Самарский - Введение в теорию разностных схем (947501), страница 49
Текст из файла (страница 49)
Сравнивая это уравнение с (4), видим, что В =Е+отА, А= — Л, Так записывается в каноническом виде двухслойная схема с весами. Разрешим уравнение (4) относительно у = р„ьь Если существует оператор В ', то можно написать !) = Яу+ тф, Я = Š— тВ 'Л, ф = В 'ф. (6) Сравнивая (6) с (2), видим, что такая запись всегда возможна, если положить В=ВР— В„Я= 2 (В,+В2), А= — (В,+В, +В,), (7) ! ! Введем обозначения У~ У! р 2У+У Уй= р у У) = 2, и наряду с (6) будем под канонической формой трехслойной схемы понимать уравнение Ву;+т2ВУ-„+Ау=ф(!), О<! =птее 2а„у(0) =-У, у(т) =Уг (8) П р и м е р ! .
Рассмотрим трехслойную схему с весами у;+ Л(О,У" +(1 — о, — о2)у+о~у) =ф. (9) Оператор 5 называется оператором перехода (со слоя на слой). 4. Канонические формы трехслойных схем. Трехслойную схему (2) будем записывать в канонической форме В ""+' "" '+Я(уаы — 2У„+У„,)+АУ„=ф. (6) 2чв гл. ч, окщив эогмхлиговки. опввлтогноглзностпыа схемы 1о Приведем ее к каноническому виду, Используем формулы п,у+(1 — о, — п,)у+о,У" =У+(и, — п,)ту;+ ' з ' т'Уи. Подставляя это выражение в (9), запишем схему с весами в канонической форме (8), где В = Е+ т(п, — по) А, В = 0,5 (а, + и ) А. (1О) Переходя от (б) или (8) к (2), получим (В + 2тВ) уьы = 2т(2 — А) у„+ ( — 2тР) у„, + 2ту„.
(11) Отсюда видно, что задача (8) разрешима, если существует оператор (В + 2тВ)-1. При этом у„~, выражается через у, и у, л на двух предыдущих слоях. Поэтому требуется задание двух начальных векторов уо и у, (или уо = у(0) и Уо = Уо(0) ). 5. Понятие устойчивости. Введем понятие устойчивости для двухслойных схем. Под двухслойной схемой мы понимаем множество операторно-разностных уравнений (4), зависящих от параметров й н т. Операторы А и В считаем заданными на всем пространстве экл.
Будем рассматривать поэтому множество решений (ул,(Г)) задачи Коши (4), зависящих от входвых данных (~рл (1)), (уол). Схема (4) называется корректной (корректно поставленной), если пРи всех достаточно малых т-ьто и 1а1 вайо 1) решение задачи (4) существует и единственно при любых начальных данных уол он А и правых частях цл. (Г) яоол для всех Г ен оо„ 2) существуют такие положительные постоянные М, и Мм не зависящие от й, т и выбора уоь рл„что при любых уол онууь орл (1) явь 1ен оот для решения задачи (4) справедлива оценка 1)ул (1+ т)1~(1л)(М,1!дол $,ол+Мо гпах ~1 рой')11(ол), (12) (л) о<с <~ где (~ )10,), 11 ° 1)(,о) и 11 11(о„) — некоторые нормы в пространстве аул.
Неравенство (12) выражает свойство непрерывной зависимости, равномерной по й и т, решения задачи Коши (4) от входных данных. Это свойство и называется устойчивостью. Будем называть разностную схему абсолютно устойчивой, если она устойчива прн любых т и й (а не только при достаточно малых). з х ОпеРАТОРНО Р»зиостные схемы Аналогично вводится понятие устойчивости для трехслойной схемы. Однако при этом следует рассматривать пару векторов У1+' =(у!, уз+') с нормой вида ()У!+~)~-' 1„!+ „г-Р~Р +»„!+~ „г~Р где (! !( м !! !$ ° » — некоторые нормы в Я».
Нормы вида (13) возникают при изучении устойчивости трехслойных схем методом энергетических неравенств (см. гл. 11, з 2). Таким образом, трехслойная схема (8) называется устойчивой, если при любых начальных данных у», у1 и любых правых частях ф(!) для ес решения справедлива оценка !! У»Р(Г + т) ~!(1 ! ~ ~М~ !! У» (т) 1( о»+ Мз гпах !! ф»Р(! ) 1!(»»), (! 4) у =3 у +т~, ~„=В„'ф„, П=Ю,!, ..., у»~Я», (15) где 5„= Š— тВ„~ЛР— оператор перехода. Оператор 5 зависит от ! = Пт, й, т.
(16) где М, и М» — положительные постоянные, не зависяшие от Ь, т и от выбора рм рп ф(Г) Основная задача, которая стоит перед нами, заключается в следуюшем. Предположим, что уравнение (4) однозначно разрешимо относительно и„„, при любых у„и р(1). Какими свойствами должны обладать операторы А и В, чтобы схема была устойчивой в смысле данного выше определенияг Иными словами, надо найти достаточные условия устойчивости схемы (4) и получить априорные оценки вида (!2). При этом достаточные условия должны быть удобны для практической проверки в случае конкретных разностных схем, соответствующих уравнениям математической физики.
Устойчивость разностных схем будем исследовать вне связи с аппроксимацией и сходимостью. 6. Достаточные условия устойчивости двухслойных схем в линейных нормированных пространствах. Исследуем теперь в обших чертах вопрос о достаточных условиях устойчивости двухслойных схем в линейных нормированных пространствах. Более детально это исследование будет проведено в гл. Ъ'1 для случая, когда Я» = В» — всшественное гильбертово пространство.
Всюду предполагается, что задача Коши (4) разрешима, т. е. сушествует обратный оператор В-'. Поэтому схему (4) можно записать в виде Пользуясь рекуррентной формулой (18), найдем Уло~ = Тл+ь оуо+ Л'о тТльь ГоА Г-о (17) где Тл+,! = 5«5 -1 .. 51о35Г Т„о3, о = 5л5« 3 ... 535о, Тле3, ль3 = Е. Оператор Т„+3,; называют разрешающим оператором. Неравенство треугольника дает л !! Ул+3 !!333 Еч !! Т +ь о !!(! Уо !!~33 + Х т !! Т еь Г+~ )!!! 11|!333 1-о (18) гДе !! !!О3 — любаЯ ноРма в заь. Из (18) видно, что имеет место следуюшая Теорема 1. Для устойчивости схемы (18) достаточно, чтоб3ы выполнялось условие !! Тл т!1:М, при любых 0 ~(! -. и ~~по. (19) При этом для решения задачи (3) верна априорная оценка 33д.„33О, <л(33д33„;- л 33», 'л33и) л .„о «ь ло3 Г-о Заметим, что из (20)следует (12) при Мо = М31о.
Те о р ем а 2. Для устойчивости схемы (3) достаточно, чтобы для нормы ее оператора перехода 5, выполнялась оценка !!5Г!!~(1+сот для всех )=О, 1, ...,по — 1, (21) где со'-ь 0 — постоянная, не зависягцая от т и й. При условии (21) верна априорная оценка (20) с М, =е'ш. Для доказательства теоремы достаточно убедиться в том, что из (21) следует (19): )! Тл, !! = !! 5»,5»,... 5,5; !! ~~ !! 5л-3 !!!! 5л — о !! ° ° !! 5Г+3 ((!! 5Г !! ~~(1 + сот) (~ (1 + сот)л:. (! + сот)л' » ~е""~' = ел ' = Мь Часто высказывается утверждение: «из устойчивости по начальным данным следует устойчивость по правой части», В каком смысле следует понимать это утверждение? Будем говорить, что схема (4) равномерно устойчива по начальнтим данным, если устойчива задача Коши ул+, —— 5«ул, и = 1, 1+ 1, ..., задан уп 1 = О, 1, ..., и (22) ВЦВ ГЛ.
У, ОВШИЕ ФОРМУЛИРОВКИ. ОПЕРАГОРИО.РАЗИОСТНЫЕ СХЕМЫ 36 299 ф т ОПЕРАтОРно РАзностные схемы при любом 1', т. е. 11у„)1,»(М,1)уг(~» при всех 0(1<п((пы (23) где М~ > 0 — постоянная, не зависящая от т и и. Если выполнено условие равномерной устойчивости, то для разрешающего оператора Т„,; справедлива оценка (!9). Следовательно, в силу теоремы 1, для решения задачи (4) выполнена оценка (20). Таким образом, имеет место Теорем а 3. Если схема (4) равномерно устойчива по начальным данным, то она устойчива и по правой части при условии согласования норм 11 р11„,=(~В-' р),». При этом верна априорная оценка (20).
Заметим, что условие (21) достаточно для равномерной устойчивости по начальным данным. Рассмотрим двухслойную схему с постоянным оператором перехода у„„, = 5у„ + т)„, 1'„ = В <р„, п = О, 1, ..., задан у,. (25) Т е о р е м а 4. Пусть двухслойная схема (4) с постоянным оператором переходи 5 устойчива по начальным данным с некоторой постоянной М|> О. Тогда она устойчива и по правой части, причем 11~р119Е = 11В '~р11<», и верна оценка (20) с той эке постоянной Мь Д о к а з а т е л ь с т в о. Согласно теореме 1, достаточно показать, что 11Т„, Д < М~ для любых 0 (1 4п ~п,.
Так как5 — постоянный оператор, то Т„,, = 5„,5„,... 5! = 5" ' = 5", й = п -1 > О. Из устойчивости схемы (4) по начальным данным следует, что при любых у, ~ О 1(уа(1н>~ М, 1)уе~ии т. е. 11 5"-' уь 11„, < М, 1! уь 1~», 115"-'11 =МР и, следовательно, Сделаем выводы, необходимые для дальнейшего. 1. Если оператор перехода постоянен, то исследование устойчивости по начальным данным сводится к оценкам нормы оператора перехода, ЗОО ГЛ.
У. ОБЩИЕ ФОРМУЛИРОВКИ. ОПЕРАТОРНО-РАЗНОСТИЫЕ СХЕМЫ (З 2. Условие согласования норм для правой части и решения ))р)),н=1!В ' Ц является весьма жестким. Если ))В-')) ( сь где с~ ) 0 — постоянная, не зависящая от й и т, то ))гр)~~,~-(с,Ьр))~ц н вместо (20) получим оценку )) У((+т)))п (М,() У(0)))о + М, ~Р ~т)) сР(У)))ии Мз= М сц (26) В гл.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
