Самарский - Введение в теорию разностных схем (947501), страница 53
Текст из файла (страница 53)
и' о Так как /, монотонно неубывающая функция, то в силу леммы 5 имеем ди+, (е'а'и/и или с аи 11 у 1)2 ( аааи 11 (р + е ~~~~ у и'=и со = (с")о/(еб), б = с' — с, ) О. Постоянную с* выберем так, чтобы постоянная со была минимальна. Из условия минимума функции /(х) = хо/(х — с„) следует, что х = 2с,; при этом /(2с,) = п1(п /(х) = 4с„и со = 4с„/е. Тем самым доказана устойчивость схемы (1) в случае А )~ )~ — с,Е. При этом важно отметить, что 1) достаточное условие устойчивости имеет вид В =» еЕ + О,бтА', 2) схема устойчива при любых т.
Рассмотрим, например, схему с весами. Тогда В=Е+отА' и условие В )~ ЕЕ + 0,5ТА' выполнено прн и ~ — — —,, ~1 А'|! (1~ А ~1+ с'. 11. Априорные оценки в случае переменного оператора А. До сих пор мы предполагали при изучении устойчивости в //и, что оператор А постоянный, т. е, не зависит от й Если А(/) = А*(/) ) 0 зависит от Т, то будем требовать, чтобы выполнялось следующее условие липшиц-непрерывности А (/) по 11 ~((А(/) — А(/ — т))х, х)1(~тса(А(/ — т)х, х), (62) для всех х ~ //, 0 < / ( пот, где са — положительная постоянная, не зависящая от и и т.
Исходное семейство схем определим требованиями А(/) = А'(/))О для всех Тен оо„ А (/) липшиц-непрерывен по (63) В(Т)) 0 для всех /еи оа,, Как и ранее, предполагаем существование оператора В-а(1), что означает разрешимость задачи (1) при любых входных данных уо и ар(/). Это семейство, очевидно, содержит исходное семейство, введенное в и.
2. 1. клАссы устоичивых двухслойных схем ЗЗ1 Исследования, проведенные методом энергетических неравенств, показывают, что условия В(1)) О,бтА(г) для всех 1ев |в„ (64) В(1))ЕЕ+0,5тА(1) для всех 1яы„О(в~~1, (65) оказываются достаточными для устойчивости схемы (!) с переменными операторами А(1), В(1). При этом сами нормы 11 |!д, 11 11, оказываются зависящими от й А 1|У11„='зу!~„,в='у'(А(1)У, У), 11ф1~, = Ф (А '(1)|р, |р). Поэтому надо говори|ь об устойчивости в НА|11 (вместо НА) и Нвш. Исходным для исследования является энергетическое тождество (13), где А = А (1). Чтобы получить рекуррентное неравенство, преобразуем выражение (АУ У) =(А(г)У(г). У(г)) =(А(г — т) У(г), У(г))+ +((А(1) — А(1 — т))У(1) У(1)) н оценим второе слагаемое в правой части при помощи (62): (А (1) У (1), у (1) ) (~ (1 + тсз) (А (1 — т) у (Г), У (1) ).
Подставив эту оценку в (13), получим энергетическое неравенство: 2т ( (В (1) — 0,5тА (1) ) У| Ус) + й' (1+ т) е (1 + тсз) |в (1) + 2т (ф (1), У|), (66) где Е (1+ т) = (А (1) У (г + т), У (1+ т) ) = И У (1 + ) П~| 1|1 Если выполнено условие (64), то из (66) при ф = 0 следует; д'(г'-1-т)((1+тсв)е| (г) ~(е'*||в'(т) пои 1~)т. (67) Энергетическое тождество при 1 = 0 записывается в виде 2т ( (В (0) — 0,5тА (0) ) у|, У|) + Ю (т) = 1~ у (0) ~!'„1в1 + 2т (ф (0), У| (0) ).
Отсюда при условии (64) и ф = 0 получим г(.) <И У(О) (р„„г (68) В результате (67) и (68) дают для задачи (1) при ф = 0: 1(У(1+т))1А | ~~ М111 У(0) 1(А, Проведенные выше рассуждения показывают по-существу единственное принципиальное отличие случая переменных оператооов от случая постоянных операторов. 322 ГЛ 41. ТЕОРИЯ УСТОПЧИВОСТИ РАЗНОСТНЫХ СХЕМ нз Суммируем результаты в виде двух теорем — аналогов теорем7иб. Теорема 12. Пусть выполнены условия (63), (64) и А— положительно определенный Оператор, Тогда для решения задачи (1) верна оценка )1 У (1+ т) Нл 11) о= )54111 У (О) 1)л,о) + +м, гпах (~)чр(р)1)„1, +1)рс(р))1, ), (69) где М) > 0 и Мо > 0 зависят только от со и 15.
Теорем а 13. Пусть вьто.чнены условия (63) и (65). Тогда для схемы (1) верна априорная оценка )ОО-:- )))„о,<ОО,())О)ОИО„+ 4ТС 4 * ИО)р)))), 114) зо о<с <с где М вЂ” ео,осси 1 Сравнивая (69) и (70) с (43) и (45), видим, что оценки (43) и (45) для случая постоянного А получаются из (69) н (70) при М) =1.
Если вместо (64) ставится условие В~)2 (1 — сот)А или В ~ )) А, где с, = сопз( > 0 не зависит от т и й, то оценки (69) и (70) сохраняют силу при достаточно малом т (то(сч) (т,(1))(2сч)). а постоянные М, и Мо зависят только от с,, с, и 1о На доказательстве этого факта останавливаться не будем. 12.
Пример. Для того, чтобы пользоваться изложенной выше общей теооией устойчивости для конкретных разностных схем, необходимо: 1) привести двухслойную схему к каноническому виду (!), т. е, выделить операторы А и В; 2) ввести пространство сеточ. ных функций Н), и исследовать свойства А и В (положительность, самосопряженность и др,) как операторов, заданных на Нь; 3) пооверить принадлежность схемы к исходному семейству схем, а также проверить выполнение достаточных условий устойчивости (64) или (65); 4) если эти условия выполнены, то данная схема устойчива и для нее справедливы априорные оценки, например, (69) и (70). Первый шаг состоит в приведении схемы к каноническому виду, Заметим, что полученные выше достаточные условия откоывают возможность написания устойчивых разностных схем сразу в каноническом виде. В качестве упражнений на приведение схем к каноническому виду можно рекомендовать различные схемы (например, для З 1.
КЛАССЫ УСТОЙЧИВЫХ ДВУХСЛОЙНЫХ СХЕМ 323 12! уравнения теплопроводности), которые имеются в книгах В. К. Саульева (1] и В, Вазова, Д. Форсайта [!]. Рассмотрим здесь лишь один пример для уравнения теплопроводности — — 0<х<1, Г)0, и(х, 0) =из(х), и(0, г)=и(1, Т)=0. Она записана в виде ! У иы = (аУ! 1, !+1+ (1 — а) У1 1, ! + У; ы, ! — (2-в-а)УВ !), (71) где в = /12/т, а а — параметр. 1) Приведем схему к каноническому виду. Обозначая У1, = уь уь;+1 = У1, перепишем (71) сначала в виде (в + а) У! = ау1-1+ (1 — а) У1-1+ У!+1 — (2 — в — а) уп (72) Учитывая затем, что У,,=-йУ„1+У, У„,=йУ„,+У, йУ„1-йУ21=3~7,„, У,,=У,,+тУ...=У,— йУХ,+ТУ,,— йтУ21 ! подставляя зти выражения в (72) и опуская индекс 1', будем иметь вту, = йзу2„— айтухп (73) После деления (73) на /12, получаем ат У1+ А Уги = У2~. (74) 2) Пусть НА — пространство сеточных функций ь)А (примеры 1 и 2, гл.
У, 3 1, п. !), заданных на вь = (х1 — - 1/1, О <1< /У') со и-1 скалярным произведением(у, о)= ~ ур,й. Операторысхемы Ау= ! — у„„и /Х1У= — „у„, согласно гл. Ч, $ 1, п. 1, являются положительно определенными операторами, причем (/71у, у) = = 0,5(АУ,У). Оператор А самосопряжен, !!А]~<4/32. 3) Операторы А и /11 постоянны. Схему (74) удобно записать в виде (Е + ат/71) у, + Ау = О, (75) так что В = Е +.ат/21, В книге В. К, Саульева (1] предложена асимметричная схема, заданная на сетке йьт=йь Х й, вА=(х1=Й,О(~1(Лг], й =(!1=/Т,О(/(/2).
324 ГЛ. У1. ТЕОРИЯ УСТОЙЧИВОСТИ РАЗНОСТНЫХ СХЕМ и Условие В)~0,5ТА выполнено при а~ 1 — 2/(т!!А!!). Действительно, для любого х ~ П (( — 0,5тА) х, х) = ((Е + ать! — 0,5тА) х, х) = ( (Е + 0,5т (а — 1) А) х, х), т. е.  — О бт А ) Е + О 5т (а — 1) А ) ( — ! + О 5т (а — 1)) А ~ )О. ! 4) Так как !!А!!< 4/йо, то схема (71) устойчива в НА (в сеточной норме )р'о) при ао а>1 — —. (76) Наряду со схемой (71) В. К.
Саульев (!] предложил другую асимметричную схему, которая после приведения ее к канонической форме запишется так: ! (Е+ ать,) у!+ Ау О, где Еоу = — — „у„. Так как (Я1у, у) - (Еоу, у), то эта схема устойчива при том же условии (76). Из (76) видно, что асимметричные схемы безусловно устойчивы при а -1. й 2.
Классы устойчивых трехслойных схем 1. Постановка задачи. В этом параграфе будут получены достаточные условия устойчивости и априорные оценки для трехслойных схем. Мы пользуемся канонической формой трехслойной схемы Вд.+ ЕРЙ+ Ад Р(1), д(0) Уо, д(т)=д„) (1) 0<!=Йт<$о. И=!, 2, ..., Ио — 1 /о пот. Здесь уо и у! — произвольные заданные векторы из Н, 1р(/) — заданная произвольная абстрактная функция ! ~ го, со значениями в Н; А, В и Š†линейн операторы на Н. Зависимость у(Г) =уот(!), 1р(Г)= !рот(/), А(!)=Аот(/) В Е ро и у! от И и т явно не указываем.
Напомним обозначения у = у (1„) - д„, й = р (!„ + Т) = д„+„ у = р (1„ — т) - д„ и р! = (р — у)/т, у1 = (у — у)/т, у. (9 — у)/(2т), и =(Ф-2р+р)/то $2. клАссы устаичивых тгехслаиных схем 325 По аналогии с 5 1 решение задачи (1) можно представить в виде суммы у = у + у, где у — решение однородного уравнения Вур+т')ЦУг,+АУ=О, 0<1=пт<1„, У(0)=ум У(т)=уп (1а) а у — решение неоднородного уравнения с однородными начальными данными Ву. + т2РУИ+ Ау =~р(1), 0<1= пт< („у(0) =у(т) =О. (16) Перепишем (1) в виде (В + 2т)Ц) у„„= Ф„, Ф„= 2 (2)Ц вЂ” А) ту„+ ( — 2 т)Ц) у„, + 2т<р„(2) (А, В и )Ц, вообще говоря, переменные, т.
е. зависят от 1„). Отсюда видно, что задача (1) разрешима, если существует оператор (В + 2т)т)-'. В дальнейшем будем всюду считать, что это условие выполнено. Более того, будем предполагать, чта оператор В+ 2т)т положительно определен. (3) При изучении устойчивости трехслойной схемы будем пользоваться функционалом (составной нормой) вида ЦУ.„1Ц=11У.+У.„Ц<п,+Цу., -У.15и (4) где Ц 1~ы и Ц ° Цп, — некоторые нормы на линейной системе Н. Под У„+, понимается упорядоченная пара векторов у„и у„+и У„+1 = (у„уя,~), так что У„+, + У„е, = (у„+у„, у„ы+у„+~), ЕСЛИ Уя Ы (Уя Уя~|) Яуяы (Яуя ЯУя+) Я ЧИСЛО Нетрудно видеть, что функционал (4) удовлетворяет всем аксиомам нормы, а именно: цау„„ц= ~ а1ц у„+, ц, ~1УяыЦ)0 для любых у,ен Н, уяыенН, и 11У„.„Ц=О только при у„= у„+, — - 0; ~1 Уя ы + У„„, Ц (Ц У„+, Ц+ Ц У„+, !1.
Определим теперь понятие устойчивости для (1). Трехслойная схема (1) называется устойчивой, если сушествует норма (4) и при всех достаточно малых тч..-тч и 161~'Ьч можно указать такие положительные постоянные М, и М2, не зависящие от т, 6 и выбора ум уь ~р(1), что при любых у„у„ ~р(1) и всех 1= т, 2т, ..., (и,— 1)т для решения задачи (1) справедлива оценка Ц У (1+ т) 1~и ( М, 11 У (т) )4ч + М, гиах ~) ~Р (У) ~~2и (5) о<г<г или оценка ЦУ(Ю+т)ПО,~(М,ЦУ(т)ДО.,+М, щах ~ЦУ(У))1я,+~ сР,(У)/Ц,), (6) З26 Гл, и!. теОРия устоичивости Рлзиостиых схем [2 где !! ((<2! — некоторая норма на линейной системе Н,!!У(1+2)((,н и !!у(т)цч определяются по формуле вида (4), так что !! т'(1+ т) !Гп! =(! У(1+ т)+ У(1) !!! !+ !(У(1+ т) — У(Ф) !1„Р (7) !! у (т) !!<.ч = !! У! + Уо )!(!2) + !! У! — Уа !!(!2) (В) !! !1~ зч (! !У м — некоторые нормы на Н.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
