1»~мс Ис е И(йс)в,ойрат »~Мс ИсрвИо-ср 1 Пользуясь затем (97) н неравенством треугольника, получим для решения задачи (84б) оценку о И У.„И„(,1» (Мс ~7 — ",',')', ТИж, Ио с(с 1. (98) в с Суммируем все результаты в виде следуюшей теоремы. Теорем а 8. Пусть выполнены условия (85) — (87) и, кроме тово, 11 — положительно определенный оператор. Тогда схема (84) Устойчива по начальным данным и по правой части, а длч решения задачи (84) имеет место априорная оценка ИУ„~Ил, < е (и,, ", (свсосс.,ь:-свсосс,ч.
в',со,с.. ). соос в с 342 ГЛ„УЬ ТЕОРИЯ УСТОЙЧИВОСТИ РАЗНОСТНЫХ СХЕМ со Предположим, что А и  — постоянные операторы, А и  — самосопряженные положительно определенные операторы. (102) Тогда при условии (87) для (1О!) верна оценка (99) с М(=1. Полагая х = В(у, С = В 'АВ с*, преобразуем (101) к виду хсс + Сх = (р, х (0) = хо, х, (0) = йо. (103) Применяя к (1ОЭ) оператор С-', получим схему С хп + х = С ((р, х (0) = хо, хс (0) = хо.
(104) Сравнивая ее со схемой (84), устанавливаем соответствие С ) В, Е А, С 'ф (р. Условие (87) принимает вид С ' ь 4 ТТЕ или Е в 4 т'С. Воспользуемся теперь оценкой (99). Так как С вЂ” постоянный оператор, то М) = 1: с*„(( у' — '. - (((*(0)с( с* (о)(о- о г,' со о)) . ()оо) о-) учитывая, что х=ВАУ, (р=В '*ф, )!хс(0)(~~-о (С 'хс(0), хс(0)) (В 'А 'В'В 'Ус(0), В 'Ус(0)) П В ус (0) ))„- с ~С 'ф~~ (С 'Ф, ф) (В 'А В 'В 'фо В 'ф) (А фо ф) 1! ф!)Ао-с ° Следствие. Пусть В=Е+ тост>Е, В '<Е. Тогда )(фо)(а-(~~!)(фс! а для (846) верна оценка ~Ь.„(~А(, ) <М, У' ",' 5',.~~ф.)1 (100) о ( Более тонкие оценки, аналогичные оценкам для уравнения колебаний струны (гл. П), можно получить для более узкого класса схем Вун+ Ау = ф, 0 < ! = пт < (о, у (0) = Уо Ус (0) = Уо (101) е1 ф Х КЛАССЫ УСТОЙЧИВЫХ ТРЕХСЛОЙНЫХ СХЕМ З4З запишем (105) в исходных переменных ))У,,)ь(У, ())У)У))) У))чу,)0)))„-,'-2у ))У,))„-,).
))06) у ) Тем самым доказана Теор е ма 9. Если выполнены условия (87) и (102), то для схемы (101) имеет место априорная оценка (108). В частности, для схемы (101) с Р = Е и уч = у)) = 0 имеем (уны(~~1' е Х у руул у-) (ср. с оценками гл. 11, $ 2, п. 2). Рассмотрим в качестве примера схему с весами у, + А (ау + (1 — 2о) у + оу) = )р, А" = А ~ )6Е, б)0. Подставляя сюда оу+(1 — 2о)у+ау=у+от'уи, получим (Е+ от'А) уп+ Ау = )р, (107) т.
е. Р = Е + от'А. Условие устойчивости Р .-э — т'А или 4 Е~((! +е)!4 — о)т'А выполнено при )+е ) 4 т' 1А1 Для явной схемы (о = 0) отсюда следует т~( 2 )У (! + е)1А1 Явная схема (ун= Ух ) для уравнения колебаний струны, согласно этому условию, устойчива при т/Ь(1/ф'(1+в) (ср. гл. П, 5 2). Рассмотрим вопрос об устойчивости схемы (107) с переменным оператором А(1). Будем считать по-прежнему, что А(1)— самосопряженный положительно определенный оператор, так что А )(1) сушествует.
Применим к обеим частям уравнения (107) оператор А-'. Тогда получим схему Руи+Ау=ф, (107*) Р=А +отЕ, А=Е, ф=А )~р. ) з44 ГЛ. УЕ ТЕОРИЯ УСТОЙЧИВОСТИ РАЗНОСТИЬГХ СХЕМ !з Чтобы воспользоваться теоремой 5, надо установить липшиц-непрерывность б(1) по Е Будем предполагать, что опера. тор А(!) липшиц-непрерывен по 1: (1 — сзт) А ( А «((1+ ст) А, А = А (1), А = А (! — т!. В силу самосопряжеиности и положительной определенности оператора А, получаем отсюда (1 — сзт) А ' «( А ' «((! + сзт) А '. Предполагая, что выполнено условие т <!/(2сз), получаем (! — 2сзт) А ' <, А ' (» А ' (» —,— А ' <(! + 2сзт! А Следовательно !((А — А )х, х)~ ...2с,т(А 'х, х) Учитывая затем неравенство А '=Б — ОТ~Е(«/У при о>0, заключаем, что й удовлетворяет условию Липшица по / с постоянной 2сз.
! (ф — /з)х, х) !(«2сзт(/гх, х) для всех хеп Н, если выполнены условия п~ )О, 1 — 2сзт> О. В силу теоремы 5, если д > — т'А, то для схемы (107*) выполняется оценка !! УР ы !!ы! «(М, !! У, !!и! + М, гпах (!! ~з !! + ! фз !! Пользуясь (91) и (92) и учитывая, что Л = Е, получаем !! у„„!1(1.у" +' М, й! у, !!+ !! р,(О) !!.-Ро)+ +1г/ М, гпах !!(А 'Чз)'!!+!!(А гр)г'!1 (108) где Мг > 0 и Мз> 0 — постоянные, не зависяшие от т и Ь. Априорная оценка (108) имеет место при условиях: 1) А (/) — самосопряженный, положительно определенный оператор, 2) А(1) липшиц-непрергявегз по ! с постоянной ср, 4 е клАссы устоичиаых тгехслояных схем (Е+ ТР) у! + Ад = ф* у (О) = уо В = Е+ ТР, (109) ВУ.+ г'Рун+ Ау=ф, у(0) =у„у(т) =у!, (110) было обнаружено, что ответственным за устойчивость является оператор Р (регуляризатор).
Достаточные условия устойчивости имеют простой вид Р)о„А, а,= — — „для двухслойных схем, ! ! 1 2 т)А1 ! !+е Р > 4 А или Р) 4 А для трехслойных схем. (111) Устойчивость или неустойчивость схемы (из исходного семейства) зависит только от выбора оператора Р. С точки зрения теории устойчивости произвол в выборе оператора Р ограничен лишь двумя требованиями: 1) схема должна принадлежать исходному семейству, т.
с. В =Е+ТР)0 для (109), Р=Р')О для (!10), 2) должны быть выполнены условия (11!). Для получения устойчивой схемы заданного качества необходимо добиться, чтобы она имела аппроксимацию заданного порядка и была экономичной, т. е. для решения уравнений (Е+ ТР)1) = )с (для (!09)) или (В+ 2ТР)у = Е (для (!10)) требовалось бы минимальное, в некотором смысле, число действий. 3) т< !/(2сз), 4) и) — — и п)0.
!+в 4 т' 1А!! 9. О регуляризации разиостных схем. Теорию устойчивости разностных схем, изложенную в этой главе, можно использовать для формулировки общего принципа (принципа регуляризации, А. А. Самарский [20)) для получения схем заданного качества, т. е. устойчивых, обладающих аппроксимацией и удовлетворяющих дополнительному требованию экономичности (минимума арифметических действий, достаточных для решения на ЭВМ получающихся разностных уравнений). Требование экономичности применительно к нестационарных! задачам математической физики обычно означает, что число арифметических действий, затрачиваемых для решения разностных уравнений при переходе со слоя на слой, пропорционально числу узлов сетки ыь (подробнее об экономичных схемах см.
гл. ЧП). При записи двухслойных и трехслойных схем в канонической форме З4В ГЛ. И, ТЕОРИЯ УСТОЙЧИВОСТИ РАЗНОСТНЫХ СХЕМ !о Заметим, прежде всего, что если схема (!09) или (!10) с некоторым оператором )т устойчива, то и схема с оператором !с )~ от' также устойчива. Обычно при построении разностных схем поступают так: пишется сначала схема, обладаюшая аппроксимацией нужного порядка и экономичная, после чего исследуется ее устойчивость. Основная идея регуляризации разностных схем заключается в следующем: схемы заданного качества надо искать в классе устойчивых схем, отправляясь от некоторой исходной схемы и заменяя ее, путем изменения оператора !т, другой схемой нужного качества, принадлежашей классу устойчивых схем. Многие приемы построения схем частного вида можно трактовать как простейшие приемы регуляризации. Запись схем в канонической форме удобна не только для проверки устойчивости, но и для оценки порядка аппроксимации.
При Е в (109) стоит множитель т, а в (110) — множитель то. Поэтому, если при изменении 11 в случае двухслойной схемы остается выполненным условие !Лиг)! = 0(!) (и — решение исходного дифференциального уравнения), то погрешность аппроксимации при изменении тт' меняется иа величину 0(т). В случае трехслойных схем условие Яигг!~= 0(1) гарантирует, что при регуляризации будут получаться схемы, погрешность аппроксимации которых отличается на величину 0(то). Поэтому трехслойными схемами удобно пользоваться для получения устойчивых схем второго порядка аппроксимации по т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
