Самарский - Введение в теорию разностных схем (947501), страница 48
Текст из файла (страница 48)
Как и ранее, Н вЂ” пространство функций, определенных на о!о =(х! =оа, 1=0, 1, ..., Н, 6=1(М) со скалярным произведением л-! (у, о) = ~~~ у!о!А+ О,БЬ(уооо+ улоу) !! у ~1 = $''(у у). ! ! Определим операторы Т: Н-+Н, и Т"! Н!-РН следующим образом: (ТУ)о =Уо (ТУ),,ч А' ', ! 1, 2, ..., АГ, (ТУ)„— Ую о!/, Оо (Т'о),= — Оба, (Т о)и — Оьа Нетрудно видеть, что А = Т'5Т, где оператор 5: Н!-э Н, определен формулами (5У)о=а!Уо (5У)!,! =а!У! ч 1~<!'ч Н' (5У)к=ОКУ!о Очевидно, что 5 — самосопряженный в Н, оператор и (5у, у)!)с!|)у!!Р с, пип(ап О„О). Покажем теперь, что операторы Т и Т" являются взаимно сопряженными в следующем смысле: (Т"о, у) =(о, Ту)„уж Н, Вен Ни Действительно, л-! у) с~ ~1о!+ а о!-1!) у! уо(о|а оо) ул(ол ОА!-'А) ! ! =~о,,(у у )+уо уо (О,Ту) ~-Ъ Аналогично строится разложение (63) и в случае краевых условий первого' рода (уо у„О).
Единственное отличие со- 8] !. РАЗНОСТНЫЕ СХЕМЫ КАК ОПЕРАТОРНЫЕ УРАВНЕНИЯ гав (70) стоит в том, что Н определяется как пространство функций, заданных на ЙА и обращающихся в нуль при (=О, !'=А!, со и ! скалярным произведением (у, о) = ~ у>огй. ! Р Оператор вида А = ~ Т;Б„Т„, очевидно, соответствует раза-! Л ностному оператору Ау= — '~', (оаУР„)„' Для него также не- а ! трудно получить оценки, аналогичные (64). Мы ограничились простейшими примерами, показывающими, как надо использовать для конкретных задач априорные оцен- ки, полученные для операторного уравнения Ау = !р. 5.
Коэффициентиая устойчивость уравнений первого рода. Пусть А — линейный оператор, действующий из гильбертова пространства Н в Н. Рассмотрим операторное уравнение пер- во>о рода: А и = !', 7 еп Н. (67) Задача (67) называется корректно поставленной, если суще- ствует единственное решение уравнения (67) для любых !" еп Н и это решение непрерывно зависит от правой части г, так что !! й — !!о, < А4,Й вЂ” (!!„Р (68) где й — решение уравнения (67) с возмущенной правой ча- стью 7: Ай=>, (69) !! ° !!О> и !! !!<г! — некоторые нормы на множестве Н. При постановке задачи (67) задается не только правая часть, но и оператор А.
Если, например, А — дифференциальный или разностный оператор, то должны быть заданы коэффициен- ты уравнения. Естественно требовать, чтобы решение задачи (67) непре- рывно зависело не только от возмущения правой части, но и от возмущения оператора А задачи (например, от коэффициентов разностного оператора). Это требование, возникшее при изуче- нии разностных схем, было названо в работе А. Н. Тихонова и А. А.
Самарского !!! свойством коэффициентной устойчивости нли ко-устойчивости. Устойчивость решения уравнения (67) относительно возму- щения правой части 7 и возмущения оператора А будем назы- вать сильной устойчивостью. Вопрос ставится так: даны две задачи Аи=~, Ай ззо гл. ч.
ошцив еогмчлнговкн. опвяхтояногхзностныв схемы [з где А и Л вЂ” линейные операторы, область определения которых совпадает с Н, У и у — произвольные векторы из Н. Требуется найти оценку для величины возмущения решения г=й — и (71) через величины возмущений У и А. Предположим, что операторы А — ' и Л-' существуют, Будем считать, кроме того, что А и Л вЂ” самосопряженные положительные операторы.
Подставим и = А-11 и й = Л-17 в (71): г = А У вЂ” А У = А ' К вЂ” У) + (А ' — А ') !'. Применим Х~ к обеим частям равенства (72): Амг=А ~'() — У)+А~*(А ' — А ')У. (73) Вектор г будем оценивать в норме !1г!!й —— 1 (Аг, г) пространства Н-, а ) и У вЂ” ) — в негативной норме !!У'!!д-1 — — ФУ(А '~, У) энергетического пространства Нл Преобразуем выражение Аь(А ' — А ')) =(Š— АьА 'Аа)(А 'ь)) и оценим его по норме ~~ А ь (А ' — А ') ) ~~ ( ~~ Š— А аА ' А ь К~~ А ь) !1 (74) В качестве меры возмущения оператора А возьмем относительное изменение энергии (Ах,х) оператора А, т, е. будем предполагать, что !((А — Л)х, х))~~а(Ах, х) (75) (76) (77) где 0 А ~АА ь.
Положим О~у= г: У =(! +а)(П 'г, г) — 1(г(!з=(!+а)(А 'А 'Ааг, г) -))г)1 = (1+ а) (А 'и, о) - (А 'о, о), о = А ьг. для всех хан Н. Отсюда следуют неравенства (1 — а) А ( А ((1 + а) А, (1 — а) Л ' ~( А ' (» (1 + а) А Покажем, что из (76) следует (77). Рассмотрим разность У = (1+ а) (Ах,х) — (Лх,х) и положим Ачх=у: У = (1+ а) ~! у !! — (А ьАЛ ьу, у) = (1+ а) !! у !г — (Оу, у), 51 З Ь РАЗНОСТНЫЕ СХЕМЫ КАК ОПЕРАТОРНЫЕ УРАВНЕНИЯ 291 Так нак У)~0, то (1+ а)Л ' )~ А '. Тем самым доказано, что из неравенства Л ((1 + оо)А следует неравенство А 1-~ »<(1+ со)Л ' для любых А = А*) О, Л = Л* > О.
Неравенства (77) эквивалентны неравенствам (1 — а) Е < С ( (! + а) Е, С = Ан А 'А А. В самом деле, (!+а)(А 'х, х) — (А 'х, х) =(1+а) цуцо — (ААА 'Аэу, у) = = (1 + аЦ! у !г — (Су, у) > ~О. Итак, из (74) следует — аЕ(Š— С(аЕ, С =А'А 'А1*.
По определению нормы самосопряженного оператора цŠ— Сц=цŠ— АЬА 'А1'ц(а. Подставляя эту оценку в (74), получаем из (72): Ц е Цт < Ц ! — ! Цл - + а Ц 1 Цл - ь или Цй — иЦй (Ц! — ~ЦТ-~+~Ц~ЦЛ-ь Пусть известен некоторый оператор Ао А" >О, имеющий более простую структуру, чем Л, и удовлетворяющий условию А.- с,Ао, с,>0.. Тогда, если оператор Ао'существует, то А '( — Ао', Ц)ЦА — (=Ц)Ц вЂ”. ~3 'т'о, Таким образом доказана следующая теорема сравнения: Теорема 2. Пусть и — решение уравнения (67), й — решение уравнения (70), А, Л, Ао — самосопряженные положительные операторы, имеющие обратные.
Тогда, если выполнены условие (75) и неравенство Л)~ с1Ао, с1 > О„то справедливы оценки Цй — и ЦТ(Ц7 — 1Цл- +~ЦЫЦ.Т- (78) Цй — иЦА » (— Ц1-1'Ц -1+ — Ц1" Ц 1. (79) л -е, ЛО О1 ЛО ' Первое слагаемое в правой части (78) есть величина возмущения правой части !, второе слагаемое содержит коэффициент а — величину относительного возмущения оператора.
292 Гл. у. Овшие ФОРмулиРОВки. ОпеРАТОРИО РАзностные схемы )! П р и м е р, Пусть Н вЂ” множество сеточных функций, заданных на с)л = (х, = )а, 0 (!' (Л) и обрашакпцихся в нуль при ! = О, ! = 7)), Рассмотрим разностные операторы Ау = — (ау„-), + ду, а ) с, > О, а) ) О, Ау= — (ау-,)„+с(у, а) с, ) О, )7)0, Асу = — У- . ««' Вводя обычным образом скалярное произведение и используя разностныс формулы Грина, получим неравенства А ) с, А„А ) )с, Ао. Согласно лемме 2, имеем Таким образом, оценка (79) принимает вид 112211 ~ ~— 11) — ! 11,,)+ — 11 ! 11) а, или, в силу неравенства 11г11с <0,5 11 г„)1, 11с 11 У У 11с 2с 11 ~ ) 11)-е) + 2с 11~ 11)-т)' с 2с! с! Выясним, что означает условие (75).
Его можно записать в виде (! — а)((а, у 1+(а), у')) «(а, у-,']+(с(, у') (~ ( (! + а) ((а, у;~ + (а), у ) ), откуда следует, что (75) будет выполнено, если потребовать 1а — а1(аа, 1)1 — с(1(аа). $ 2. Операторно-разностные схемы 1. Введение. В 9 1 краевые задачи для дифференциальных уравнений 7.и = — )«(х) мы трактовали как операторные уравнения 92и = )', где сФ вЂ” линейный оператор, заданный в банаховом пространстве Я.
При изучении нестационарных процессов, описываемых уравнениями в частных производных параболического и гиперболического типов — — (.и+)'(х, 1), —,=(.и+)'(х, 1), 0<1((в о. ОпеРАтОРно-РАзностные схемы 293 переменная 1 (время) играет особую роль и поэтому должна быть выделена. Здесь Š— дифференциальный оператор, действующий на и(х, г) как функцию х = (хь хз, ..., хР) — точки р-мерной области 6. Функция и(х, () при каждом фиксированном т' является элементом банахова пространства Я.
Поэтому вместо и(х, 1) мы получаем абстрактную функцию и(() переменного г, О-~1 (~о, со значениями в Я, т. е. и(~)ееЯ для всех т ~ [О, Я Оператор Л, действующий на и(х, 1) как функцию х, заменяется оператором лг, заданным в Я, Оператор во, вообще говоря, действует из некоторого пространства Я, в некоторое пространство Яз (область его определения йр(лот)с: Я| является всюду плотной в Яь а область его значений Я(,Ф) о:-Яо), Мы будем считать здесь, что Я» = Яо = Я. В результате приходим к абстрактной задаче Коши и -РФи=)((), 0~(1(Го, и(0)=ио, где ио — заданный элемент из ы»(отГ). Эти рассуждения носят лишь эвристический характер и имеют целью провести аналогию между методами обшей теории дифференциальных уравнений и общей теории разностных схем, которая излагается в этой главе и в главе У1.
Задача Коши называется устойчивой по начальным данным и по привой части, если [[и(т)[[~М~
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
