Самарский - Введение в теорию разностных схем (947501), страница 43
Текст из файла (страница 43)
РАЗностные схемы для эллиптнчес!Сих уРАВнении [! Нам осталось оценить сумму, стоящую в правой части. Для этой цели из-под знака суммы вынесем максимальное и минималь- ное собственные значения пнп Ама, 11 и 115 ( ~ са,ь,ла,!а < гпах лА,А, 11 и 1(5. Значения наименьшего и наибольшего собственных чисел известны: Таким образом, получение неравенств (2) закончено, причем 65 ~! ! ~0 ~у! 1, н; !' (14) Эти постоянные точны в том смысле, что в соотношении (2) левое неравенство переходит в равенство при и = о,,(х), где о,,(х) есть собственная функция задачи (3), отвечающая первому собственному значению. Аналогично правое неравенство в (2) переходит в равенство при о = ЭА., ! 5„1(х).
Из неравенств (!4) видно, что формулы для 65 и АО не очень удобны, поэтому мы оценим Х1, ! снизу, а 15н, ! 51, ! сверху, !'4ы не очень сильно загрубим оценку для максимального собственного значения иьа 1.А ! А н если в его выражении заменим соз — на 1, так как Е!а соз ~ " = 1+ О ( ~ й 1'). Поэтому будем писать а!а (16) Для наименьшего собственного числа ранее (см. гл. 1, в 2) была доказана следующая оценка снизу: —,з(п — ) —, а=1, 2. 4 .
А ПАП в ь5 ег га > а а а Будем считать поэтому что 6„=6~ —,+ —,). Из равенства (16) видно, что 6, есть абсолютная постоянная, не зависящая от сетки гОА. Величина АО от сетки ыд зависит и стремится к бесконечности, когда шаги сетки стремятся к нулю, (16) 5!П , НА! е!! 'Л1, ! =4 А'! ПА! 505 26 1551;1, И,-! = 4 Ь-'! ! а~5 5!П 5!'5 Ьа , ЛА5 505 ~~ 2 Ь и 2 2. НЕКОТОРЫЕ ОПЕНКИ ДЛЯ РЛЗНОСТНЫХ ОПЕРЛТОРОВ 257 Л е м м а 2, Для всякой функции и(х), заданной на сетке ь24, и обращающейся в нуль на границе ул, имеет место разностный аналог теоремы вложения: !! ~!~ <=!! Ао Ь У2!42 еде Ц о!!с = шах~ о(х) !4 /,= шах(УО /2).
хайя Д о к а з а т е л ь с т в о. Разложим функцию о (х) по системе собственных функций (оь,м(х))' о(х) = ~'.~ слал оь,л, (х). Л,. Ъ Отсюда получаем Ао (х) =,.,'~ с2,2ЯЛкаоь,и (х), и, следовательно, !! Ао (х) (~ =,"Е с22,2,7,2,2Р 2„2, Оценим теперь функцию о(х) следующим образом: 1 о (х) ~ к~ ( .~4 ~ с2,2, 1) шах ~ о2,2„(х) ~. 42~ Ь ! 2,,2 Из (8) получаем ! О2,2, (х) ~ ( 2/ 1Г(!(2, так что 4 7%1 Л„Ь = — !! Ао Р ~7.2,2,. л~, и Для завершения доказательства нам осталось получить оценку Х 72,2,«((о/4. (18) 2„2, Обращаясь к формуле (9) и учитывая, что з!их- 2х/и при 0«х «и/2, имеем 4 /2 24 4!2,2, мь 41 — 2+ — 2~ ~ ~— 2 (/2! + 422/. Следовательно, №-1 Н~-! 24 Н1 ! % ! 24 Х "2'к= 4е Х Х (/2!+ й2) ~ 4в Х Х( '+ ') 2, !2, ! л;! м-! 2~ ! Ли ! звз Гл, 1у, РАзностные схемы для эллиптических уРАВнений га Воспользовавшись, далее, оценкой аи Л З,'1И+Ю 'ч —,'а() — „' к) () кк~= —,'; «, а,-~ а,-~ получаем (!8).
2. Оператор Лапласа в области, составленной из прямоугольников. Рассмотрим теперь область, состоящую из конечного числа прямоугольников со сторонами, параллельными ко- ординатным осям, как похе казано на рис. 18. Предположим, что стороны аг Т прямоугольников, соста- + 1 1 вляющих область Ск, со- 3 3 х измеримы.
Тогда можно + построить сетку (с шагамн Ь! и Ьа) так, что граница сеточной области лежит на границе оби а, Й хк ласти О. Дополним об- ласть 6 до прямоугольРис. 18. ника, который обозначим через са, как это показано на рис. 18. Построим в области Ск разностную сетку аа н продолжим ее в о'. Сетку в области са будем обозначать аа. Пусть о — сеточная функция, заданная на аы такая, что о ~ =О. Определим функцию та о(х), х ен а„, б(х) = О, х ен аа '~ а„. Тогда из определения функции 0 следует, что 11611 =11 о11 =11 о1!, где Цо1Г=(о, о), (о, о) =,~~ о(х)у(х)Ь,Ь, к е е» !~ б Ц = Х ба (х) Ь,Ьа; «ааа Я,~~б.~Г„= ~,~"-.1'. Учитывая эти равенства, убеждаемся, что для функции о(х), определенной на сетке аа в области 6, справедливо утверждение 3, Э 2 НЕКОТОРЫЕ ОНЕНКН ДЛЯ РАЗНОСТНЫХ ОПЕРАТОРОВ Ебэ леммы 1.
При этом 32 = 8 ~ —, + — 2), Лэ = 4 ~ — 2 +,г ) где 1, и 12 — длины сторон прямоугольника с!. 3. Операторы с переменными коэффициентами. Перейдем к получению оценок для разностных операторов с переменными коэффициентами. Везде в п.п. 3 и 4 предполагается, что область 6 †прямоугольн (х (х„х,), 0 < х„< („а = 1, 2). Пусть Ь = Х + (Ь, (х) ~„), 0 < с, < Ь„(х) < с,. ч 1 В гл. П1 было показано, что оператор можно аппроксимировать с точностью О(Ь„) выражением 2 А,у=(а,(х) уэ ) (19) где 0 ! -! (20) НО из-за сложности вычисления интеграла такую аппроксимацию использовать не всегда целесообразно.
В качестве а (х) обычно можно брать те выражения, которые получаются из (20), если заменить там интеграл той или иной квадратурной формулой. Часто используют выражения а„(х) = Ь„(х„— 0,5Ь„, х ), а, () = 1, 2, (21) а,(х)=05[Ь„(х)+Ь„(х„— Ь„, хв)), а, (1=1, 2, а ФР. (22) Из соотношений (20) — (22) и условий (19) следует, что 0(с! <а,(х) <с2. (23) Оператору (19) поставим в соответствие разностный оператор ЛУ =,'Е~ (а,У2 ) (24) Аппроксимации такого вида являются естественным обобщением на многомерный случай однородных разностных схем,введенных в гл. 1П для одномерных уравнений.
зво гл. !ч, елзностныв схемы для эллиптических ллвнвнии Л е м м а 3, Для всякой !рункции о(х), заданной на сетке ыл и обращающейся в нуль на границе ул, справедливы неравенства Ь,с! !! о !!»а: (А о, о) ~ Ласт 1! о !!, (25) где б, и Л, даются выражениями (15), (16); с, и ся — постоянные из условий (!9) и А = — Л. Д о к а з а т е л ь с т в о.
Так как на границе сеточной области о(х) равна нулю, то из формулы Грина для оператора Лао = = (а,ох ) следует, что ((пасха)к ~ о) — (аа~ Оха! ' Поэтому г (Ао, о)= ~~'.~(ааох,, оха),. Используя условие (!9), отсюда находим 2 2 с, ~(~ох„)( ~(Ао, о) »са 2~(~~охД', 2 Оценивая теперь ~~'.,(~ох ]1~ с помощью формул (13) и (13'), а=! получаем (25).
4. Оператор со смешанной производной. Рассмотрим эллиптический оператор со смешанной производной 2 — (я, (х) — ) . а, р-! Предположим, что выполнено условие зллиптичности х я 2 с! ~ ~и ~» Х йар (х)$ахар (СЯД ьаа» (27) Лаау = (~ааух ) х ~ аа = ~~5 Р!аа (х)+ йаа (ха йа~ хр)1' (23) Тогда Л ау=0,5~(й (х)у ) +(йа(,",'а)у ) где с! ~ О, ся ) Π— постоянные, а 5 = (в!, вя) — любой вектор. Для аппроксимации оператора — ~й „вЂ” 1 воспользуемся дха (, аа дха) выражением н ф 2. НЕКОТОРЫЕ ОПЕИКИ ДЛЯ РАЗ>4ОСТНЫК ОПЕРАТОРОВ ЯЯ ЗВМЕТИМ ТЕПЕРЬ ЧТО Й (Ха йа| ХВ) Й а л Й( |а)у ) = — (Й (х) у — Й( а)у ) = а ла = — (Й„(х) у, — (Й„(х) у„)( 'а)) = (Й„у, ) а Таким образом, Л,ВУ = 0,5 ~(Й„У2 ) + (Йа„У„) ' аа а ли| (29) Оператор со смешанной производной можно аппроксимировать по четырем точкам, как показано на рис.
19, а), выражением |2У ( !2Ул~)- или по таким четырем точкам, как показано на рис. !9,б), выражением Л-„у=(й„ух) . Нетрудно показать, что операторы Л|2 аппроксимируют Рис. Ие оператор йм с погрешностью 0(й, + й2), а оператор Л|гу — Е (Л|2У+Лму) — у 4((Й>2У2) +(Йиу ) ~ (30) с погрешностью 0 (1й (2) . Сравнивая выражения (29) и (30), видим, что оператор г -ЛУ=ЛУ-|,')', ((Й„у„) +(Й„у„) 1 (31) аа|~ а - аа) аппроксимирует выражение' (26) с погрешностью 0(1й12). Заа гл. !ч. тлзностныв схвмы для эллиптических этхвннннн Н Л е м м а 4, Для всякой сеточной функции и(х), заданной на !эь и обращающейся в нуль на границе уы справедливы неравенства бас! 11 о 1]! ~ (А о, и) ~.= Ь,са 11 о 1~, (32) где оператор А определен формулой (31), постоянные с! и гав формулой (27), а бо и Ло — формулами (15) и (16).
Доказательство. Представим оператор А в виде суммы А =05(А +А ), где А у — ~ч"„(й у,), А+у — Х (йаэ!/„) аг ! Раа аз-! в га Очевидно, что (32) достаточно доказать, например, для А", Ис- пользуя вновь формулу Грина, получим (А и, о)= — ~2'.] ~(й „и ), и) = ~2'.] (й, и, оз ] . (33) "а Обозначим я, н, (и, и!) = ~л~~~ лл о (!!й!, 8тйт) Ги (!!й!, !хйх) й!йи и-! ь-! Тогда, внося в (ЗЗ) знак суммы под знак скалярного произве- дения, получим Используя условие эллиптичности (27), получим отсюда 2 / ! т с! 2~]ита]!'~~ ~] й,воя, ох„~ ~с, ~]о,„]]з. (34) хйалее, повторяя доказательство леммы 1, получим (32).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
