Самарский - Введение в теорию разностных схем (947501), страница 50
Текст из файла (страница 50)
Ъ'! будут получены априорные оценки, для которых условие (24) согласования норм )) )),и и )) !(гм не требуется. 3. Схема (4) устойчива, если Щ) <1+ сзт для всех 1 = О, 1, ..., Ль — 1. При практическом использовании этого достаточного критерия устойчивости надо указать, какими свойствами должны обладать Операторы А и В для того, чтобы обеспечить выполнение условия (21). Такие условия найдены в гл. Л. Они имеют вид линейных операторных неравенств для операторов А и В, заданных иа гильбертовом пространстве (ть = Ял Понятия аппроксимации, сходимости и точности для опера- торно-разностных схем вводятся по аналогии с $ 1. Чтобы не загромождать изложение повторением формулировок, ограничимся лишь следующим замечанием.
Нормы )) )~(, ), ~) ° 1)(е ), фигурирующие в 5 1, надо заменить нормами ~~ у„, ((„))), = гпах )) у„,(г„))), ('Ат) о<с -Р т<~„' " ('А) ))~рь,((„))), ) — — птах ))варь,(у)р(,, („=от. (УИ) О<У= 'х<~„('А) Глава Л ТЕОРИЯ УСТОЙЧИВОСТИ РАЗНОСТНЫХ СХЕМ В гл. У! научается устойчивость по начальным данным и по правой части двухслойных и трехслойных раэностных схем с операторамв, действующими в гнльбертовом пространстве. Методом энергетических неравенств получены эффективные достаточные условия устойчивости и построены соответствующие априорные оценки.
Установлена также необходимость некоторых условий устойчивости. 5 1. Классы устойчивых двухслойных схем 1. Постановка задачи. При изучении устойчивости двухслойных схем будем пользоваться их канонической формой Ву, + Ад = ф (!), ! = а с еп в„д (О) = у,. (1) ПустьЯь = Нь — вещественное пространство, (, ) — скалярное произведение, ~~х~~ = )г(х, х) — норма в Нь. Операторы схемы (1) А и В в общем случае зависят от 6, т и й Условимся зависимость от ! явно не указывать. Наша ближайшая задача — найти достаточные условия устойчивости схемы (1) и получить априорные оценки решения задачи (1), выражающие устойчивость схемы по правой части и начальным данным, Решение задачи (1) можно представить в виде суммы д = = у + у, где у — решение однородного уравнения с начальным условием у(0) = У(0) = У" Вдг+ Ау= О, ! ~ юю у(0) =ус (1а) а у — решение неоднородного уравнения с нулевым начальным условием: Ву, + Ау = ф(!), ! еи оэт, у (0) = О.
(1б) Гл. уг. теОРия устоичивости Рлзностных схем ЗО2 Оценка решения задачи (1а) Ц у (! + т) Ц~и ( Мг !! у (О) !4, (2) означает, что схема (1) устойчива по начальным данным, а оценка решения задачи (!б) Ц у (Г + т) Ци, ( М, гп ах И ф (В) И„, (3) О~и~» выражает устойчивость схемы (1) по правой части. Мы будем также пользоваться и другим определением устойчивости схемы по правой части (!У(г'+т) !!И>(М, гпах (((ф (В) Цгг, +|!фг(Г') 1~2,), (4) 2<2 <Г где фг(В) =(ф(!') — ф(г' — т))/т.
Из (2) и (3) или (4), в силу неравенства треугольника ЦуЦ„,~(Ц уЦнг+ЦуЦги, следует априорная оценка И У(г+ т) !~О «( Мг И Уе И„, + М шах И ф ((') Иш (б) О<И<2 или Цу(~+т) 110(мг!! УаЦи + м2 шах (!(ф(' )!12)+Ифг(()!!<2)) (б) 0(Р~Г Б качестве нормы !1 Цго будем пользоваться энергетическими нормами !1 у Цл —— 'р' (Ау, у) при А = А' > О, (7) ЦУЦŠ— — Ъ/(В(г, гг) пРи В В'>О. (8) Будем говорить, что схема (1) устойчива в НА (или На), если выполнено (5) с Ц Цш = И Цл (или И Иог = И !(в). 2. Исходное семейство схем, Исследование устойчивости бу- дем проводить в некотором исходном семействе разностных схем.
Операторы А и В считаем ограниченными линейными опе- раторами, заданными на всем пространстве Нм !21(А) = = ге)(В) = Нь. Всюду будем предполагать, что разностная за- зача (!) разрешима при любых входных данных уе и ф(Г), т. е. что существует ограниченный оператор В ' с областью опреде- ления гав!(В ') = Нм Для упрощения выкладок детальное изложение проведем в предположении, что 1) операторы А и В не зависят от г (постоянные операторы), 2) оператор  — положительный, В > О, 3) А — самосопряженный и положительный оператор, А = А' > О. ч !.
клАссы устоичивых двухслоиных схем 303 Условия 1) — 3) и требование разрешимости выделяют из множества всех возможных схем (1) семейство допустимых схем (исходное семейство). Условие 1) может быть ослаблено, т. е. будем иногда рассматривать операторы А и В, зависяшие от 1, А А (1), В = В(1), 3. Энергетическое тождество. Исследование устойчивости схемы (1) проведем методом энергетических неравенств, Умножим уравнение (1) скалярно иа 2ту! = у — у: 2т(Вуь у,)+ 2т(Ау, у,) = 2т(ф, у!).
(9) Пользуясь формулой у+у у — у ! . т 2 2 2(У У) 2УН (1О) перепишем (9) в виде 2т(( — 05тА) уь у!)+(А(у+у), Ц -у) =2т(р, у). (11) Л е м м а 1. Пусть А — самосопряженный оператор. Тогда (А (у+ у), у — у) = (Ау, у) — (Ау, у). (12) 4, Устойчивость по начальным данным в Нл Тео р ем а 1, Если для некоторой схемы (1) из исходного семейства выполнено условие В » )0,5тА, (14) то эта схема устойчива в Нл по начальным данным с постоянной М! = 1, так что для решения задачи (1а) имеет место оценка 1(у(1)11„~1(у,(1л, 1=пт, а=1, 2, - Доказательство. Прн ф = 0 тождество (13) (для (1а)) принимает вид 2т(( — 0,5тА) уь у!)+(АФ у) =(Ау У). В силу (14) первое слагаемое в левой части этого тождества неотрицательно, Отбрасывая указанное слагаемое, получим В самом деле (А(у+у), у — у) (Ау, у)+(Ау, у) — (Ау, у) — (Ау, у)= =(АУ, У)-(Ау, у), так как (Ау, у) = (у, Ау) = (Ау,у) в силу самосопряжеииости А.
Подставляя (12) в (11), получим энергетическое тождество для схемы (1): 2т(( — 0,5тА)УН У!)+(А9, ф)=(Ау, у)+2т(ф, у,). (13) зог ГЛ. Ю. ТЕОРИЯ УСТОЙЧИВОСТИ РАЭИОСТНЫХ СХЕМ н неравенство ЦУЦл(»ЦУЦл ИЛИ Ц Уи+1 Цл » (Ц Уп 4»» ° ° (» Ц Уо Цл (15) где ЦУЦл-— )т(АУ, У). Условие (14) выделяет из исходного семейства класс устойчивых в Нл схем.
Покажем, что условие (14) и необходимо для устойчивости схемы (1) в Нл по начальным данным. Для этого нам понадобится следующая лемма. Л ем ма 2. Пусть С > 0 — оператор в Н, имеющий ограниченный обратный. Тогда эквивалентны следующие условия: Ц Е вЂ” ТСЦ»(1, (16) С » «0,5тЕ. (17) В самом деле, пусть выполнено (16), т. е.
Ц(Š— ТС)х!Ц( (»Цх!г или Цх!г — 2Т(Сх, х)+ т'ЦСх!Ц(»Цх!г. Тогда ТЦ Сх Цт(2 (Сх, х). Полагая Сх = у, х = С 'у, получим (С 1у, у) = О 5т Ц у Цт где Е =Š— ТС, С= А~'В 'А~*, х„=Аау„. Перепишем (1а) в виде у~+~ = у„— ТВ 'Ау . Так как А— самосопряженный положительно определенный оператор, то сушествуют операторы А ', Ач, А-'ь (см, теоремы 3 и 4 из гл.
1, $ 3), которые также являются самосопряженными положительными операторами. Поэтому уравнение (1а) эквивалентно уравнению Аау„+, = Аьу„— т(АЙВ 'АЯ) Аау„, кото ое совпадает с (18). У)'- стойчивость схемы (18) в Н эквивалентна устойчивости в Н„схемы (1а), так как Цх„Ц = ЦАЧ1УРЦ = Цу,(!л. или С ' «0,5тЕ. Обратный ход рассуждений очевиден. Те о ре м а 2. Пусть схема (1) принадлежит исходному семейству схем и, кроме того, оператор А — положительно определенный. Тогда условие (14) необходимо для устойчивости схемы (!) по начальным данньчм в Нл с постоянной л41 = 1.
До ка за т ел ь с т в о. Сведем сначала схему (1а) к явной схеме х„э, = Вх„, и = О, 1, 2, ..., (18) 4 с. клхссы тстончивых двтхслониых схем 305 Пусть схема (1а) устойчива в Нл с Мс = 1, т. е. выполнено (15). Тогда для схемы (18) выполнено неравенство 11х,Д < !1хо11 и, в частности, при и = 1 имеем !! х>11=!1 Вхь1~(1х,11, т.
е. 11 5~1(~1, Применяя лемму 2, получим неравенство (17) с С = АС'В 'А'*. Пока>кем теперь, что неравенство (!7), где С= Ас'В 'А' эквивалентно неравенству (14). Так как С ' = = А >*ВА с*, то (С 'х, х) =(А ьВА с*х, х) =(В(А 'х), А с*х) = = (Ву, у), ~~ х ~(с = ) А 'у 11> = (Ау, у), где у = А-'сх, х = Азу, Это и завершает доказательство теоремы. Объединял теоремы 1 и 2, видим, что верна Те оре ма 3. Пусть схема (1), где А — положительно опре- деленный оператор, принадлежит исходному семейству схем.
Тогда условие (14) необходимо и достаточно для ее устойчи- вости по начальным данным в Нл с постоянной Мс = 1, Напомним, что оператор В является, вообще говоря, несамо- сопряженным. 5. Устойчивость по начальным данным в Нг. Напишем вто- рое энергетическое тождество для схемы (1а), предполагая, что и  — самосопряженный оператор, В = В' > О.
Умножим ска- лярно (1а) на 2ту: 2 г (Вус, й) + 2т (Ау, й) = О. Учитывая формулы У (У+ У)+ У» У вЂ” (с) + У) Ус 1 т ! и пользуясь леммой 1, найдем 2т(Вус у) (В(у у) у+у)+т (Вус ус) 1~в 1чс 1~у)1вч+т 1~ус)~в' 2т(АУ, У)= ч (А(у+У тус) У+У+тус)= з 11У+У1)л > 11ус1(ч После подстановки этих выражений в (19) получим 11 у /!д + т~ (1( У, Ц вЂ” О 5т 11 Ус 1)зл) + О,бт 11 У+ У Ил = 11 У 11г. (20) Теорем а 4. Пусть в схеме (1) операторы А и В не зависят от 1, А' = А > О, В' = В > О. Тогда условие (14) достаточно для устойчивости схемы (1) по начальным данным в Нв с Мс = 1.
ГЛ. У!. ТЕОРИЯ УСТОИЧИВОСТИ РАЗИОСТИЫХ СХЕМ [6 В самом деле, пусть В > 0,5ТА. Тогда )! ус !!в — 0,5т !! Ус !!л = (( — 0,5ТА) ус, ус) ~) 0 и (20) дает ((у!!в <!)у!!в, т. е. !!У(с)!)Е.ь.-!!У(0)!!в 6. Необходимые и достаточные условия устойчивости по начальным данным. При изучении вопроса о необходимых и достаточных условиях устойчивости двухслойной схемы эффективным оказался метод сведения неявной схемы к явной схеме с последующей оценкой нормы оператора перехода явной схемы, Простейший пример применения этого метода с постоянной Мс = 1 был рассмотрен в п. 4. Нам теперь понадобится несколько отличное от прежнего определение устойчивости двухслойной схемы по начальным данным.
Везде в этом пункте будем предполагать, что операторы А-' и В-' существуют, ограничены и мс(А ') = мс(В-') = Н (о достаточных условиях существования обратного оператора см. в гл. 1, $ 3, п. 2). Пусть 0 = сгс* > 0 — постоянный оператор. Будем говорить, что схема (1) р-устойчива в Нв по начальным данньсм, если для решения задачи (1а) при любых у, ен Н выполнено неравенство !!у.!!О(р"!!у !! * где р=е'е', сь — постоянная, не зависящая от й, т и от выбора ум Если схема (1а) р-устойчива в Нв, то она устойчива в Нв: !! Ув !!о » <Мс !! Уь !!о с постоянной М, = е'со при сь)~ О, Мс = 1 при сь4: О.
Двухслойную неявную схему (1) с постоянными операторами А и В можно при помощи простых преобразований свести к явной схеме, которую запишем в форме х„+,— — Вх„+тф„, п=О, 1, ..., х(0)=хм В= — ТС, (21) где  — оператор перехода (со слоя на слой). Возможны три варианта преобразования: 1) Если А = А*) О, В ) О, то полагаем х„= Асу„, С = С, = А'В 'А', ф„= ААВ 'ф„. (22) 2) Если В=В")О, А)0, то х„=Вс'у„, С=Се=В с"АВ ', ср„=В С*ф„. (23) 3) Если А и В перестановочны, то х„= у„, ф„= В 'ср„, С = С, и ри А = А' > О, В > О, х„=у„, ср„=В 'ф„, С С, при А>0, В=В'>О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
