Самарский - Введение в теорию разностных схем (947501), страница 40
Текст из файла (страница 40)
31,1й1»/12, 1й)'=/4';+Ьг+ ... +/г'-. (30) Р Представим 4р на 4»„в виде суммы: ф =,)~ »р„, »р", = Л,и — /.,и. а-1 Учитывая (15), будем иметь ~фа(~( — (й — Йа )+ — Ь- ПРИ ХЯ4»» . (31) —,(у(+ а) — 2у+ у( а))— а 1 а Перепишем зто уравнение в виде Р Р у(х) — ~ — (у(+ »1+у( а))+/(х). а 1 а а 1 (32) 4. Запись разностного уравнения в канонической форме. Рассмотрим (2р+ 1)-точечную схему Лу = — / в регулярном узле: Остановимся на случае двух измерений.
Из рис. 8 видно, что в регулярном узле 2 2 ! 2)уа= 2 (У!+Уз)+ 2 (Уз+ У4)+!о. /1 11 1 1 2 Пусть узел хен 41'„'1 нерегулярен. В случае, соответствующем рис. 15, а), имеем ! Л,у„= —, (уа — 2уа+ у,), Ь. Из уравнения находим Л*д = Л*,у+ Л,у = — ! А*А + 21У вЂ” „„У1+ „„Уз+„2(У+У)+)' 1* -"~ = — — "* 2 21 ! 1 1 1 ! 2 В случае, соответствующем рнс, !5,в), будем иметь ( ' — )= —, * 2, 2 т 1, 1 1 + уа У1 г * уз+ " У2+ У4+1з А1А1 3!А!4 "1А1- ' "2А2 "2А2 где 3, = О,б (Ь; + й;,), 3, = О,5 (й, + Л;).
Пусть а!4(0) — сетка в р-мерной области и х~ 42'„", нерегуляр. ный узел. Тогда = — У("'+ . У( 'а)- .. у. (33) вааа4 вааа- Аа-Аа Подставляя это выражение в уравнение Л"у = — ! и формально считая, что х нерегулярен по всем х„, получим у(х)= )~~( . У(4 ')+ —.У( а))+)(х). (34) а-1 а Аа4 а-1'4 а"а+ а"а- Если х регулярен по некоторому направлению хы то в этой формуле следует положить па =ЬА4=34=йы Если же х — реГУЛЯРНЫй ПО ВСЕМ Х„УЗЕЛ, ТО ~о~агавы Ьа- -— 4!а+ = За=1!а ДЛЯ всех С4 =!, 2, ..., р, что дает формулу (32). Сравнивая (32) и 233 Гл, на РАзностиые схемы для эллиптических уРАВне1п!и [4 б! $ (.
РАзностнАя 3АдАчА днРнхлв для уРАВнения пуАссОнА Рзв (34), видим, что эти уравнения можно записать в канонической форме А(х)у(х)= 2, 'В(х, К)уф)+Р(х), хенв(Р (35) $~ Ш'(х( где Ш'(х) — множество 2р узлов (2р + ! )-точечного шаблона «крест» с центром в точке х, исключая сам узел х, т. е. ~ Ф х; множество Ш'(х) будем называть окрестностью узла х. А(х) и В(х, $) — заданные коэффициенты уравнения. Из (32) и (34) видно, что А(х)) О, В(х, $)) О, ~ В(х, В)= А(х) для всех хыв». (36) 1 ш(х( К уравнению (35) следует присоединить граничное условие у | = (((х), (37) Разностная задача Дирихле является частным случаем более общей задачи: найти сеточную функцию у(х), определенную на йк = вь + уь и удовлетворяющую на вь уравнению А(х)у(х)= ~ В(х, й)у$)+р(х), хенш», Ьаш'(х( у(х) = (х(х), х ~ у„, (38) где А(х)) О, В(х, ~)) О, В(х) = А(х) — ~х В(х, ~)) О (39) $ ~ Ш'(х( для всех х ы вм 3 а м е ч а ни е. Третья разностная краевая задача для уравнения Пуассона приводится также к виду (38), причем уравнение (38) выполнено для всех х ~ й„и имеют место условия (39); кроме того, требуется, чтобы 0 ) б ) 0 на уд.
Для доказательства существования и единственности решения задачи (38), (39) достаточно убедиться в том, что однородное уравнение Ы(у)=А(х)у(х) — ~ В(х, $)у($)=0, х~вь, 1 Е ~ ш'(х( (40) у(х) = О, х~ у„ имеет только тривиальное решение у(х) = О, х~й„. Этотфакт, как будет показано ниже, следует из принципа максимума, который имеет место для схем (38), (39). 5. Принцип максимума. Рассмотрим сейчас задачу (38), (39) независимо от разностных схем, аппроксимирующих уравнение Пуассона. Будем везде предполагать, что сетка вь связка. В общем случае это означает, что для любых заданных точек я4о гл. !ч РАзностные схемы для эллиптических уРАвнении (5 х еи гвь н хеи гвь существует система окрестностей [Ш'(х)), х я шь, такая, что можно осуществить переход от х к х, используя узлы этих окРестностей (т. е.
найДУтсЯ точки х; ~ ыы такие, что х еи Ш'(х,), х1 я Ш'(х,), ..., х„я Ш'(х)), В случае рассмотренных ранее разностных схем, аппроксимирующих уравнение Пуассона, это определение связности совпадает с данным выше определением. Теорема 1 (принцнп максимума). Пусть у(х)— некоторая сеточная функция, заданная на ььь и не равная постоянной (у(х) чь сопз1 на ыь), Тогда, если 5~[у] ( 0 (Я[у)» 0), то у(х) не может принимать наиболшиего положительного (наименьшего отрицательного) значения во внутренних узлах х еи ыш Доказательство.
Обозначим 2'[у[= Е(х). Пусть Г(х) = 0 для всех х~ ыь. Предположим, что у(х) принимает наибольшее положительное значение в некотором внутреннем узле. Так как у(х) че= сопз1 и сетка шь связна, то существует такая точка х ~ шь, в которой у(х) = тпах у (х) = М,> О, а в сох~ах седнем узле х еи Ш'(х) имеет место неравенство у(х) < Мь. Уравнение (38) в узле х перепишем в виде (А(х) — ~х~~ В(х, $)~у(х)+ ~ В(х, ~)(у(х) — уф))=Е(х), $ е Ш'(хл 1 е ш'(и (41) Так как В(х, З)(у(х) — у(З))»В(х, х)(у(х) — у(х) ) >О, 1 е шчх) то из (41) следует 0(х) у(х)+ В(х, х)(у(х) — у(х))(Е(х).
Учитывая, что 0(х)»0, В(х, х) >О, у(х) >у(2), получаем 0 Е(х), что противоречит условию Е(х) = О. Первая часть теоремы доказана. Второе утверждение теоремы доказывается аналогично. Теор ем а 2. Пусть функция у(х), определенная на йь, не- отрицательна на границе уь (у(х)» О, хатун) и выполнено условие я[у)»о»,.
Тогда у(х) неотрицательна для всех х ~ йж у(х)» 0 на й„. (42) Если же у(х) ( 0 на уш 1х' [у[ ( 0 на ым то у(х)(0 на йь. (43) м $ ь РАзностиАя зАдАЯА диРихле для уРАвнения пуАссонА 241 [Р(х)!(Р(х), х~ы», [и(х) !<р(х), х~у», то имеет место неравенство 1 у (х) 1( у (х) на й„. (44) Доказ а тельство. В силу теоремы 2 справедливо неравенство у(х) ) 0 на ыл. Функции и = у + у, о = у — у удовлетворяют уравнению (38) с правыми частями Р = Р+ Р, Р, = = Р— Р и граничными значениями и[ =(у+у) 1, о[ »„ »»' »» =(у — у)! . Так как по условию Р„~)0, и[ )О и Р,)0, »» »» о[ > О, то, в силу теоремы 2, имеем и ь О или у > — у, о > О »» или у (у. Отсюда следует, что — у (у (у, т.
е. [у[( ~у на й„. С л е д с т в и е. Для решения однородного уравнения (40) справедлива оценка (45) 11 у !1» <!1 у[1,, где 11 у [1» = шах !у (х) 1, 11 у 11„= шах !у (х) !. «я»», " к»» Неравенство (45) следует из теоремы 3, если положить у(х) = = [у(х) [ на у» и Р = Р = — 0 на ыы Д о к а з а те л ь с т в о. Пусть 2' [у[ = Р(х) ) 0 на ыы у(х) ) ) 0 на уш Предположим, что у(х) (0 хотя бы в одном внутреннем узле х, ен ым Тогда у(х) должна принимать наименьшее отрицательное значение внутри ыь, что невозможно в силу принципа максимума, так как у(х) чн сопз1 на ы» (у(хь) (О, у[» ) ) 0). Второе утверждение теоремы доказывается аналогично. С л е д с т в и е. Однородное уравнение (40) имеет только тривиальное решение; у(х) — = О, х~ йл.
Нетрудно заметить, что у(х) = 0 есть решение задачи (40). Пусть существует решение задачи (40) у(х) чь О. Если у(х) Ф 0 хотя бы в одной точке, то, в силу теоремы 2, дочжны выполняться одновременно неравенства (42) и (43), что возможно только при у(х) = О. Из следствия и вытекает суптествование и единственность решения задачи (38), (39).
Теорема 3 (теорема сравнения). Пусть у(х) — решение задачи (38), (39), а у(х) — решение задачи, которая получится при замене в (38), (39) функций Р(х), !А(х) соответственно на Г(х), 1« (х). Тогда, если вьтолнены условия 242 гл. 1у. РАзностные схемы для эллиптических уРАВнений [6 6. Оценка решения неоднородного уравнения.
Решение задачи (38) можно представить в виде суммы у = у + у, где у— решение уравнения (38) при Е = О, прннимаюшее на границе уА заданные значения у ~„=р(х), а у(х) решение неоднородного уравнения (38), обращающееся в нуль на границе УА1 д~т =О. Для у, в силу принципа максимума, следует оценка ~~р~! Ф~р ~!п Оценка у представляет значительно ббльшие трудности. Если известно частное решение У задачи (38), (39) с правой частью Г) ~!Е~~, мажорирующей Е(х), то, пользуясь теоремой 3, получим искомую оценку 110(~ —:~1 У ~~ .
Построение мажорантной функции У(х) в явном виде удается лишь в некоторых специальных случаях. В и. 7 будет построена ма1корантная функция У(х) (мажоранта Гершгорина) для разностной задачи Дирихлс. Однако для правильной' оценки порядка точности разностной задачи Дирихле этого недостаточно, так как нужно отдельно оценить вклад погрешности аппроксимации в приграничных узлах в погрешность решения разностной задачи. Теорем а 4. Если 0(х) ) О всюду на е1А, го для решения уравнения (38) с р(х) = О верна опенка (46) Доказательство. В силу теоремы сравнения ЦаЦ ( «= ~!У~~„, где У вЂ” решение задачи (38), (39) с правой частью Р = /Е!, У! = О, Пусть У(х) принимает наибольшее значение УА в точке х, я оА.
Так как У(х„) > О, то Л(х,) У(х,) = ~ч" В(х,, ~)уф)+~ Е(хе) ~( е~т Оя ((А(хе) — В(хо) ) у(хо)+! г (хо)!' ()(х ) у(х )(! Е(хо)! и, следовательно, ~~рПи~~У(хе)~~ тз(х,) -/!О(х) ~/„' а! з !, вазностная задача диннклв для тглнпви!!я пхассона а4з 3 а м е ч а н и е. Если 0(х) равномерно ограничен снизу константой 6 ) О, 0(х) 6 ) О, то !! р~~. ==ф1 р ~1..
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
