Самарский - Введение в теорию разностных схем (947501), страница 47
Текст из файла (страница 47)
Определим аналогично примеру 1 и. 1 операторы А1 и А2. А,у = — Л,у, А2у = — Л,у, где Л„у = Л у при у е= 1»», Л» действует из й» в 11». Задача (47) сводится к уравнению Ау (А, + АŠ— (х, + х,) А,А2) у = 1р, у ен й» вЂ” — Н, ф ен»1» — — Н, (48) где х, =/1;-/!2, х,= 12/12. Операторы А, и А,, самосопряженные, (А,у, о)=(у, А,о), а=!, 2, положительно определенные, в А,)-)ЕЕ, и перестановочные.
Поэтому А,А2=(А1А2)')О. Учитывая, что А,А2 ~©! А, (!А,„А,А, = А,А, ~(!! А, !!АН где !!А,!!<4/й~„а=1, 2, получаем (х1 + х2) А, А2 ~ х1 )! А, !! Ах+ хх!! А2 )! А, < з (А, + А2). оай гл. ч. овщив эоэмхдиэовки. опагатогно.глзностиыв схимы Отсюда следует, что 2 з Аз<А»(.4о где Аз=А,+Аз. Операторы А, и А перестановочны, Ао = Ао> О, А = А ) О. Поэтому для уравнения (48) справедливы оценки (45) н (46): 11 Аоу1г =11 А,у11г+2(А,Агу~ у)+11 Агу11г » ~4 11Ф11з (40) где ~ А„у ~ = ~~ у„„~, а = 1, 2, (А,Агу, у) =)уг г]~',, № № 11 о]1' =,Я ~~'„~~ о' Ь Ь и ~ь-~ Пользуясь теоремой вложения (гл. 1Ч, $2), получаем 11 у11,(М11 р11.
(50) Из этой оценки следует равномерная сходимость со скоростью 0(1Ь1') схемы (47) к решению задачи Дирихле для уравнения Пуассона. Аналогично убеждаемся в справедливости оценки (50) для схемы О (1Ь1") в параллелепипеде. В этом случае А А, + Аз+ Аз (х~+хг) А~Аз — (х~+хз) А~Аз (хг+ хо) АгАз~ 1 имеют место оценки — Ао ( А ( Ао, где Ао — — А~ + Аг + Аз, так что у = 1/3. Оценка (50) получена В.
Б. Андреевым 12). Покажем как вычисляются негативные нормы вида 11 ~р 11л-~ —— (А 'чз, чз) ' для некоторых разностных операторов. При вычисчении таких норм будем использовать тождество 11 р 11А (51) где у есть решение операторного уравнения (37). Рассмотрим первую краевую задачу (~О„,- — гоз, *,-й, ~-1, 2, ..., И-!, зу-!, ) уо ум Введем пространство функций Н» ь определенных на сетке взо=тх<=1Ь,(=0, 1, ..., М) и равных нулю при з=0,1 М.
Как обычно, У-! (у, и)- Х уоо,Ь. 3 з 11 4 1. РАзностные схемы кАк ОпеРАтОРные уРАВнения Раз и правая часть ф есть вектор р=(0, р„р„..., р„„О). Ранее было показано, что если а1)~ с1)0, то оператор (53)— самосопряженный и положительно определенный, так что оператор А-' существует. Лемма 2. Норму1ф(~А-~ для оператора (53) можно представить в виде И 1! — = ~~)~~ — 5 —,~~~ — 5,,~~ —, (54) 1 1 1 еде 51»ейфь, 1=2, 3, ..., Н; 5,=0. А-1 В частности, для оператора (53) с а1 асс 1 имеем !! ф 1~'„= Х й511 — Х й5, .
Д о к а з а т ел ь с та о. Представим правую часть уравнения (52) в виде 1р1 = 5,О 1 = 1, 2,, й1 — 1, где 51 задано соотношениями (55). Из уравнения (ау, + 5)„, = О, 1 = 1, 2, ..., )у — 1 (56) получим тогда, что а у„, + 5, С сопз1,' ! 1, 2, „ й1. Для нахождения постоянной С поделим (57) на а1 и просуммнруем по 1 от 1 до й1: 57) '~ —," 5, =С,'~„— ", т. е. с-(7' —." с,)~~ — ". Далее, согласно (51), имеем Ж-1 в !! ф (~»-1 (у.
5А) Р1 у1 (51+1 - 51) - — Х йуа 151 ° 1 1 1 Задачу (52) можно записать в виде операторного уравнения (37), где у (О,у1, . ув-ь 0), оператор А: Нв-1- Нв-1 определен тождествами (АУ)1 — (ау )„,, 1=1, 2, ..., й! — 1; (Ау), (Ау)1, О, (53) 554 гл. к овшнв фоемтлниовкн. онееатоено-глзностныи схимы и Учитывая уравнение (57), получаем отсюда %з /~ з %з /~ 1~~р~1 -~= —,~ — (С вЂ” 8)8 =~~ — Я-С,~ — Б,= А Леа / а а / ! 1 ! / =х-:,'-(х-.', )'~ч-.', что и требовалось. Заметим, что тождество (54) справедливо и в случае, когда функция 3 определена следующим образом: М-! 8/= — ~ЬРю 1'=1, 2, ..., й/ — 1, Зи О.
ь М-! /и-1 1,2 11 ч ~1; „= Х йЯ ьр,|, либо л-! / г 12 11~19 „- Х йЯйр,), Рассмотрим теперь третью краевую задачу (9). Введем также, как и в примере 2 п. 1, пространство Ни+и состоящее из функций, заданных на сетке й„=(х, =й, 1=0, 1, ..., Ф, Й/1/ Ц, со скалярным произведением и-! (У, о)- Х У/о///+9.5й(Уооо+Уиои) 1 / Задачу (9) запишем в виде (37), где 1 1 ~ 0,5й рн ~н ' ' '' ~и ' 0,5й рт~' 1 бк), (Уд ! а!УО) 1 о, — У„„,, 1'=1, 2, ..., /'/ — 1, 1 0,55 (Уа,и+ 2М (59) (ЛУ)с = Следствие, Если а,>с, >О, то для оператора (53) имеет место оценка 11 ч ~1л — ~ —.,' !1 р11, „, (58) рс, где 4! э !.
РАзностные схемы кАк ОпеРАтОРные уРАВнения эаь Л е м ма 3. Норму [[Ф[[л ! длл оператора (59) можно представить в виде ~ м ,г где 1-! 5! = 0,5йфо, 3! = 0,5йфо + ~ 1!ф„ ! = 2, 3,, „ й!, А-! м-! Зм.~.! Огбй (Фо+ фм) + ~л~ иЬФА ° А ! Доказательство. Введем точки х ! — Ь, хм+! = 1+ й и положим у(х !) = у ! = О, у(хм+!) = уо+, = О. Тогда левое граничное условие в (9) можно записать в виде = (уо~ где ао = Ьо!, Фо =О,бфо Точно так же правое граничное условие в (9) принимает внд о +,(у, -ум) — (у — у, ) Ао Фмв где ам+! = лог, Фм =' 0,5Ф» Таким образом, задача (9) эквивалентна первой краевой задаче — (ау,),=ФР о=О, 1, ..., й(, у, у„+,=О, (61) где фг =фи„ю'=1, 2, ..., !»' — 1; Фо 0,5фо> фи=0,5фм, а,=1, о=1, 2, ..., !»'1 ао — -Ьв„ам+! Ьаг. Заметим теперь, что если у, — решение задачи (9), то м-! [А '!у, Ф) =[у. Ч4=0,5Ь(уофо+умфм)+ Е угф!й= м-! м м — ~ Угф!й+ Ь(Уоф~+Умфм) = ло',! ЬУ!ф! с~! (4 ф) ф~й.
! ! ! о г-о Поэтому применяя к (61) лемму 2, получаем (60). Следствие. Если а,)с,>0, а,) с, >О, то для оператора (59) справедлива оценка м !! ! »г ! м-! [[Ф4А-! ~~ ~л~ Ь ~А~АЬЬ+ 0>бйфо + —, ~ ЬФА+ О 5й(фю+ Фм) ° !е! А ! А-! яаа Гл. ч. ОБщие ФОРмулиРОВки. ОпеРАтОРНО.РАзиОстиые схемы и П р и м е р 2, Пусть Ау= — (ау„) +е(у, У,=У„=О, где а) с,)О, е()О. Тогда А= А') 8С,Е и (Ау, у) = (а, УЦ + (д, у') ) с, ~ УД» = с, (А„у, у), А,у = — У»„, т. е.
Ч= со Поэтому, в силу (43), для задачи (ау) — е(уг= — ~р;, 1=1, 2, ..., Н вЂ” 1, у»=у,ч=О (62) верна оценка гМ! ~ е| ~1 р ~~А или, учитывая следствие из леммы 2, (УД< —,И)( „. Применяя теорему вложения (см. лемму 1, гл, 1, 5 2), имеем оценку 1У1С вЂ”вЂ” игах )уг!(~ ~, 114г~~<-г> Эта оценка была получена в гл. 1, $2 методом энергетических неравенств.
Оценкой (43) можно пользоваться, если А — разностная аппроксимация оператора Р е — Еи = — ~ ~„ (Йаа д ) ~~ ~йаазаза ) У,~~ $а, а ~Г = О а,ага,а~а! область»» — параллелепипед, à — граница 6, сетка ага равномерна по каждому х . В этом случае„согласно гл. 17, $1, "=-Х-,'1(..~ ( .н. Р еу ~ух» ° а ~ аа"а Рассмотрим теперь операторы специального вида (дивергентные нли консервативные) А = Т'ЗТ, (63) где Т, 3, Т" — линейные операторы: Т действует из Н в пространство Нг со скалярным произведением (, ) и нормой )) о1)= ~(о, о1, 5 действует из Нг в Нь а Т' — из.
Нг в Н, о и яхзностныв сквмы как опвгхтоаныв кпхвнвння 261 Операторы Т н Т' сопряжены в следующем смысле (Ту, о]=(у, Т'о) для всех уен Н, цен Нь Пусть Б)~с|Е, с, > О, тогда (Ау, у) =(ГБТУ, у) =(БТУ, Ту]> с,]1 Ту]~', т. е. А >уАо, где А,=Т'Т, у=си Оператор А, самосопряжен, (Аоу, г) =(Т'Ту, г) =(у, Т'Тг) =(у, .4 г).
Поэтому имеет место оценка (43), которая, если существуют Т-' и (Т*)-', принимает вид 1~ Ту]~ < — ']](Т*)- ф1~. (64) В самом деле, (~у1'„-(А,у, у)-1ТУ]]',1р~)',=(Т-'(т) 'ф, ф)-](Т*) 'ф]]'. хо Оценка (64) упрощается в том случае, когда правая часть ф уравнения (37) имеет специальный вид, ф = Т'и и А = Т'БТ. Умножая (37) скалярно на у, получим (Т'Бту, у)-(Т'и, у) =(Ту, и].
Отсюда и из неравенств (Т БТУ, У) > с, ~1 ТУ]]', (ТУ, т1] ( )! ТУф ~~ Ц следует оценка — о на (а,У„-, — а,у ), г' = О, 1 — (ау„-)„, о 1,2,..., Ф вЂ” 1, 1 Од» (алу„, + а Уу) (66) (Ау), = 1)ту]]~ ' ~~ Д. Отметим, что в этом случае не требуется существования оператора (Т")-'. Приведем пример построения разложения (63). Пример 3. Третья краевая задача: (ау„-)„-ф, 0<к =Й(1, а>с, >О, 1 а,у-„, =а,уо — Рп — а У-„„=а,У вЂ” и„ (65) а,) с, >О, а,)с, >О. 1 В данном случае оператор А имеет вид (см. пример 2 п. 1): язв Гл.
у. ОВ!цие ФОРмулиРОВки. ОпеРАГОРиО-РАзиОстиые схемы !4 Чтобы представить оператор (66) в виде (63), удобно ввести дополнительную сетку ОЗА= 1!Хо Х!д Х!-!л ''' Ху-!ж Хл) Х!-!!о=(' н рассматривать пространство функций Н„определенных на йо!, со скалярным произведением (у, о)!,"~! Бу. !ло! !Г!+ ууо + уоо„!! у ~1! )! (у, у),.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
