Самарский - Введение в теорию разностных схем (947501), страница 37
Текст из файла (страница 37)
Вводя б-функцию, уравнение (95) (с учетом условий на гра- нице фазового перехода) запишем в виде ди д! ди! (с(и)+ Лб(сс — и")) —, = —, ~й(и) — ~, ~ с,(и), сс<и', ~ й,(и), сс<и', с (сс) = й(и) = сг(и), и) и ! Йг(и) сс)и Для решения задачи Стефана применяется метод сглажива- ния: 6-функция заменяется 6-образной функцией 6(и — и',А), отличной от нуля лишь на интервале (и" — 6, и'+ 6) и удовле- творяющей условию нормировки и'»сс 6(и — сс*, А)сси 1, ис-В З а схемы Для ГипЕРБОл11ЧЕсКОГО УРЛВНЕНИя Е!9 Сглаживая на интервале (и* — Л, и'+ Л) функции Йс(сс), Уг,(сс), сс(сс), сг(и), получаем квазилинейное уравнение 3()ф= —,' ~й( ) — ,'"), для решения которого можно использовать описанные выше схемы.
Разностные методы решения задачи Стефана рассматри- вались, например, в работах А. А. Самарского, Б. Д. Моисеенко [Ц и Б. М. Будака, Б. Н. Соловьевой, А, Б, Успенского [Ц. 5 3. Однородные разностные схемы для уравнений гиперболического типа 1. Однородные разностные схемы. В прямоугольнике Рг = [0(х~~ Ц Х [0~(1(Т) будем рассматривать первую краевую задачу для уравнения вто- рого порядка гиперболического типа д~г =Есс+Т(», 1), Есс= — ~)с(х, 1) г )г (х, с)~ Рг, (!) и(х, 0)=и„(х), ' — =иг(х), и(0,1)=ис(1), и(1,1)=ссг(1) (2) 0(сс~(сс(хг с)Б сг, (3) где Рг = (О < х < 1) Х (О (! ( Т) Как обычно предполагаем, что эта задача имеет единствен- ное решение, непрерывное в замкнутой области Рт и обладаю- щее требуемыми по ходу изложения производными, Допускается, что коэффициент сс(х,г) (и 1(х, с)) может иметь разрывы первого рода на конечном числе прямых, параллельных оси координат 01 (неподвижные разрывы).
Проведем изложе- ние для случая одной линии разрыва х = Е, на которой выполди1 няется условие сопряжения (непрерывность функций и и сс — )1 г асс ! [и! = и(9+0, с) — и(Š— О, 1) = О, [й —.)'=0 при х =е. (4) Пусть егь = [х„с'= 0,1, ..., Лс,хв = О,хсу = Ц вЂ” произвольная неравномерная сетка на отрезке 0 (х (1, й, = [1, = 1», 1 = = О, 1, ..., 1„) — РавномеРнаЯ сетка на отРезке 0 <1( Т, йс„= = йь Х й,— сетка в прямоугольнике Рт. Построение однород- ной схемы для задачи (1) — (3) начнем с аппроксимации Еи + 1 разпостным оператором Ли+ср=(а(х,1)из),+ср при фиксиро- ванном ген ы,. дгсс ЗаменЯЯ вЂ”,! исс, Еи+[ Л(гс)ссс ' "1+сР, где дгг 11 с ис" '"1 = осй+(1 — о, — ог) и+ сс,й, Л(11) и =(а(х, Гс) их)„, и = и', й = ис ', й= ис+', гл, нь одноеодныг, охзностныв схемы аяв получаем однородную трехслойную схему с весами Л (1 ) у(оо ои 1.
(5) Коэффициент а берем на среднем слое г = Гп то Подставляя в (5) д = у + ту. + — уи, д = у — ту. + 0,5т'уи, где у. = (у — у)/(2т), ди — — (у — 2у+ у))т'-, получим у'" оо = у + + (о, — оо)ту.+0,5(п, +по)тоуи, после чего запишем схему (5) о в виде: ( Š— ' ' тоЛ) уи — (о, — и,,) тЛу. = Лу + ф, (8) где Š— единичный оператор.
При и, =по =о получаем симметричную схему (Š— отоЛ) уи — — Лу + ф(х, 1), 0 <1 = /т, (7) изучением которой н ограничимся, Краевые условия и первое начальное условие удовлетворяются точно: у(0, 1) = и, (1), у(1, Г) = и,(1), у(х, 0) = и,(х). (8) ди (х, О) Второе начальное условие ' = йо(х) можно аппрокси. ш мировать двумя способами. Один из способов указан в гл, 11: у,(х, 0) =йо(х), где йо(х) = йо(х)+О,бт(3 ио+)) -о (9) В результате задаче (1) — (3) ставило в соответствие однородную разностнчю схему, определяемую условиями (7) — (9) (или (7), (8), (9 )).
Эта схема является трехслойной. Для вычисления значения д = уо+' на новом слое надо знать значения до и уо — ' на двух предыдущих слоях. На каждом новом слое 1= 1;ы решается (методом прогонки) краевая задача относительно у = дг"" (Š— ат Л) У = Р, 0 <х = И<1, фо=йь ди —— й„ Р (1) = 2у — у — т'Л ( (2о — 1) у — оу) + тоф, 1) т, (10) Е(0) = и„+ т'(0,5 — о) Л(0) ио+ тйо(х)+ 0,5то1'(х, 0).
Он имеет второй порядок аппроксимации по т. Второй способ состоит в гом, что для определения д(т) пишется разностное уравнение (Š— от'Л (0) ) у, (х, О) = йо (х) + 0,5т (Лио + ) (х, 0) ). (9') Э 3. СХЕМЫ ДЛЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ 221 2. Погрешность аппроксимации. Пусть и(х, Г) — решение задачи (1) — (3), у (х„1 ) = уà — решение разностной задачи (7) — (9). Напишем, как обычно, уравнение для погрешности г! =р! — и! где и~=и(х., 1). е Е ее — е Г) Подставляя у =г+ и в (7) — (9), получаем ( Š— пт'Л) еп = Лг + е!е (х, 1), О < х < 1, ! > О, г(х, 0) = О, е(0, 1) =г(1, 1) = О, г,(х, 0) = т(х), (11) где где ди е А',.
!' д( д' ф'=0(тк+йет) (15) Для этого возьмем уравнение (1) в момент 1=1Г и проинтегрируем его по х в пределах от х; » до х;+и. хе+Ее (й — ,',") -(й —,'„") + ~ ~(.,(,)(хх к;эм к. е- е к;+е» Г д'а(х, О! Г(х = О. (16) хе -еЕе разделим это тождество на д; и вычтем его из правой части фоРмУлы (12) длЯ еге". ди! е ! е х е е пх с е дх / '-еь(я, г хе.»е» ми е + Че~ к ~ (~ (х ГГ) дге' / е(х' (17) кГ е/ ф (х, 1) = Л (1) и — ип + от'Лиге, У(х) =0,5т(1.и»+)')~=»+ п»(х) — и,(х, 0), (12) — погрешности аппроксимации (иа решении задачи (1) — (3)) уравнения (1) и второго начального условия соответственно. Если й(х,г) и )(л,1) имеют конечное число неподвижных раз- рывов, то сетку й»=е»»(К) выбираем так, чтобы линии разры- ва проходили через узлы этой сетки (ср, й ! и $ 2, п.
6). По аналогии с 9 1 и й 2 преобразуем выражение для ер к виду Ф=»4+ер (13) Гл, н!. ОднОРОдные РАзностные схемы 222 Ат! А! (г, и) = 2~ г,о,ЬО (г, и) =,'Р г2о2Ь! Будем использовать следующие нормы: !1 г 1~ = !пах 1 г (х) ~, ~~ г (1 = У(г, г),, 1~ г 1)„= )/ (Аг, г) . кийь В нашем случае операторы А и О, как показывает сравнение (7) и (20), равны А = — Л, 0 =Š— от2Л =Е+пт2А. Коэффициенты а! и р! определяются при фиксированном 1=11 по формулам 5 1, п. 13.
Пусть х; — точка разрыва Ь и 7. Возьмем простейшие фор- мулы для а, и р;: Воспользуемся формулой (87) 5 1, п. 13 при и= 2/2. д2в Учитывая, что —, непрерывна в точке разрыва Ь(х, 1), на- ходим ю.и А1 +л "2-'ь (а Р 2(Ь,~д1 д ) ) („, Подставляя это выражение в формулу (17), получим (13) — (15). Из (14) видно, что 21, = 0 (Ь2 + т2), 21, ! = 0 (Ь? + т2), (! 9) 3, Устойчивость и сходимость.
Чтобы не завышать требова- ний гладкости коэффициентов и решения при оценке порядка точности схемы (7) — (9), используем различные априорные оценки для операторно-разностной трехслойной схемы 0г22+Аг=ф(1), 1=1т)0, г (О) = О, г,(0) = т. (20) Здесь В, А — линейные операторы, заданные иа гильберто- вом пространстве Н (см. гл.
'Ч1), г(1) и 2р(1) абстрактные функ- ции 1еп ы, со значениями в Н, т — элемент Н. В нашем случае Н = Й вЂ” множество сеточных функциИ, заданных на йь и обра- щающихся в нуль на границе, при х = 0 и х =!. Скалярные произведения имеют вид А! — ! (г о).= л'г2п Ь2, З 3. СХЕМЫ ДЛЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ 223 Оператор А — самосопряженный и положительно определенный, А > 2с,Е, для его нормы верна оценка (см. 5 2, п.
6) !!А!!(~с,/Ьсс„, Ь ы= пс!и Ьг !<1(м Схема (20) устойчива прп условии (см. гл. 1С), ф 2) Р ) т'А или (Ру, у)) — т'(Ау, у), где е> 0 — произвольное число, не зависящее от й. Это условие или Р— 4 т~А=Е+(а — 4 )т~А)~.)е)-'3 (и — 4 )тз)А)0 будет выполнено при 1+ е Ь„ч„ 4 4т~с В гл. 1с(, 5 2 будут получены следующие оценки для задачи (20): с 33* "33„, ЧС3ф — '"' (33„30)3)„м.~~.))Е'33.-..)), 323) Е-1 !! гс+1 !!А (с ) ( ~~мф (!!гс(0)!3!пс,)+ гпах (!!)р~)!л 3(с )+!!13)ю)!4 ) )). (22) Этн оценки имеют место для схемы с весами (20), если о ) и, н ! а,! ( с,а.
В 5 2, п. 4 для равномерной сетки были получены оценки, которые в случае неравномерной сетки привил!ают вид )! г !!4) )с с) !! ЕД > !сс! !! г !!с, (! 'р!(„-1 — (!и-(! 1~~=(!и)!, !! 'рс!!„-~ ~~=!!чД при Ф=п,. (23) Так как Р самосопряженный оператор и Р =Е+ от А =Е+ (а — а)т А+ оетеА ) = Е + О,бт'А —, А ) БЕ, то Р '(» — Е и !(ф!(о-1(=(!з!)(!. Гл. нн одноРодныв Рлзностныа схемы Представим решение а задачи (11) — (13) в виде а=о+и, где о и Гв удовлетворяют условиям о Ло"'+т1, о(х, 0)=о (х, 0)=0, о =о =О, (24) ши =Лшы>+$*, ш(х, 0) =О, ш,(х, О) =ч(х), шь= жн- — О.
Из (2!) — (23) следуют оценки для о и Ге: П о'+' !!с < —, шах (!1 з1')~ + /! Г1,']]), уе о<л<! ! ~~ "' и ч ~- (~~ Рн. + г, ы-' ~~]. (21') (22') где !! т !!оэ = ((Е + отзА) ч, ч), = !! ч (!'+ от'(а, чг]. Теорема 1. Пусть к(х, !) и )(х, !) имеют разрывы первого рода на конечнол~ числе прямых х = $„з = 1, 2, ..., эы параллельных оси координа| О(, а в областях <х<$ ы 0~<!~<!~) э=О! ' вы 5 =О р ан =1 коэффициенты я(х, Г), !(х, Г) и решение и(х, !) являются столь гладкими функциями, что выполнены условия (!9) и (!5). Тогда, если выполнено условие (22), то схема (7) — (9) на специальных последовательностях неравномерных сеток Гяь(К) равномерно сходится со скоростью 0(т'+Ь'), так что для решения задачи (!! ) имеет место оценка !!г'!!с=()у' — иГ!!с<М(т'+до), где Ло— - гпах Ьг (25) 1<1 ~У Для доказательства теоремы достаточно воспользоваться априорными оценками (21') и (22') для о и Ге и учесть соотношения (!5) и (19).
3 ам еч ание 1. Теорема 1 сохраняет силу, если вместо (7) взять схему (Š— отзЛ) уГ, — — Лу + ф, (26) где Лу = ух — постоянный оператор (регуляризатор, см. гл. И, 9 2). В этом случае А = — Л, )7 = — аЛ, 0 = Е + т'ГГ. Достаточное условие устойчивости (21) будет выполнено, если а = (1 + е) сэ/4.
(27) При оценке погрешности аппроксимации для этой схемы изме. нится лишь формула (14) для тб вместо от'аипя надо написать отгнил, где о есть (27). 4 з. схемы для гипврг>оличпского ррхвнвния 22И В гл. Ч1, $ 2 для схемы (20) при 0 = Е + от'А получена априорная оценка П х» П ( ='П г, (0) По+ =' и!ах [//(А ф) !!+ [(А ф), [1, (28) где Б = А-'+ ог'Е. Она верна прн условиях: 1) А (() = А* (!) > О, !+е 1 2) пв ое ос= 4 т> !А!! и омвО, 3) А(!) удовлетворяет условию Липшица по ( с постоянной с, > О, 4) г ( 1!(2сз). Априорная оценка (28) может быть использована при выяс- нении порядка точности схемы (7) — (9) на произвольной по- следовательности сеток, когда точки разрыва (з и !', вообще го- воря, не совпадают с узлами сетки !ее.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
