Самарский - Введение в теорию разностных схем (947501), страница 32
Текст из файла (страница 32)
Решение задачи (! 1), (12) может быть найдено методом прогонки при а ) О, так как условия устойчивости прогонки А >О С~ ЪАг+ Асю выполнены, При о = 0 получаем явную схему у, =Л(7) у+ ф или у'+' =у!+ т(Л(1) у!+ ф), при а 1 — схему с опережением или чисто неявную схему д,=Л(7Ц+ р. При о = 0,5 получаем симметричную схему и, =О,ОЛ(г)(У+у)+ф.
Мы ограничимся здесь изучением только схем (7). При прак- тическом применении схем (7) для вычисления а и ф можно рекомендовать простейшие формулы из $ 1: яа (хю — о, е) а (хс-1+ о' г) а' = «(х — ' о в+ а ~ '. ' + о г) ' %=0 5()(хс — О, Е)+7(х~+О, 7)). Приведем схему (7) к «счетному видуз, т. е. к виду, удоб- ному для вычислений. Для этого разрешим уравнение (7) отно- сительно у = ум1. атЛФ и'= — Г, !' = а+ т(1 — о) Лд ч тф Запишем зто уравнение в развернутом виде А,ф,, — С;ф,+А,+,у,+, — — — Рь 1=1, 2, ..., !У вЂ” 1, А, = ата,7Ь', С, = А; + А,+, + 1, Г, = ~! — — „, (1 - а)(а, + а,+,)) у;+ + а,(1 — а)(а,у,, + а;+,у;+,)+ ф,т.
А а схемы для пАРАБОлическОГО уРАВнения !89 где (14) ф = Л (7) (ой + (! — О) и) + >р — и, — погрешность аппроксимации для схемы в классе решений и = и(х, Г) задачи (! ) — (3). При оценке порядка аппроксимации будем предполагать, что и(х,1), й(х, 1) н 1(х, !) имеют нужное по ходу изложения число производных. По аналогии с 9 1 преобразуем формулу для погрешности аппроксимации. В силу уравнения баланса (6) можно написать ф> = [(а(ойх+(! — О) их) )х+ >р — и>),— х > .>. >/ (Ш(Х> Ч>,Р))х,,+ф,-/, ~" д, йХ ди (х, !) х> >> где ш(х> чи 1) =[и д„)~ х х> к>ч>> >р> = —, ~ )(х, 1) >(х.
х; Отсюда следуют формулы (см. 9' 1, и. 10): ф=ч.+ф', (16) ди(х> ч, !) т1, =а(х„1)(ойх+(1 — о) их); — й(х; А, !), „' > (17) х>+ ч> ! Р ди(х Г) х> Преобразуем т)>. Таи каи об+(! -О) о =(о-05) то>+05 (6+ о), то ! ах+их'> / ди > т)> а, !А —" ! — ~й — ! + (о — 0,5) та;их>, ь 2 /, ~ д78„„ (15) 2. Погрешность аппроксимации. Вычислим погрешность аппроксимации для схемы (7).
Пусть и(х,1) — решение задачи (1) — (3), у[ — решение соответствующей разностной задачи (7), г[ = у[ — и[ — погрешность схемы (7). Подставляя уГ = и[+ г[ (или у и+ г) в (7) и считая и(х,() заданной функцией, получим для г следующую задачу: г> — -Л(ой+ (1 — о) г) + ф, Лг (аг;)х, (х, 1) е= и>А„ г(х, 0)=0, хяйх> г(0, 1)=г(1, 1)=0, (еейх> (13) ГЛ. ПЬ ОДНОРОДНЫЕ РАЗНОСТНЫЕ СХЕМЫ Учитывая, что по определению исходного семейства схем (см. $1, п. 7) а1=Ь1 А+ 0(ЬЕ), 1р; =)(х1, 1)+ 0(Ь1), 1р1 =~1+ 0(ЬЕ), получаем = 0(т"0.1 Ь~) 11" 0 ( Л+ ЬЕ) (19) 1, а~05, 2, а = 0,5, если существуют непрерывные в .0г производные Ь", Й, )', ), й, й", и" при ОФ0,5, а при а = 05, кроме того,— производные и', и (точками обозначены производные по 1, штрихами— производные по х).
Если стационарная схема Лу + 1р = 0 имеет второй порядок локальной (в норме С) аппроксимации, т. е. а удовлетворяет условиям ""„" =( — „1+0(Ь'), ',"" =Ь1+О(Ь'), то 11„„=0(т а+Ь') и $=0(т '+Ь') при условии, что а не зависит от т н Ь. Для оценки порядка погрешности аппроксимации в форме (16) будем пользоваться нормами Ф-! 1 И вЂ” 1 И1, „= Х Ь ХЬф., ~~И, „= ХЬ Х Ьф,, И~~ „= ХЬ ХЬфь, ~~И, „= ХЬ Х Ьф, 3. Погрешность аппроксимации в нлассе разрывных коэффициентов. Пусть Ь(х, 1) и )(х, () имеют разрывы первого рода на прямой х = $, параллельной осн 1. Пусть $ = х„+ ОЬ, х„=пЬ, 0 (0~1, а>~1.
На линии разрыва выполняются обычные условия сопряжения [и) О, (Ь вЂ” „1=0 при х=~, 1ен(0 Т). Для погрешности аппроксимации 1р и в этом случае верны формулы ',16) — (18). Оценки (19) имеют место во всех узлах, 4 0 Е СХЕМЫ ДЛЯ ПАРАВОЛИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ 1Э1 нроме х = х„и х = х„+ь Если коэффициенты Ь(х, 1), 1(х, 1) при каждом фиксированном 1 принадлежат классу (,~ЯО, 1) и и(х„г) еи С~~ 01(0.)„то ( 1, оФ05, Ч;=0(Ь +т л) при (Фа+1, гал=[ ' 15 Чл+, = 0(1), $",.=0(Ь'+т') для (~п при 8<0,5 или для 1~а+! при 8)0,5.
(20) Для наилучшей схемы, как это следует из $1, п. 11, Ч,=0(Ь +т л), 1Фп+1, Чл„=0(Ь+т л), 0,0 0(Ь'+ т'), (Фа, ю'~а+ 1, ф*= ) ' ',1з и,,= 0(Ь+т'), (=а, 8<0,5, Г ди(х +Ы, Г) дл -0,0 0(Ь+т) 1=а+1, 8)05, Для произвольной схемы имеем Ч,. = Ч,. + (и, — а,) и<9~И (21) Введем новую функцию Ч, полагая т1„,=0, 1~п, а+1, Чл, л+1 фл+Р Ч! Отсюда находим Ч,=О, 1<п, ЧР,=Ьф„", Ч, = Ь(ф'„+, +ф„') при 1>а+1. (22) В результате получаем для ф формулу Ф=нл+Ф"'Ф Р-Ч+Ч, ф,".=ф,', (Фп, и+1, ф,*'=0 при )=п, и+1, ) где Ч определяется формулой (17), Ч вЂ” формулами (22), фл— формулой (18). Представление погрешности аппроксимации в таком виде будет использовано в и. 5 при исследовании сходимости схемы (7) в классе разрывных коэффициентов.
гл. нь одноводныв изиостиьсв схемы Если при фиксированном ! с выполнены условия второго локального порядка аппроксимации схемы Лу+ ф = 0: Ь (д ) +0(й) 2 йс+0(И) фс 7с+ О (й') при й я Сссс[0, 11, ! я Рс[0, 1], то погрешность аппроксимации ф схемы (7) можно представить в виде ф= .+Ф, где т определяется условиями тс=О, »с„,с=О при сФа, а+1, т» и = ф» т»»+с =ф»+с фс=О при с'=а, а+1, ф;=фс при сФа, а+1.
Отсюда находим тс = О, с ~~ а, т„+с — — аф„, тс = Й(ф„+ ф»+,) при с') а+ 1. Выбор того или иного представления ф зависит от требований гладкости (в областях х «- й н х) $) решения и = и(х,!) и функций !с(х, С) и !(х, с). 4. Устойчивость и априорные оценки. Исследуем устойчивость схемы (7) по начальным данным и по правой части. Рассмотрим задачу у, = Л (!) (ОУ+ (1 — о) у) + ф, Лу = (иуя)„, у(х, 0)=у,(х), хаий», у(0, !)=у(1, !) =О, (24) О < сс ~ (а ( сс. В гл. Ч1, $ 1 проведено детальное исследование вопроса об устойчивости операторно-разностных двухслойных схем с весами ус+А(оф+(! — о)у)=ф(!), 1~»сс, у(0)=у» (25) где А = А(С) линейный оператор, заданный на вещественном гильбертовом пространстве Н со скалярным произведением (, ), При эсом относительно оператора А используется информация общего характера (требуется знание лишь таких свойств оператора А, как самосопряженность н положительность).
Результаты общей теории устойчивости схемы (25) применим к нашей конкретной схеме (24). В качестве пространства Н выберем пространство»с сеточных функций, заданных на сетке й» и обращающихся в нуль 4 й. СХЕМЫ ДЛЯ ПАРЛВОЛНЧЕСКОГО РРАВНЕННЯ !йз а на границе (прн ! = О, ! = Л!). Оператор Ау — Лу при уеи й, Введем в й скалярное произведение и норму и-! (у, о)= Х у;оей, !!у!1= $'Ъ у). с 1 Оператор А = — Л самосопряжен и положительно определен в й. Это следует из формул Грина (см.
гл, 1, й 2): (у, Ло)=(ЛУ, о) при у, оеий, (у, — Лу) =(а, (уй)'(>сс!/Уй)!'>8с,!!у!!ь Вычислим норму !!Л!! оператора Л. Так как Л самосопряжен, то (см. гл. !, $ 3) !! Л !! = зц р ! (Лу, у) !. (26') 7 А. А. Самарский Подставляя сюда (у Лу) = (а (уй) !» се !! уй)! » ~!,е !! у !!й на ходим !! А !! = !! Л !! ( 4с /йй. В гл. Ч!, 5 1 показано, что условие ! ! 0>2 л =00 (26) является достаточным для устойчивости схемы (25). В нашем случае условие (26) имеет вид ! Ье 0>0„0,= — —— так как (!А!! (4сй/йй. При этом условии для задачи (25) имеет место априорная оценка (см. гл. Ч1, и 1, теорема 10) !!У!+с(!»»!!Уо!!+ М гпах (((А-!ср)' !+((А-сср) (!), (27) где М = сопз( > 0 зависит только от Т, а оператор А = А(1) удовлетворяет лишь условию положительной определенности А(!) = 6Е, 6 сопз1 > О, Š— единичный оператор.
Если, кроме того, А(!) — самосопряженный оператор и ! — й оэоо= — —— е' е 2 т!1Л! ' где е > 0 — любое число, не зависящее от т н й, то для задачи (25) справедливы оценка (см. гл. Ч1, з 1, теорема 10) !1угкс !!»~!!Уй!!+ ~~ !пах !1ср! (!л-с (е,), (28) 2в о~у,~! л (еу)' где !! ср !1„- с = У(А 'ср, ср). гл. !н.
ОднОРОдные РАзнОстные схемы Входящие в (27) и (28) нормы ~~ф~~л-!, 1А 'ф1, '1(А 'фЦ~ можно заменить более простыми нормами. Рассмотрим оператор Ау = — у при у ~ Р, Из формулы Грина (Ау, у)=(а, уЯ следует: (Ау, у)) с,(1, у41= с,(Ау, у). Так как А и А самосопряженные и положителыро определенные операторы, то из операторного неравенства А =» с,А следует с,А 'р А ' или с,(А '!р, !р) ((А 'ср, !р). Функция и=А !р есть решение задачи Аи=ф или Ли = их„= — !р(х, 1), ир = ир = О. Полагая ср = р„получаем (их+ Р),, = О, их = С! — и, С! = сопз(, с !с и; = С,х, — ~ прй, С, = ~~'.~ Лрр.
4=! 4 ! Оценим теперь выражение 1!ф!!*,! л-г (А '!р, <р) = (Аи, и) = — (их„и) = (1, иЦ, ~ ~~., =1 Д < ~ С, ~+Ы. <2Ы~. Априорная оценка (28) принимает вид !)у!+!!! ='!!ур!!+1/ — гпах ~~р')~ при <р=р„, (29) ес, р<г если выполнено условие а)а,. Обратимся теперь к выражени!о '1А ф!!+(!(А ф)с!!=!!и!!+ + ~~ и! 1~, где и = А 'ср есть решение задачи Аи = <р или Ли = (аих)к = ф(х~ 1), ир = и!р = О. Полагая ф = р„, находим — с, = (~~) ~~ —,', и! = С!,~~~ — 4т! — и.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
